Теоремы Силова

В математике, особенно в области теории конечных групп , теоремы Силова представляют собой набор теорем, названный в честь норвежского математика Питера Людвига Силова. ^[1] которые дают подробную информацию о количестве подгрупп фиксированного порядка , которые содержит данная конечная группа . Теоремы Силова составляют фундаментальную часть теории конечных групп и имеют очень важные приложения в классификации конечных простых групп .

Для простого числа $p$ , силовская p -подгруппа (иногда p -силовская подгруппа ) группы $G$ является максимальным $p$ -подгруппа $G$ , то есть подгруппа $G$ это p -группа (то есть ее мощность степени равна $p,$ или, что то же самое, порядок каждого элемента группы является степенью $p$ ), которая не является собственной подгруппой какой-либо другой $p$ -подгруппа $G$ . Набор всех Силов $p$ -подгруппы для данного простого числа $p$ иногда пишется ${\text{Syl}}_{p}(G)$ .

Теоремы Силова утверждают частичное обращение к теореме Лагранжа . Теорема Лагранжа утверждает, что для любой конечной группы $G$ порядок (количество элементов) каждой подгруппы $G$ делит порядок $G$ . Теоремы Силова утверждают, что для каждого простого множителя $p$ порядка конечной группы $G$ , существует Силов $p$ -подгруппа $G$ порядка $p^{n}$ , высшая сила $p$ который делит порядок $G$ . При этом каждая подгруппа порядка $p^{n}$ это Силов $p$ -подгруппа $G$ и Силов $p$ -подгруппы группы (для данного простого числа $p$ ) сопряжены друг с другом. Кроме того, число Силовских $p$ -подгруппы группы для данного простого числа $p$ конгруэнтно 1 (mod $p$ ).

Теоремы

Мотивация

Теоремы Силова — мощное утверждение о структуре групп в целом, но они также эффективны и в приложениях теории конечных групп. Это потому, что они дают метод использования простого разложения мощности конечной группы. $G$ давать утверждения о структуре ее подгрупп: по сути, это дает метод переноса базовой теоретико-числовой информации о группе в ее групповую структуру. Исходя из этого наблюдения, классификация конечных групп превращается в игру по поиску того, какие комбинации/конструкции групп меньшего порядка можно применить для построения группы. Например, типичным применением этих теорем является классификация конечных групп некоторой фиксированной мощности, например $|G|=60$ . ^[2]

Заявление

Коллекции подгрупп, каждая из которых является максимальной в том или ином смысле, широко распространены в теории групп. Удивительным результатом здесь является то, что в случае $\operatorname {Syl} _{p}(G)$ , все члены на самом деле изоморфны друг другу и имеют максимально возможный порядок: если $|G|=p^{n}m$ с $n>0$ где $p$ не делит $m$ , то каждая силовская $p$ -подгруппа $P$ имеет порядок $|P|=p^{n}$ . То есть $P$ является $p$ -группой и ${\text{gcd}}(|G:P|,p)=1$ . можно использовать для дальнейшего анализа структуры $G.$ Эти свойства

Следующие теоремы были впервые предложены и доказаны Людвигом Силовым в 1872 году и опубликованы в Mathematische Annalen .

Теорема (1) — Для каждого простого множителя $p$ с кратностью $n$ порядка конечной группы $G$ существует силовская $p$ -подгруппа группы $G$ порядка $p^{n}$ .

Следующая более слабая версия теоремы 1 была впервые доказана Огюстеном -Луи Коши и известна как теорема Коши .

Следствие . Учитывая конечную группу $G$ и простое число $p,$ делящее порядок $G$ , тогда существует элемент (и, следовательно, циклическая подгруппа, порожденная этим элементом) $p$ в $G.$ порядка ^[3]

Теорема (2) — Для конечной группы $G$ и простого числа $p$ все силовские $p$ -подгруппы группы $G$ сопряжены . друг другу То есть, если $H$ и $K$ — силовские $p$ -подгруппы группы $G$ , то существует элемент $g\in G$ с $g^{-1}Hg=K$ .

