Абелева группа

Чтобы узнать о группе, описываемой архаичным использованием родственного термина «абелева линейная группа», см. Симплектическая группа .

В математике , абелева группа также называемая коммутативной группой , — это группа , в которой результат применения групповой операции к двум элементам группы не зависит от порядка их записи. То есть групповая операция коммутативна . При сложении в качестве операции целые и действительные числа образуют абелевы группы, и концепцию абелевой группы можно рассматривать как обобщение этих примеров. Абелевы группы названы в честь Нильса Хенрика Абеля .

Понятие абелевой группы лежит в основе многих фундаментальных алгебраических структур , таких как поля , кольца , векторные пространства и алгебры . Теория абелевых групп обычно проще, чем теория их неабелевых аналогов, а конечные абелевы группы очень хорошо изучены и полностью классифицированы .

Определение

Абелева группа – это множество $A$вместе с операцией $\cdot$ который объединяет любые два элемента $a$ и $b$ из $A$ сформировать еще один элемент $A,$ обозначенный $a\cdot b$. Символ $\cdot$ является общим заполнителем для конкретной операции. Чтобы квалифицироваться как абелева группа, множество и операция: $(A,\cdot )$, должен удовлетворять четырем требованиям, известным как аксиомы абелевой группы (некоторые авторы включают в аксиомы некоторые свойства, относящиеся к определению операции: а именно, что операция определена для любой упорядоченной пары элементов из A , что результат корректен определено и что результат принадлежит A ):

Ассоциативность

Для всех $a$, $b$, и $c$ в $A$, уравнение $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ держит.

Элемент идентификации

Существует элемент $e$ в $A$, такой, что для всех элементов $a$ в $A$, уравнение $e\cdot a=a\cdot e=a$ держит.

Обратный элемент

Для каждого $a$ в $A$ существует элемент $b$ в $A$ такой, что $a\cdot b=b\cdot a=e$, где $e$ является элементом идентичности.

Коммутативность

Для всех $a$, $b$ в $A$, $a\cdot b=b\cdot a$.

Группа, в которой групповая операция не коммутативна, называется «неабелевой группой» или «некоммутативной группой».

Факты

Обозначения

См. Также: Аддитивная группа и Мультипликативная группа.

Существует два основных соглашения об обозначениях абелевых групп – аддитивное и мультипликативное.

Соглашение	Операция	Личность	Полномочия	Обратный
Добавление	$x+y$	0	$nx$	$-x$
Умножение	$x\cdot y$ или $xy$	1	$x^{n}$	$x^{-1}$

Обычно мультипликативная запись является обычным обозначением групп, а аддитивная запись — обычным обозначением модулей и колец . Аддитивное обозначение также может использоваться, чтобы подчеркнуть, что конкретная группа является абелевой, всякий раз, когда рассматриваются как абелевы, так и неабелевы группы, некоторыми заметными исключениями являются почти кольца и частично упорядоченные группы , где операция записывается аддитивно, даже если она неабелева. .

Таблица умножения

Чтобы проверить, что конечная группа является абелевой, можно построить таблицу (матрицу), известную как таблица Кэли , аналогично таблице умножения . Если группа $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}$ под операцией $\cdot$, ​ $(i,j)$-я запись этой таблицы содержит продукт $g_{i}\cdot g_{j}$.

Группа абелева тогда и только тогда, когда эта таблица симметрична относительно главной диагонали. Это верно, поскольку группа абелева тогда и только тогда, когда $g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}$ для всех $i,j=1,...,n$, то есть, если $(i,j)$ запись таблицы равна $(j,i)$ вход для всех $i,j=1,...,n$, т.е. таблица симметрична относительно главной диагонали.

Примеры

• Для целых чисел и операции сложения $+$, обозначенный $(\mathbb {Z} ,+)$, операция + объединяет любые два целых числа в третье целое, сложение ассоциативно, нуль является аддитивным тождеством , каждое целое число $n$ имеет аддитивную обратную , $-n$, а операция сложения коммутативна, так как $n+m=m+n$ для любых двух целых чисел $m$ и $n$.
• Любая циклическая группа $G$ абелева, потому что если $x$, $y$ находятся в $G$, затем $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$. Таким образом , целые числа , $\mathbb {Z}$, образуют абелеву группу при сложении, как и целые числа по модулю $n$, $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$.
• Каждое кольцо является абелевой группой относительно операции сложения. В коммутативном кольце обратимые элементы или единицы образуют абелеву мультипликативную группу . В частности, действительные числа представляют собой абелеву группу при сложении, а ненулевые действительные числа являются абелевой группой при умножении.
• Каждая подгруппа абелевой группы нормальна , поэтому каждая подгруппа порождает факторгруппу . Подгруппы, факторы и прямые суммы абелевых групп снова абелевы. Конечные простые абелевы группы — это в точности циклические группы простого порядка .
• Понятия абелевой группы и $\mathbb {Z}$- согласен модуль . Точнее, каждый $\mathbb {Z}$-модуль — это абелева группа с операцией сложения, и каждая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел. $\mathbb {Z}$ уникальным способом.

