Сверхразрешимая решетка

В математике сверхразрешимая решетка — это градуированная решетка , имеющая максимальную цепочку элементов, каждый из которых подчиняется определенному соотношению модулярности. В этом определении отражены многие замечательные свойства решеток подгрупп сверхразрешимых групп .

Мотивация

Конечная группа $G$ называется сверхразрешимой, если она допускает максимальную цепочку (или серию ) подгрупп так, что каждая подгруппа в цепочке нормальна в $G$. С 1940-х годов было известно, что нормальная подгруппа является лево- и (двойственной) правомодулярной как элемент решетки подгрупп. Ричард Стэнли заметил в 1970-х годах, что некоторые геометрические решетки , такие как решетка-разделитель , подчиняются схожим свойствам, и дал теоретико-решеточную абстракцию.

Определение

Конечная градуированная решетка $L$ сверхразрешима , если допускает максимальную цепь $\mathbf {m}$ элементов (называемых М-цепью или главной цепью ), подчиняющихся любому из следующих эквивалентных свойств.

1. Для любой цепочки $\mathbf {c}$ элементов, наименьшая подрешетка $L$ содержащий все элементы $\mathbf {m}$ и $\mathbf {c}$ является распределительным. Это исходное состояние Стэнли.
2. Каждый элемент $\mathbf {m}$ остается модульным . То есть для каждого $m$ в $\mathbf {m}$ и каждый $x\leq y$ в $L$, у нас есть $(x\vee m)\wedge y=x\vee (m\wedge y).$
3. Каждый элемент $\mathbf {m}$ является рангомодулярной в следующем смысле: если $\rho$ является ранговой функцией $L$, то для каждого $m$ в $\mathbf {m}$ и каждый $x$ в $L$, у нас есть $\rho (m\wedge x)+\rho (m\vee x)=\rho (m)+\rho (x).$

Для сравнения: конечная решетка является геометрической тогда и только тогда, когда она атомистична и все элементы антицепи атомов левомодулярны.

Расширением определения является определение левомодулярной решетки : необязательно градуированной решетки с максимальной цепью, состоящей из левомодулярных элементов. Таким образом, левомодулярная решетка требует выполнения условия (2), но ослабляет требование градуированности.

Примеры

Диаграмма Хассе непересекающейся решетки разбиения на наборе из 4 элементов. Крайняя левая максимальная цепь является главной цепью.

Группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда ее решетка подгрупп сверхразрешима. Главный ряд подгрупп образует главную цепь в решетке подгрупп.

Решетка разбиения конечного множества сверхразрешима. Разбиение в этой решетке является левомодулярным тогда и только тогда, когда оно имеет не более одной неодноэлементной части . Непересекающаяся решетка разбиения аналогично сверхразрешима: хотя оно и не геометрическое.

Решетка квартир графического матроида графа сверхразрешима тогда и только тогда , когда граф хордальный . Работая сверху, главная цепь получается путем удаления вершин в порядке идеального исключения одна за другой.

Любая модулярная решетка сверхразрешима, поскольку каждый элемент в такой решетке левомодулярен и рангомодулярен.

Характеристики

Конечный матроид со сверхразрешимой решеткой квартир (что эквивалентно решетке, одновременно геометрической и сверхразрешимой) имеет характеристический многочлен с вещественным корнем . Это следствие более общей теоремы о факторизации характеристических многочленов над модулярными элементами.

Алгебра Орлика -Соломона набора гиперплоскостей со сверхразрешимой решеткой пересечений является алгеброй Кошуля . Для получения дополнительной информации см. Сверхразрешимое расположение .

Любая конечная сверхразрешимая решетка имеет граничную лексикографическую разметку (или EL-маркировку), следовательно, ее порядковый комплекс является оболочкой и Коэном-Маколеем . Действительно, сверхразрешимые решетки можно охарактеризовать с помощью лексикографических разметок ребер: конечная решетка высоты $n$ является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда она имеет граничную лексикографическую разметку, которая ставит в соответствие каждой максимальной цепи перестановку $\{1,\dots ,n\}.$

Ссылки

• Фолдс, Стефан; Вудруф, Расс (2021), «Модульная характеристика сверхрешаемых решеток», Труды Американского математического общества , 150 (1): 31–39, arXiv : 2011.11657 , doi : 10.1090/proc/15645
• Хеллер, Джулия; Швер, Петра (2018), «Обобщенные непересекающиеся перегородки и здания», Электронный журнал комбинаторики , 25 (1), arXiv : 1706.00529 , doi : 10.37236/7200
• Макнамара, Питер; Томас, Хью (2006), «Разметка ребер посета и левая модульность», Европейский журнал комбинаторики , 27 (1): 101–113, arXiv : math.CO/0211126 , doi : 10.1016/j.ejc.2004.07.010
• Саган, Брюс (1999), «Почему характеристические полиномиальные коэффициенты», Бюллетень Американского математического общества , 36 (2): 113–133, arXiv : math/9812136 , doi : 10.1090/S0273-0979-99-00775-2
• Шмидт, Роланд (1994), Решетки подгрупп групп , Изложения де Грюйтера по математике, том. 14, Вальтер де Грютер и компания, номер домена : 10.1515/9783110868647 , ISBN.  3-11-011213-2
• Симион, Родика (2000), «Непересекающиеся разбиения», дискретная математика , формальные степенные ряды и алгебраическая комбинаторика (Вена, 1997), 217 (1–3): 367–409, doi : 10.1016/S0012-365X(99)00273-3
• Стэнли, Ричард П. (1972), «Сверхразрешимые решетки», Algebra Universalis , 2 : 197–217, doi : 10.1007/BF02945028
• Стэнли, Ричард П. (2007), «Введение в компоновку гиперплоскостей», Геометрическая комбинаторика , IAS/Park City Mathematics Series, vol. 13, Американское математическое общество, стр. 389–496, ISBN.  978-0-8218-3736-8
• Стерн, Манфред (1999), Полумодульные решетки. Теория и приложения , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 73, Издательство Кембриджского университета, номер домена : 10.1017/CBO9780511665578 , ISBN.  0-521-46105-7
• Юзвинский, Сергей (2001), «Алгебры Орлика–Соломона в алгебре и топологии», Российские математические обзоры , 56 (2): 293–364, doi : 10.1070/RM2001v056n02ABEH000383 , MR   1859708