Теорема (3) — . Пусть $p$ простой множитель кратности $n$ порядка конечной группы $G$ , так что порядок $G$ можно записать как $p^{n}m$ , где $n>0$ и $p$ не делит $m$ . Позволять $n_{p}$ — число силовских $p$ -подгрупп группы $G$ . Тогда имеют место следующие положения:

$n_{p}$ делит $m$ которое является индексом силовской $p$ -подгруппы в $G.$ ,
$n_{p}\equiv 1{\bmod {p}}$
$n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ , где $P$ — любая силовская $p$ -подгруппа группы $G$ и $N_{G}$ обозначает нормализатор .

Последствия

Из теорем Силова следует, что для простого числа $p$ каждый Силов $p$ -подгруппа того же порядка, $p^{n}$ . И наоборот, если подгруппа имеет порядок $p^{n}$ , то это Силов $p$ -подгруппа и поэтому сопряжена любой другой силовской группе. $p$ -подгруппа. По условию максимальности, если $H$ есть ли какой-нибудь $p$ -подгруппа $G$ , затем $H$ является подгруппой $p$ -подгруппа порядка $p^{n}$ .

Очень важным следствием теоремы 2 является то, что условие $n_{p}=1$ эквивалентно условию, что силовская $p$ -подгруппа $G$ это нормальная подгруппа . Однако существуют группы, у которых есть нормальные подгруппы, но нет нормальных силовских подгрупп, например: $S_{4}$ .

Теоремы Силова для бесконечных групп

Существует аналог теорем Силова для бесконечных групп. -подгруппу в бесконечной группе определяют $Силовскую p$ как p -подгруппу (т. е. каждый элемент в ней имеет $p$ -степенной порядок), которая является максимальной для включения среди всех $p$ -подгрупп в группе. Позволять $\operatorname {Cl} (K)$ обозначим множество сопряженных подгруппы $K\subset G$ .

Теорема . Если $K$ — силовская $p$ -подгруппа группы $G$ и $n_{p}=|\operatorname {Cl} (K)|$ конечна, то каждая силовская $p$ -подгруппа сопряжена с $K$ и $n_{p}\equiv 1{\bmod {p}}$ .

Примеры

иллюстрацией силовских подгрупп и теорем Силова является группа диэдра -угольника n 2 D _{Простой n} . Для n нечетного 2 = 2 ¹ — это высшая степень двойки, делящая порядок, и, таким образом, подгруппы порядка 2 являются силовскими подгруппами. Это группы, порожденные отражением, которых имеется n , и все они сопряжены относительно вращений; геометрически оси симметрии проходят через вершину и сторону.

Напротив, если n четно, то 4 делит порядок группы, и подгруппы порядка 2 больше не являются силовскими подгруппами и фактически распадаются на два класса сопряженности геометрически в зависимости от того, проходят ли они через две вершины или через две. лица. Они связаны внешним автоморфизмом , который можно представить вращением на π/ n , что составляет половину минимального вращения в группе диэдра.

Другим примером являются силовские p-подгруппы группы GL ₂ ( F _q ), где p и q — простые числа ≥ 3 и $p \equiv 1 (mod q)$ , которые все абелевы . Порядок GL ₂ ( F _q ) равен $(q 2 - 1)(q 2 - q) знак равно (q)(q + 1)(q - 1) 2$ . Поскольку $q = p н m + 1$ , порядок $GL 2 (F q) = p 2 2н м'$ . Таким образом, по теореме 1 порядок силовских p -подгрупп равен p ^22н.

Одной из таких подгрупп P является набор диагональных матриц ${\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}$ , x — любой примитивный корень из F _q . Поскольку порядок F _q равен $q - 1$ , его примитивные корни имеют порядок q − 1, что означает, что $x (q - 1)/ п н$ или х ^м и все его степени имеют порядок, который является степенью p . Итак, P — подгруппа, все ее элементы имеют порядки, являющиеся степенями p . Есть п ^н выбор как для a, так и для b , делая $| П | = п 2 2н$ . Это означает, что P — силовская p -подгруппа, которая абелева, поскольку все диагональные матрицы коммутируют, и поскольку теорема 2 утверждает, что все силовские p -подгруппы сопряжены друг с другом, силовские p -подгруппы группы GL ₂ ( F _q ) являются все абелевы.

Примеры приложений

Поскольку теорема Силова обеспечивает существование p-подгрупп конечной группы, стоит более внимательно изучить группы простого степенного порядка. В большинстве примеров для доказательства того, что группа определенного порядка не является простой , используется теорема Силова . Для групп малого порядка условие конгруэнтности теоремы Силова часто бывает достаточным, чтобы обеспечить существование нормальной подгруппы .

