Конечно порожденная абелева группа

В абстрактной алгебре абелева группа $(G,+)$ называется конечно порожденным, если существует конечное число элементов $x_{1},\dots ,x_{s}$ в $G$ такой, что каждый $x$ в $G$ можно записать в форме $x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots +n_{s}x_{s}$ для некоторых целых чисел $n_{1},\dots ,n_{s}$. В этом случае мы говорим, что множество $\{x_{1},\dots ,x_{s}\}$ представляет собой генераторный набор $G$ или что $x_{1},\dots ,x_{s}$ генерировать $G$. Итак, конечно порожденные абелевы группы можно рассматривать как обобщение циклических групп.

Любая конечная абелева группа конечно порождена. Конечно порожденные абелевы группы можно полностью классифицировать.

Примеры

• Целые числа , $\left(\mathbb {Z} ,+\right)$, являются конечно порожденной абелевой группой.
• Целые числа по модулю $n$, $\left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+\right)$, являются конечной (следовательно, конечно порожденной) абелевой группой.
• Любая прямая сумма конечного числа конечно порожденных абелевых групп снова является конечно порожденной абелевой группой.
• Каждая решетка образует конечно порожденную свободную абелеву группу .

Других примеров (с точностью до изоморфизма) нет. В частности, группа $\left(\mathbb {Q} ,+\right)$ рациональных чисел не является конечно порожденным: если $x_{1},\ldots ,x_{n}$ рациональные числа, выберите натуральное число $k$ взаимно простые во всех знаменателях; затем $1/k$ не может быть сгенерировано $x_{1},\ldots ,x_{n}$. Группа $\left(\mathbb {Q} ^{*},\cdot \right)$ ненулевых рациональных чисел также не является конечно порожденным. Группы действительных чисел при сложении $\left(\mathbb {R} ,+\right)$ и ненулевые действительные числа при умножении $\left(\mathbb {R} ^{*},\cdot \right)$ также не являются конечно порожденными.

Классификация

Фундаментальную теорему о конечно порожденных абелевых группах можно сформулировать двумя способами, обобщая две формы фундаментальной теоремы о конечных абелевых группах . Теорема в обеих формах, в свою очередь, обобщается до структурной теоремы для конечно порожденных модулей в области главных идеалов , которая, в свою очередь, допускает дальнейшие обобщения.

Первичное разложение

Формулировка первичного разложения утверждает, что каждая конечно порожденная абелева группа G изоморфна прямой сумме примарных циклических групп и бесконечных циклических групп . Примарная циклическая группа — это группа, порядок которой равен степени простого числа . То есть каждая конечно порожденная абелева группа изоморфна группе вида

$\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /q_{t}\mathbb {Z} ,$

где n ≥ 0 — ранг , а числа q ₁ , ..., q _t — степени простых чисел (не обязательно различных). В частности, G конечна тогда и только тогда, когда n = 0. Значения n , q ₁ , ..., q _t ( с точностью до перестановки индексов) определяются однозначно G , т. е. существует один и только один способ представить G как такое разложение.

Доказательство этого утверждения использует базисную теорему для конечной абелевой группы : каждая конечная абелева группа является прямой суммой примарных циклических групп . Обозначим периодическую подгруппу группы G как tG . Тогда G/tG — абелева группа без кручения и, следовательно, свободная абелева. tG — прямое слагаемое группы G , что означает, что существует подгруппа F группы G st $G=tG\oplus F$, где $F\cong G/tG$. Тогда F также является свободной абелевой. Поскольку tG конечно порожден и каждый элемент tG имеет конечный порядок, tG конечен. По основной теореме для конечной абелевой группы tG можно записать как прямую сумму примарных циклических групп.

Инвариантное факторное разложение

Мы также можем записать любую конечно порожденную абелеву группу G в виде прямой суммы вида

$\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} /{k_{1}}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /{k_{u}}\mathbb {Z} ,$

где k ₁ делит k ₂ , что делит k ₃ и так далее до k _u . Опять же, ранг n и инвариантные факторы k ₁ , ..., k _u однозначно определяются G (здесь с уникальным порядком). Ранг и последовательность инвариантных факторов определяют группу с точностью до изоморфизма.

Эквивалентность

Эти утверждения эквивалентны в результате китайской теоремы об остатках , из которой следует, что $\mathbb {Z} _{jk}\cong \mathbb {Z} _{j}\oplus \mathbb {Z} _{k}$ тогда и только тогда, когда j и k просты взаимно .