В общем, матрицы , даже обратимые, не образуют абелеву группу при умножении, поскольку умножение матриц обычно не является коммутативным. Однако некоторые группы матриц являются абелевыми группами при умножении матриц - одним из примеров является группа $2\times 2$ матрицы вращения .

Исторические замечания

Камилла Джордан назвала абелевы группы в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля , поскольку Абель обнаружил, что коммутативность группы многочлена подразумевает , что корни многочлена могут быть вычислены с помощью радикалов .

Характеристики

Если $n$ является натуральным числом и $x$ является элементом абелевой группы $G$ написано аддитивно, тогда $nx$ может быть определен как $x+x+\cdots +x$ ( $n$ слагаемые) и $(-n)x=-(nx)$. Таким образом, $G$ становится модулем над кольцом $\mathbb {Z}$ целых чисел. Фактически, модули более $\mathbb {Z}$ можно отождествить с абелевыми группами.

Теоремы об абелевых группах (т.е. модулях над областью главных идеалов $\mathbb {Z}$) часто можно обобщить до теорем о модулях в произвольной области главных идеалов. Типичным примером является классификация конечно порожденных абелевых групп , которая является специализацией структурной теоремы для конечно порожденных модулей в области главных идеалов . В случае конечно порожденных абелевых групп эта теорема гарантирует, что абелева группа распадается как прямая сумма периодической группы и свободной абелевой группы . Первое можно записать как прямую сумму конечного числа групп вида $\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z}$ для $p$ простое число, а последнее является прямой суммой конечного числа копий $\mathbb {Z}$.

Если $f,g:G\to H$ являются двумя групповыми гомоморфизмами абелевых групп, то их сумма $f+g$, определяемый $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, снова является гомоморфизмом. (Это неверно, если $H$ является неабелевой группой.) Множество ${\text{Hom}}(G,H)$ всех групповых гомоморфизмов из $G$ к $H$ следовательно, является абелевой группой сама по себе.

В некоторой степени подобно размерности векторных пространств , каждая абелева группа имеет ранг . Он определяется как максимальная мощность набора линейно независимых (по целым числам) элементов группы. Конечные абелевы группы и периодические группы имеют нулевой ранг, и каждая абелева группа нулевого ранга является периодической группой. Целые и рациональные числа имеют ранг один, а также каждая ненулевая аддитивная подгруппа рациональных чисел. С другой стороны, мультипликативная группа ненулевых рациональных чисел имеет бесконечный ранг, поскольку это свободная абелева группа с множеством простых чисел в качестве основы (это следует из фундаментальной теоремы арифметики ).

Центр ​ $Z(G)$ группы $G$ это набор элементов, которые коммутируют с каждым элементом $G$. Группа $G$ абелева тогда и только тогда, когда она равна своему центру $Z(G)$. Центр группы $G$ всегда является характеристической абелевой подгруппой группы $G$. Если факторгруппа $G/Z(G)$ группы по ее центру циклическая, то $G$ является абелевым.

Конечные абелевы группы

Циклические группы целых чисел по модулю $n$, $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, были одними из первых примеров групп. Оказывается, произвольная конечная абелева группа изоморфна прямой сумме конечных циклических групп простого степенного порядка, причем эти порядки определяются однозначно, образуя полную систему инвариантов. Группа автоморфизмов конечной абелевой группы может быть описана непосредственно в терминах этих инвариантов. Теория была впервые развита в статье 1879 года Георга Фробениуса и Людвига Штикельбергера , а затем была упрощена и обобщена на конечно порожденные модули в области главных идеалов, образуя важную главу линейной алгебры .