Пример-1: Группы порядка pq , p и q простые числа с p < q .
Пример-2: Группа порядка 30, группы порядка 20, группы порядка п ²q , p и q разные простые числа - вот некоторые из применений.
Пример-3: (Группы порядка 60): Если порядок | г | = 60 и G имеет более одной силовской 5-подгруппы, то G проста.

Циклические групповые заказы

Некоторые непростые числа n таковы, что каждая группа порядка n является циклической. Можно показать, что n = 15 — такое число, используя теоремы Силова: пусть G — группа порядка 15 = 3 · 5, а n ₃ — число силовских 3-подгрупп. Тогда n ₃ $\mid$ 5 и n ₃ ≡ 1 (по модулю 3). Единственное значение, удовлетворяющее этим ограничениям, — 1; следовательно, существует только одна подгруппа порядка 3, и она должна быть нормальной (поскольку не имеет различных сопряженных). Аналогично, n ₅ должно делить 3, а n ₅ должно равняться 1 (по модулю 5); таким образом, она также должна иметь одну нормальную подгруппу порядка 5. Поскольку 3 и 5 взаимно просты , пересечение этих двух подгрупп тривиально, и поэтому G должна быть внутренним прямым произведением групп порядка 3 и 5, то есть циклической группа порядка 15. Таким образом, существует только одна группа порядка 15 ( с точностью до изоморфизма).

Маленькие группы – это не просто

Более сложный пример касается порядка наименьшей простой группы , которая не является циклической . Бернсайда п ^а д ^б Теорема утверждает, что если порядок группы является произведением одной или двух степеней простых чисел , то она разрешима , и поэтому группа не является простой или имеет простой порядок и является циклической. Это исключает каждую группу до порядка 30 (= 2 · 3 · 5) .

Если G проста и | г | = 30, то n ₃ должно делить 10 ( = 2 · 5), а n ₃ должно равняться 1 (по модулю 3). Следовательно, n ₃ = 10, поскольку ни 4, ни 7 не делят 10, а если n ₃ = 1, то, как и выше, группа G имела бы нормальную подгруппу порядка 3 и не могла бы быть простой. Тогда G имеет 10 различных циклических подгрупп порядка 3, каждая из которых имеет 2 элемента порядка 3 (плюс единицу). Это означает, что G имеет как минимум 20 различных элементов порядка 3.

Кроме того, n ₅ = 6, поскольку n ₅ должно делить 6 ( = 2 · 3), а n ₅ должно равняться 1 (по модулю 5). Таким образом, в G также есть 24 различных элемента порядка 5. Но порядок G равен только 30, поэтому простая группа порядка 30 не может существовать.

Далее, предположим | г | = 42 = 2 · 3 · 7. Здесь n ₇ должно делить 6 ( = 2 · 3), а n ₇ должно равняться 1 (по модулю 7), поэтому n ₇ = 1. Итак, как и раньше, G не может быть простым.

С другой стороны, для | г | = 60 = 2 ² · 3 · 5, то n ₃ = 10 и n ₅ = 6 вполне возможны. И действительно, наименьшая простая нециклическая группа — это A ₅ , знакопеременная группа из 5 элементов. Он имеет порядок 60 и имеет 24 циклические перестановки порядка 5 и 20 перестановок порядка 3.

Теорема Вильсона

Часть теоремы Вильсона гласит, что

(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}

для каждого простого числа p . Эту теорему легко доказать с помощью третьей теоремы Силова. Действительно, заметим, что число n _p силовских p -подгрупп симметрической группе Sp _естьв ⁠ 1 / p − 1 ⁠ раз количество p-циклов в S _p , т.е. $(р - 2)!$ . С другой стороны, $n p \equiv 1 (mod p)$ . Следовательно, $(p - 2)! \equiv 1 (мод р)$ . Итак, $(p - 1)! \equiv -1 (мод п)$ .