История

История и заслуга фундаментальной теоремы осложняются тем фактом, что она была доказана, когда теория групп не была устоявшейся, и поэтому ранние формы, хотя по сути и являются современными результатами и доказательствами, часто излагаются для конкретного случая. Вкратце, ранняя форма конечного случая была доказана Гауссом в 1801 году, конечный случай был доказан Кронекером в 1870 году и сформулирован в теоретико-групповых терминах Фробениусом и Стикельбергером в 1878 году. Конечно и, следовательно , представленный случай решается с помощью нормальной формы Смита часто упоминается ( Smith 1861 ): хотя конечно порожденный случай иногда вместо этого приписывают Пуанкаре в 1900 году; подробности следуют.

Теоретик групп Ласло Фукс утверждает:

Что касается фундаментальной теоремы о конечных абелевых группах, то неясно, насколько далеко в прошлое нужно зайти, чтобы проследить ее происхождение. ...потребовалось много времени, чтобы сформулировать и доказать основную теорему в ее нынешнем виде...

Фундаментальная теорема для конечных абелевых групп была доказана Леопольдом Кронекером в 1870 году: используя теоретико-групповое доказательство, хотя и не формулируя это в терминах теории групп; современное изложение доказательства Кронекера дано в ( Stillwell 2012 ), 5.2.2 Теорема Кронекера, 176–177 . Это обобщило более ранний результат Карла Фридриха Гаусса из Disquisitiones Arithmeticae (1801), который классифицировал квадратичные формы; Кронекер привел этот результат Гаусса. Теорему сформулировали и доказали на языке групп Фердинанд Георг Фробениус и Людвиг Штикельбергер в 1878 году. Другая теоретико-групповая формулировка была дана учеником Кронекера Ойгеном Нетто в 1882 году.

Фундаментальная теорема для конечно представленных абелевых групп была доказана Генри Джоном Стивеном Смитом в ( Smith 1861 ): поскольку целочисленные матрицы соответствуют конечным представлениям абелевых групп (это обобщается на конечно представленные модули в области главных идеалов), а нормальная форма Смита соответствует классификации конечно представленных абелевых групп.

Фундаментальная теорема для конечно порожденных абелевых групп была доказана Анри Пуанкаре в 1900 году с использованием матричного доказательства (которое обобщается на области главных идеалов). Это было сделано в рамках расчета гомологии комплекса, а именно число Бетти и коэффициенты кручения размерности комплекса, где число Бетти соответствует рангу свободной части, а коэффициенты кручения соответствуют крученной части.

Доказательство Кронекера было обобщено на конечно порожденные абелевы группы Эмми Нётер в 1926 году.

Следствия

Другими словами, основная теорема гласит, что конечно порожденная абелева группа является прямой суммой свободной абелевой группы конечного ранга и конечной абелевой группы, каждая из которых уникальна с точностью до изоморфизма. Конечная абелева группа — это просто подгруппа группы G. периодическая Ранг G определяется как ранг части G без кручения ; это просто число n в приведенных выше формулах.

Следствием абелева фундаментальной теоремы является то, что каждая конечно порожденная группа без кручения является свободной абелевой. Здесь существенно условие конечно порожденности: $\mathbb {Q}$ не имеет кручения, но не является свободной абелевой.

Каждая подгруппа и фактор-группа конечно порожденной абелевой группы снова является конечно порожденной абелевой. Конечно порожденные абелевы группы вместе с групповыми гомоморфизмами образуют абелеву категорию , которая является подкатегорией Серра категории абелевых групп .

Неконечно порожденные абелевы группы

Обратите внимание, что не каждая абелева группа конечного ранга конечно порождена; группа 1 ранга $\mathbb {Q}$ является одним контрпримером, а группа ранга 0, заданная прямой суммой счетного бесконечного числа копий $\mathbb {Z} _{2}$ это еще один.

См. также

• Композиционный ряд в теореме Джордана–Гёльдера является неабелевым обобщением.

Ссылки

• Смит, Генри Дж. Стивен (1861). «О системах линейных неопределенных уравнений и сравнений». Фил. Пер. Р. Сок. Лонд. 151 (1): 293–326. дои : 10.1098/rstl.1861.0016 . JSTOR   108738 . S2CID   110730515 . Перепечатано (стр. 367–409 ) в Сборнике математических статей Генри Джона Стивена Смита , Vol. I , под редакцией Дж. У. Л. Глейшера . Оксфорд: Clarendon Press (1894), xcv +603 стр.
• Сильверман, Джозеф Х.; Тейт, Джон Торренс (1992). Рациональные точки на эллиптических кривых . Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер. ISBN  978-0-387-97825-3 .
• де ла Арп, Пьер (2000). Темы геометрической теории групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-31721-2 .