Z-группа

В математике , особенно в области алгебры, известной как теория групп , термин Z-группа относится к ряду различных типов групп :

При изучении конечных групп — Z-группа это конечная группа, силовские подгруппы все которой циклические .
При изучении бесконечных групп Z -группа — это группа, обладающая очень общей формой центрального ряда .
при изучении упорядоченных групп Z -группа или $\mathbb {Z}$ -группа — это дискретно упорядоченная абелева группа, фактор которой по ее минимальной выпуклой подгруппе делится. Такие группы элементарно эквивалентны целым числам $(\mathbb {Z} ,+,<)$ . Z-группы представляют собой альтернативное представление арифметики Пресбургера .
иногда (Z)-группа используется для обозначения группы Цассенхауза , особого типа группы перестановок .

Группы, силовские подгруппы которых циклические

Использование: ( Suzuki 1955 ), ( Bender & Glauberman 1994 , стр. 2), MR. 0409648 , ( Воненбургер 1976 ), ( Сталь 1976 )

При изучении конечных групп — Z-группа это конечная группа, все силовские подгруппы которой являются циклическими . Буква Z происходит как от немецкого Zyklische , так и от их классификации в ( Zassenhaus 1935 ). Во многих стандартных учебниках эти группы не имеют специального названия, кроме метациклических групп , но сегодня этот термин часто используется в более широком смысле. См. метациклическую группу для получения дополнительной информации об общем современном определении, которое включает нециклические p -группы ; см. ( Hall 1959 , Th. 9.4.3) более строгое классическое определение, более тесно связанное с Z-группами.

Любая группа, силовские подгруппы которой цикличны, сама является метациклической , а значит, сверхразрешимой . Фактически, такая группа имеет циклическую производную подгруппу с циклическим максимальным абелевым фактором. Такая группа имеет представление ( Hall 1959 , Th. 9.4.3):

G(m,n,r)=\langle a,b|a^{m}=b^{n}=1,bab^{-1}=a^{r}\rangle

, где mn — порядок G ( m , n , r ), наибольший общий делитель , НОД(( r -1) n , m ) = 1 и r ^н ≡ 1 (против m ).

Теория характеров Z-групп хорошо изучена ( Челик 1976 ), поскольку они являются мономиальными группами .

Производная длина Z-группы не превышает 2, поэтому Z-групп может быть недостаточно для некоторых целей. Обобщением Холла являются A-группы , группы с абелевыми силовскими подгруппами. Эти группы ведут себя аналогично Z-группам, но могут иметь сколь угодно большую производную длину ( Холл, 1940 ). Другое обобщение, сделанное Сузуки 1955 , обеспечивает силовской 2-подгруппе большую гибкость, включая диэдральные и обобщенные группы кватернионов .

Группа с обобщенным центральным рядом

Использование: ( Робинсон 1996 ), ( Курош 1960 )

Определение центрального ряда, используемое для Z-группы, является несколько техническим. Серия группы G G — это совокупность S подгрупп группы , линейно упорядоченная по включению, такая, что для каждого g в G подгруппы A _g = ∩ { N in S : g in N } и B _g = ∪ { N в S : g не в N } оба находятся в S . (Обобщенная) центральная серия группы G — это такая серия, что каждое в S нормально в G и такое, что для каждого G фактор Ag / Bg _в содержится Bg _N центре G / в _g . Z -группа — это группа с таким (обобщенным) центральным рядом. Примеры включают гиперцентральные группы, трансфинитные верхние центральные серии которых образуют такую центральную серию, а также гипоцентральные группы , чьи трансфинитные нижние центральные серии образуют такую центральную серию ( Robinson 1996 ).

Специальные 2-транзитивные группы

Использование: ( Сузуки 1961 г. )

— (Z)-группа это группа, точно представленная как дважды транзитивная группа подстановок, в которой ни один неединичный элемент не фиксирует более двух точек. — (ZT)-группа это (Z)-группа нечетной степени, а не группа Фробениуса , то есть группа Цассенхауза нечетной степени, известная также как одна из групп PSL(2,2 ^{к +1}) или Sz(2 ^{2к 1 +}) , для k любое положительное целое число ( Suzuki 1961 ).

Ссылки

Бендер, Гельмут; Глауберман, Джордж (1994), Локальный анализ теоремы нечетного порядка , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 188, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-45716-3 , МР 1311244
Челик, Оздем (1976), «О таблице характеров Z-групп», сообщения Гиссенского математического семинара : 75–77, ISSN 0373-8221 , MR 0470050
Холл, Маршалл младший (1959), Теория групп , Нью-Йорк: Macmillan, MR 0103215
Холл, Филип (1940), «Построение разрешимых групп», Журнал чистой и прикладной математики , 182 : 206–214, doi : 10.1515/crll.1940.182.206 , ISSN 0075-4102 , MR 0002877 , S2CID 118354698
Курош, А.Г. (1960), Теория групп , Нью-Йорк: Челси, MR 0109842.
Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), Курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
Судзуки, Мичио (1955), «О конечных группах с циклическими силовскими подгруппами для всех нечетных простых чисел», American Journal of Mathematics , 77 (4): 657–691, doi : 10.2307/2372591 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372591 , MR 0074411
Судзуки, Мичио (1961), «Конечные группы с нильпотентными централизаторами», Труды Американского математического общества , 99 (3): 425–470, doi : 10.2307/1993556 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993556 , MR 0131459
Воненбургер, Мария Дж. (1976), «Обобщение Z-групп», Journal of Algebra , 38 (2): 274–279, doi : 10.1016/0021-8693(76)90219-2 , ISSN 0021-8693 , МР 0393229
Зассенхаус, Ганс (1935), «О конечных быстрых телах», кафедра математики Univ. Гамбург (на немецком языке), 11 : 187–220, doi : 10.1007/BF02940723 , S2CID 123632723