Результаты слияния

Аргумент Фраттини показывает, что силовская подгруппа нормальной подгруппы обеспечивает факторизацию конечной группы. Небольшое обобщение, известное как теорема слияния Бернсайда, утверждает, что если G — конечная группа с силовской p -подгруппой P и двумя подмножествами A и B, нормализованными P , то A и B -сопряжены G тогда и только тогда, когда они N _G ( P )-сопряженный. Доказательство представляет собой простое применение теоремы Силова: если B = A ^г, то нормализатор B содержит не только P , но и P ^г (поскольку П ^г содержится в нормализаторе A ^г). По теореме Силова P и P ^г сопряжены не только в G нормализаторе B. , но и в Следовательно, гх ⁻¹ нормализует P для некоторого h , который нормализует B , а затем A ^{хх ⁻¹} = Б ^{час ⁻¹} = B , так что A и B N P _G ( ) -сопряжены. Теорема Бернсайда о слиянии может быть использована для создания более мощной факторизации, называемой полупрямым произведением : если G — конечная группа, силовская p -подгруппа P которой содержится в центре ее нормализатора, то G имеет нормальную подгруппу K порядка, взаимно простого с P. , G = PK и P ∩ K = {1}, т. е G p . -нильпотентна .

Менее тривиальные применения теорем Силова включают теорему о фокальной подгруппе , которая изучает влияние силовской p -подгруппы производной подгруппы на структуру всей группы. Этот контроль используется на нескольких этапах классификации конечных простых групп и, например, определяет деления случаев, используемые в теореме Альперина-Брауэра-Горенштейна, классифицирующей конечные простые группы , силовская 2-подгруппа которых является квазидиэдральной группой . Они основаны на усилении Дж. Л. Альпериным части теоремы Силова, касающейся сопряжения, для контроля того, какие типы элементов используются в сопряжении.

Доказательство теорем Силова.

Теоремы Силова были доказаны разными способами, а история самих доказательств является предметом многих статей, в том числе Уотерхауса, ^[4] Шарлау, ^[5] Касадио и Заппа, ^[6] Гоу, ^[7] и в некоторой степени Мео. ^[8]

использует понятие группового действия Одно из доказательств теорем Силова различными творческими способами . Группа $G$ действует на себя или на множество своих p -подгрупп различными способами, и каждое такое действие можно использовать для доказательства одной из теорем Силова. Следующие доказательства основаны на комбинаторных рассуждениях Виланда. ^[9] Далее мы используем $a\mid b$ как обозначение «a делит b» и $a\nmid b$ за отрицание этого утверждения.

Теорема (1) — Конечная группа G , порядок которой $|G|$ делится на степень простого числа p ^к имеет подгруппу порядка p ^к.

Доказательство

Пусть $| г | = п к м = п к + р ты$ такой, что $p\nmid u$ , и пусть Ω обозначает множество подмножеств $G$ размера p ^к. $G$ действует на Ω умножением слева: для $g \in G$ и $ω \in Ω$ , $g \cdot ω = {g x | Икс \in ω}$ . Для данного множества $ω \in Ω$ обозначаем через G _ω его подгруппу стабилизатора ${g \in G | g \cdot ω = ω}$ и G ω для его орбиты ${g \cdot ω | g \in G}$ в Ω.

Доказательство покажет существование некоторого $ω \in Ω$ , для которого $G$ _$ω$ имеет p ^к элементы, обеспечивающие нужную подгруппу. Это максимально возможный размер подгруппы стабилизатора $G$ _$ω$ , поскольку для любого фиксированного элемента $α \in ω \subseteq G$ правый смежный класс $G$ _$ω$ $α$ содержится в $ω$ ; следовательно, $| г ω | = | г ω α | \leq | ω | = п к$ .

По теореме о стабилизаторе орбиты имеем $| г ω | | г ω | = | г |$ для каждого $ω \in Ω$ , и, следовательно, используя аддитивную p-адическую оценку ν _p , которая подсчитывает количество факторов p , имеем $ν p (| G ω |) + ν p (| G ω |) = ν p (| г |) знак равно k + р$ . Это означает, что для тех $ω$ с $| г ω | = п к$ , те, которые мы ищем, имеют $ν p (| G ω |) = r$ , а для любого другого $ω$ имеют $ν p (| G ω |) > r$ (поскольку $0 < | G ω | < p к$ подразумевает $ν п (| грамм ω |) < k)$ . Поскольку $| Ом |$ представляет собой сумму $| г ω |$ по всем различным орбитам $G$ $ω$ можно показать существование ω первого типа, показав, что $ν p (| Ω |) = r$ (если бы таковой не существовало, эта оценка превышала бы r ). Это пример теоремы Куммера (поскольку в записи по основанию p число $| G |$ заканчивается ровно k + r цифрами нуля, вычитая p ^к отсюда требуется перенос в r мест), и это также можно показать с помощью простого вычисления:

|\Omega |={p^{k}m \choose p^{k}}=\prod _{j=0}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k}m-j}{p^{k}-j}}=m\prod _{j=1}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k-\nu _{p}(j)}m-j/p^{\nu _{p}(j)}}{p^{k-\nu _{p}(j)}-j/p^{\nu _{p}(j)}}}

