Первичная циклическая группа

В математике первичная циклическая группа — это группа , которая является одновременно циклической группой и p -примарной группой для некоторого простого числа p .То есть это циклическая группа порядка p ^м , С _{п ^м} , для некоторого простого числа p и натурального числа m .

Каждую конечную абелеву группу G можно записать как конечную прямую сумму примарных циклических групп, как утверждается в фундаментальной теореме о конечных абелевых группах :

$G=\bigoplus _{1\leq i\leq n}\mathrm {C} _{{p_{i}}^{m_{i}}}.$

Это выражение по существу уникально: между множествами групп в двух таких выражениях существует биекция, которая отображает каждую группу в изоморфную.

характеризуются Примарные циклические группы среди конечно порожденных абелевых групп как периодические группы , которые не могут быть выражены в виде прямой суммы двух нетривиальных групп. Таким образом, они вместе с группой целых чисел образуют строительные блоки конечно порожденных абелевых групп.

Подгруппы примарной циклической группы линейно упорядочены по включению. Единственные другие группы, обладающие этим свойством, — это квазициклические группы .