Любая группа простого порядка изоморфна циклической группе и, следовательно, абелева. Любая группа, порядок которой является квадратом простого числа, также является абелевой. Действительно, для каждого простого числа $p$ существует (с точностью до изоморфизма) ровно две группы порядка $p^{2}$, а именно $\mathbb {Z} _{p^{2}}$ и $\mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}$.

Классификация

Фундаментальная теорема о конечных абелевых группах утверждает, что каждая конечная абелева группа $G$ может быть выражена как прямая сумма циклических подгрупп простого порядка; она также известна как основная теорема для конечных абелевых групп . Более того, группы автоморфизмов циклических групп являются примерами абелевых групп. Это обобщено фундаментальной теоремой о конечно порожденных абелевых группах , причем конечные группы являются частным случаем, когда G имеет нулевой ранг ; это, в свою очередь, допускает многочисленные дальнейшие обобщения.

Классификация была доказана Леопольдом Кронекером в 1870 году, хотя в современных теоретико-групповых терминах она была сформулирована лишь позже, и ей предшествовала аналогичная классификация квадратичных форм Карла Фридриха Гаусса в 1801 году; смотрите в истории подробности .

Циклическая группа $\mathbb {Z} _{mn}$ порядка $mn$ изоморфна прямой сумме $\mathbb {Z} _{m}$ и $\mathbb {Z} _{n}$ тогда и только тогда, когда $m$ и $n$ взаимнопросты ​ . Отсюда следует, что любая конечная абелева группа $G$ изоморфна прямой сумме вида

$\bigoplus _{i=1}^{u}\ \mathbb {Z} _{k_{i}}$

одним из следующих канонических способов:

• цифры $k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}$ являются степенями простых чисел (не обязательно различных),
• или $k_{1}$ делит $k_{2}$, который делит $k_{3}$и так далее до $k_{u}$.

Например, $\mathbb {Z} _{15}$ может быть выражена как прямая сумма двух циклических подгрупп порядка 3 и 5: $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$. То же самое можно сказать и о любой абелевой группе пятнадцатого порядка, что приводит к замечательному выводу, что все абелевы группы пятнадцатого порядка изоморфны .

Другой пример: каждая абелева группа порядка 8 изоморфна либо $\mathbb {Z} _{8}$ (целые числа от 0 до 7 при сложении по модулю 8), $\mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ (нечетные целые числа от 1 до 15 при умножении по модулю 16), или $\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}$.

См. также список малых групп для конечных абелевых групп порядка 30 или меньше.

Автоморфизмы

можно применить Фундаментальную теорему для подсчета (а иногда и определения) автоморфизмов данной конечной абелевой группы. $G$. Для этого используется тот факт, что если $G$ делится как прямая сумма $H\oplus K$ подгрупп взаимно простого порядка, то

$\operatorname {Aut} (H\oplus K)\cong \operatorname {Aut} (H)\oplus \operatorname {Aut} (K).$

Учитывая это, фундаментальная теорема показывает, что для вычисления группы автоморфизмов $G$ достаточно вычислить группы автоморфизмов силовских $p$-подгруппы отдельно (то есть все прямые суммы циклических подгрупп, каждая порядка степени $p$). Исправить простое число $p$ и предположим, что показатели $e_{i}$ циклических факторов Силовского $p$-подгруппы располагаются в порядке возрастания:

$e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}$

для некоторых $n>0$. Требуется найти автоморфизмы

$\mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}.$

Особый случай – это когда $n=1$, так что в силовской формуле имеется только один циклический множитель простой степени $p$-подгруппа $P$. теорией автоморфизмов конечной циклической группы В этом случае можно воспользоваться . Другой частный случай — когда $n$ произвольно, но $e_{i}=1$ для $1\leq i\leq n$. Здесь рассматривается $P$ иметь форму

$\mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p},$

поэтому элементы этой подгруппы можно рассматривать как содержащие векторное пространство размерности $n$ над конечным полем $p$ элементы $\mathbb {F} _{p}$. Таким образом, автоморфизмы этой подгруппы задаются обратимыми линейными преобразованиями, поэтому

$\operatorname {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbf {F} _{p}),$

где $\mathrm {GL}$ — соответствующая общая линейная группа . Легко показать, что это имеет порядок

$\left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1}).$

В самом общем случае, когда $e_{i}$ и $n$ произвольны, группу автоморфизмов определить труднее. Однако известно, что если определить

$d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}\}$

и

$c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}$

тогда у человека есть, в частности, $k\leq d_{k}$, $c_{k}\leq k$, и

$\left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.$

Можно проверить, что это приводит к порядку из предыдущих примеров как к особым случаям (см. Хиллар и Рея).