не остается степени p и ни в одном из сомножителей внутри произведения справа . Следовательно, $ν p (| Ω |) = ν p (m) = r$ , завершая доказательство.

Можно отметить, что, наоборот, каждая подгруппа H порядка p ^к порождает множества $ω \in Ω$ , для которых G _ω = H , а именно любой из m различных смежных классов Hg .

Лемма . Пусть $H$ — конечная $p-$ группа, пусть Ω — конечное множество, на котором действует $H$ , и пусть Ω ₀ обозначает множество точек Ω, которые неподвижны под действием $H$ . Тогда $| Ом | \equiv | Ом 0 | (мод р)$ .

Доказательство

Любой элемент $x \in Ω,$ не зафиксированный $H,$ будет лежать на орбите порядка $| Ч |/| Ч х |$ (где H _x обозначает стабилизатор ), который по предположению кратен $p$ . Результат следует немедленно, если написать $| Ом |$ как сумма $| Ч х |$ по всем различным орбитам $H$ $x$ и уменьшая mod $p$ .

Теорема (2) — Если H — p -подгруппа группы $G$ , а P — силовская p -подгруппа группы $G$ , то существует элемент g в $G$ такой, что g ⁻¹Ртуть ≤ Р. В частности, все силовские p -подгруппы группы $G$ сопряжены изоморфны друг другу (и, следовательно, ) , то есть, если H и K — силовские p -подгруппы группы $G$ , то существует элемент g в $G$ такой, что g ⁻¹Hg = К.

Доказательство

Пусть Ω — множество левых смежных и пусть действует H $классов P в G$ на Ω умножением слева. Применяя лемму к H на Ω, мы видим, что $| Ом 0 | \equiv | Ом | знак равно [г : п] (мод п)$ . Сейчас $p\nmid [G:P]$ по определению так $p\nmid |\Omega _{0}|$ , следовательно, в частности $| Ом 0 | \neq 0$ , поэтому существует некоторый $gP \in Ω 0$ . С этим gP мы имеем hgP = gP для всех $h \in H$ , поэтому g ⁻¹HgP = P и, следовательно, g ⁻¹Ртуть ≤ Р. Более того, если H силовская p -подгруппа, то $| г -1 ртуть | = | Ч | = | П |$ так что г ⁻¹Ртуть = П.

Теорема (3) . Пусть q обозначает порядок любой силовской p -подгруппы P конечной группы G . Обозначим через n _p число силовских p -подгрупп группы G . Тогда (a) $n p = [G : NG p (P)]$ (где ( ₎ P ) — нормализатор P ) , (b $n NG$ делит $| G |/ q$ и (c) $n p \equiv 1 (mod p)$ .

Доказательство

Пусть Ω — множество всех силовских p -подгрупп группы $G$ и $G$ действует на Ω сопряжением. Пусть $P \in Ω$ — силовская p -подгруппа. По теореме 2 орбита P имеет размер p _, поэтому по теореме о стабилизаторе орбиты $n p = [G : GP n]$ . группового действия стабилизатор $GP$ _{Для этого} задается формулой ${g \in G | gPg -1 знак равно P} знак равно N G (P)$ , нормализатор P в G . Таким образом, $n p = [G : NG P (, и отсюда следует, что это)]$ число является делителем $[G : P] = | г |/ q$ .

Пусть теперь P действует на Ω сопряжением и снова пусть Ω ₀ обозначает множество неподвижных точек этого действия. Пусть $Q \in Ω 0$ и заметим, что тогда $Q = xQx -1$ для всех $x \in P$ так, что P ≤ N _G ( Q ). По теореме 2 P и Q сопряжены, в частности, в , _NG а Q (Q) в NG ( _Q нормален ) поэтому P = Q. , Отсюда следует, что Ω ₀ = { P }, так что по лемме $| Ом | \equiv | Ом 0 | знак равно 1 (мод р)$ .

