Главный сериал

В абстрактной алгебре главный ряд это максимальный нормальный ряд группы — .

Он похож на композиционный ряд , хотя в целом эти два понятия различны: главный ряд — это максимальный нормальный ряд, а композиционный ряд — это максимальный субнормальный ряд.

Главные серии можно рассматривать как разбиение группы на менее сложные части, которые можно использовать для характеристики различных качеств группы.

Определение

Главный ряд — это максимальный нормальный ряд группы. Эквивалентно, главный ряд — это композиционный ряд группы G под действием внутренних автоморфизмов .

Подробно, если G — группа , то главная серия G — это конечный набор нормальных подгрупп N _i ⊆ G ,

1=N_{0}\subseteq N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \cdots \subseteq N_{n}=G,

такая, что каждая факторгруппа N _{i +1} / N _i для i = 1, 2,..., n − 1 является минимальной нормальной подгруппой в G / N _i . Эквивалентно, не существует нормальной подгруппы A в G такой, что N _i < A < N _{i +1} для любого i . Другими словами, главную серию можно считать «полной» в том смысле, что никакую нормальную подгруппу группы G. к ней нельзя добавить

Фактор-группы N _{i +1} / N _i в главной серии называются главными факторами серии. В отличие от композиционных факторов , главные факторы не обязательно просты . То есть может существовать подгруппа A, нормальная в N _{i +1} такая, что N _i < A < N _{i +1} , но A не является нормальной в G . Однако главные факторы всегда характеристически просты , т. е. не имеют собственных нетривиальных характеристических подгрупп . В частности, конечный главный фактор является прямым произведением изоморфных простых групп.

Характеристики

Существование

У конечных групп всегда есть главная серия, хотя у бесконечных групп главная серия не обязательно. Например, группа целых чисел Z с операцией сложения не имеет главного ряда. Чтобы убедиться в этом, заметим, Z циклическая что и абелева , поэтому все ее подгруппы также нормальны и циклические. Предположим, что существует главный ряд N _i, что приводит к немедленному противоречию: N ₁ является циклическим и, следовательно, порождается некоторым целым числом a , однако подгруппа, порожденная 2 a, является нетривиальной нормальной подгруппой, собственно содержащейся в N ₁ , что противоречит определению a главный сериал.

Уникальность

Если существует главный ряд группы, он, как правило, не уникален. Однако одна из форм теоремы Джордана–Гёльдера утверждает, что главные факторы группы уникальны с точностью до изоморфизма, независимо от конкретного главного ряда, из которого они построены. ^[1] является число главных факторов В частности, инвариантом группы G , а также классы изоморфизма главных факторов и их кратности.

Другие объекты недвижимости

В абелевых группах главный ряд и композиционный ряд идентичны, поскольку все подгруппы нормальны.

Для любой нормальной подгруппы N ⊆ G всегда можно найти главный ряд, в котором N является одним из элементов (при условии, что главный ряд для G вообще существует). Кроме того, если G имеет главный ряд и N нормален в G , то и N , и G / N имеют главные серии. Обратное также справедливо: если N нормален в G и и N , и G / N имеют главные серии, то G также имеет главную серию.

Ссылки

^ Лафуэнте, Дж. (ноябрь 1978 г.). «Гомоморфы и образования данного производного класса». Математические труды Кембриджского философского общества . 84 (3). Издательство Кембриджского университета: 437–442. дои : 10.1017/S0305004100055262 .

Айзекс, И. Мартин (1994). Алгебра: Высший курс . Брукс/Коул. ISBN 0-534-19002-2 .

[Lemma-1] Лафуэнте, Дж. (ноябрь 1978 г.). «Гомоморфы и образования данного производного класса». Математические труды Кембриджского философского общества . 84 (3). Издательство Кембриджского университета: 437–442. дои : 10.1017/S0305004100055262 .

[1]