Алгоритмы

Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной проблемой вычислительной теории групп .

Одно доказательство существования силовских p -подгрупп является конструктивным: если H является p -подгруппой группы G и индекс [ G : H ] делится на p , то нормализатор N = NG _группы ( H ) H в G равен также такое, что [ N : H ] делится на p . Другими словами, полициклическую порождающую систему силовской p -подгруппы можно найти, начиная с любой p -подгруппы H (включая единицу) и взяв элементы p -степенного порядка, содержащиеся в нормализаторе H, но не в H. самой Алгоритмическая версия этого (и многих улучшений) описана в форме учебника у Батлера, ^[10] включая алгоритм, описанный в Cannon. ^[11] Эти версии до сих пор используются в системе компьютерной алгебры GAP .

В группах перестановок было доказано Кантором ^[12]^[13]^[14] и Кантор и Тейлор, ^[15] что силовская p -подгруппа и ее нормализатор могут быть найдены за полиномиальное время входных данных (степень группы, умноженная на количество генераторов). Эти алгоритмы описаны в виде учебника в Seress, ^[16] и теперь становятся практическими, поскольку конструктивное признание конечных простых групп становится реальностью. В частности, версии этого алгоритма используются в системе компьютерной алгебры Magma .

См. также

Примечания

^ Силов, Л. (1872). «Теоремы о группах замены» . Математика. Энн. (на французском языке). 5 (4): 584–594. дои : 10.1007/BF01442913 . ЖФМ 04.0056.02 . S2CID 121928336 .
^ Грасия-Сас, Альфонсо. «Классификация групп порядка 60» (PDF) . math.toronto.edu . Архивировано (PDF) из оригинала 28 октября 2020 г. Проверено 8 мая 2021 г.
^ Фрели, Джон Б. (2004). Первый курс абстрактной алгебры . при участии Виктора Дж. Каца. Пирсон Образование. стр. 322. ИСБН 9788178089973 .
^ Уотерхаус 1980 .
^ Шарлау 1988 .
^ Касадио и Заппа 1990 .
^ Гоу 1994 .
^ Мой 2004 год .
^ Виландт 1959 .
^ Батлер 1991 , Глава 16.
^ Кэннон 1971 .
^ Офис 1985а .
^ Офис 1985b .
^ Офис 1990 .
^ Кантор и Тейлор 1988 .
^ Сересс 2003 .

Ссылки

Доказательства

Касадио, Жозефина; Заппа, Гвидо (1990). «История теоремы Силова и ее доказательства». Болл. Исторические науки. Мэтт. (на итальянском языке). 10 (1): 29–75. ISSN 0392-4432 . МР 1096350 . Збл 0721.01008 .
Гоу, Род (1994). «Силовское доказательство теоремы Силова» . Ирландская математика. Соц. Бык. . 0033 (33): 55–63. дои : 10.33232/BIMS.0033.55.63 . ISSN 0791-5578 . МР 1313412 . Збл 0829.01011 .
Каммюллер, Флориан; Полсон, Лоуренс К. (1999). «Формальное доказательство теоремы Силова. Эксперимент по абстрактной алгебре с Изабель ХОЛ» (PDF) . Дж. Автомат. Причина. . 23 (3): 235–264. дои : 10.1023/А:1006269330992 . ISSN 0168-7433 . МР 1721912 . S2CID 1449341 . Збл 0943.68149 . Архивировано из оригинала (PDF) 3 января 2006 г.
Мео, М. (2004). «Математическая жизнь групповой теоремы Коши» . История математики. 31 (2): 196–221. дои : 10.1016/S0315-0860(03)00003-X . ISSN 0315-0860 . МР 2055642 . Збл 1065.01009 .
Шарлау, Винфрид (1988). «Открытие теорем Силова» . История математики (на немецком языке). 15 (1): 40–52. дои : 10.1016/0315-0860(88)90048-1 . ISSN 0315-0860 . МР 0931678 . Збл 0637.01006 .
Уотерхаус, Уильям К. (1980). «Ранние доказательства теоремы Силова». Арх. Хист. Точная наука. . 21 (3): 279–290. дои : 10.1007/BF00327877 . ISSN 0003-9519 . МР 0575718 . S2CID 123685226 . Збл 0436.01006 .
Виландт, Гельмут [на немецком языке] (1959). «Доказательство существования силовских групп». Арх. Математика (на немецком языке). 10 (1): 401–402. дои : 10.1007/BF01240818 . ISSN 0003-9268 . MR0147529 . S2CID 119816392 . Збл 0092.02403 .

Алгоритмы

Батлер, Г. (1991). Фундаментальные алгоритмы для групп перестановок . Конспекты лекций по информатике . Том. 559. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/3-540-54955-2 . ISBN 9783540549550 . МР 1225579 . S2CID 395110 . Збл 0785.20001 .
Кэннон, Джон Дж. (1971). «Вычисление локальной структуры больших конечных групп». Компьютеры в алгебре и теории чисел ( Proc. SIAM-AMS Sympos. Appl. Math. , Нью-Йорк, 1970) . SIAM-AMS Proc. . Том. 4. Провиденс, Род-Айленд: AMS . стр. 161–176. ISSN 0160-7634 . МР 0367027 . Збл 0253.20027 .
Кантор, Уильям М. (1985a). «Алгоритмы с полиномиальным временем для поиска элементов простого порядка и силовских подгрупп» (PDF) . Дж. Алгоритмы . 6 (4): 478–514. CiteSeerX 10.1.1.74.3690 . дои : 10.1016/0196-6774(85)90029-X . ISSN 0196-6774 . МР 0813589 . Збл 0604.20001 .
Кантор, Уильям М. (1985b). «Теорема Силова за полиномиальное время» . Дж. Компьютер. Сист. наук. . 30 (3): 359–394. дои : 10.1016/0022-0000(85)90052-2 . ISSN 1090-2724 . МР 0805654 . Збл 0573.20022 .
Кантор, Уильям М.; Тейлор, Дональд Э. (1988). «Версии теоремы Силова с полиномиальным временем». Дж. Алгоритмы . 9 (1): 1–17. дои : 10.1016/0196-6774(88)90002-8 . ISSN 0196-6774 . МР 0925595 . Збл 0642.20019 .
Кантор, Уильям М. (1990). «Нахождение нормализаторов Силова за полиномиальное время». Дж. Алгоритмы . 11 (4): 523–563. дои : 10.1016/0196-6774(90)90009-4 . ISSN 0196-6774 . МР 1079450 . Збл 0731.20005 .
Сересс, Акос (2003). Алгоритмы группы перестановок . Кембриджские трактаты по математике. Том. 152. Издательство Кембриджского университета . ISBN 9780521661034 . МР 1970241 . Збл 1028.20002 .

Внешние ссылки

[Sylow1872-1] Силов, Л. (1872). «Теоремы о группах замены» . Математика. Энн. (на французском языке). 5 (4): 584–594. дои : 10.1007/BF01442913 . ЖФМ 04.0056.02 . S2CID 121928336 .

[GraciaSaz_WebPDF-2] Грасия-Сас, Альфонсо. «Классификация групп порядка 60» (PDF) . math.toronto.edu . Архивировано (PDF) из оригинала 28 октября 2020 г. Проверено 8 мая 2021 г.

[Fraleigh_2004_322-3] Фрели, Джон Б. (2004). Первый курс абстрактной алгебры . при участии Виктора Дж. Каца. Пирсон Образование. стр. 322. ИСБН 9788178089973 .

[FOOTNOTEWaterhouse1980-4] Уотерхаус 1980 .

[FOOTNOTEScharlau1988-5] Шарлау 1988 .

[FOOTNOTECasadioZappa1990-6] Касадио и Заппа 1990 .

[FOOTNOTEGow1994-7] Гоу 1994 .

[FOOTNOTEMeo2004-8] Мой 2004 год .

[FOOTNOTEWielandt1959-9] Виландт 1959 .

[FOOTNOTEButler1991Chapter_16-10] Батлер 1991 , Глава 16.

[FOOTNOTECannon1971-11] Кэннон 1971 .

[FOOTNOTEKantor1985a-12] Офис 1985а .

[FOOTNOTEKantor1985b-13] Офис 1985b .

[FOOTNOTEKantor1990-14] Офис 1990 .

[FOOTNOTEKantorTaylor1988-15] Кантор и Тейлор 1988 .

[FOOTNOTESeress2003-16] Сересс 2003 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]