Конечно порожденные абелевы группы

Основная статья: Конечно порожденная абелева группа

Абелева группа A конечно порождена, если она содержит конечный набор элементов (называемых генераторами ) $G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ такой, что каждый элемент группы представляет собой линейную комбинацию с целыми коэффициентами элементов G .

Пусть L — свободная абелева группа с базисом $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.$ Существует единственный гомоморфизм группы $p\colon L\to A,$ такой, что

$p(b_{i})=x_{i}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.$

Этот гомоморфизм сюръективен , а его ядро ​​конечно порождено (поскольку целые числа образуют нётерово кольцо ). Рассмотрим матрицу M -го столбца которой с целыми элементами, элементы j являются коэффициентами j -го генератора ядра. Тогда абелева группа изоморфна коядру линейного отображения, определенного M . И наоборот, каждая целочисленная матрица определяет конечно порожденную абелеву группу.

Отсюда следует, что изучение конечно порожденных абелевых групп полностью эквивалентно изучению целочисленных матриц. В частности, изменение порождающего набора A эквивалентно умножению M слева на унимодулярную матрицу (то есть обратимую целочисленную матрицу, обратная которой также является целочисленной матрицей). Изменение порождающего набора ядра M эквивалентно умножению M справа на унимодулярную матрицу.

Нормальная форма Смита матрицы M представляет собой матрицу

$S=UMV,$

где U и V унимодулярны, а S — матрица такая, что все недиагональные элементы равны нулю, ненулевые диагональные элементы ⁠ $d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}$⁠ — первые, и ⁠ $d_{j,j}$⁠ является делителем ⁠ $d_{i,i}$⁠ для я > j . Существование и вид нормальной формы Смита доказывают, что конечно порожденная абелева группа A представляет собой прямую сумму

$\mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} /d_{1,1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /d_{k,k}\mathbb {Z} ,$

где r — количество нулевых строк внизу S (а также ранг группы). Это основная теорема о конечно порожденных абелевых группах .

Существование алгоритмов нормальной формы Смита показывает, что фундаментальная теорема о конечно порожденных абелевых группах является не только теоремой абстрактного существования, но и обеспечивает способ вычисления выражения конечно порожденных абелевых групп в виде прямых сумм.

Бесконечные абелевы группы

Простейшая бесконечная абелева группа — это бесконечная циклическая группа. $\mathbb {Z}$. Любая конечно порожденная абелева группа $A$ изоморфна прямой сумме $r$ копии $\mathbb {Z}$ и конечная абелева группа, которая, в свою очередь, разложима в прямую сумму конечного числа циклических групп простых степенных порядков. Несмотря на то, что разложение не однозначно, число $r$, рангом называемый $A$, а степени простых чисел, задающие порядки конечных циклических слагаемых, определены однозначно.

Напротив, классификация общих бесконечно порожденных абелевых групп далека от завершения. Делимые группы , т.е. абелевы группы $A$ в котором уравнение $nx=a$ допускает решение $x\in A$ для любого натурального числа $n$ и элемент $a$ из $A$, составляют один важный класс бесконечных абелевых групп, которые можно полностью охарактеризовать. Каждая делимая группа изоморфна прямой сумме со слагаемыми, изоморфными $\mathbb {Q}$ и экзаменационные группы $\mathbb {Q} _{p}/Z_{p}$ для различных простых чисел $p$, причем мощность множества слагаемых каждого типа определяется однозначно. Более того, если делимая группа $A$ является подгруппой абелевой группы $G$ затем $A$ допускает прямое дополнение: подгруппу $C$ из $G$ такой, что $G=A\oplus C$. Таким образом, делимые группы являются инъективными модулями в категории абелевых групп , и наоборот, каждая инъективная абелева группа делима ( критерий Бэра ). Абелева группа без ненулевых делимых подгрупп называется приведенной .

Двумя важными специальными классами бесконечных абелевых групп с диаметрально противоположными свойствами являются группы кручения и группы без кручения , примером которых являются группы $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ (периодический) и $\mathbb {Q}$ (без перекручивания).

Торсионные группы

Абелева группа называется периодической или периодической , если каждый элемент имеет конечный порядок . Прямая сумма конечных циклических групп периодична. Хотя обратное утверждение в общем случае неверно, известны некоторые частные случаи. Первая и вторая теоремы Прюфера утверждают, что если $A$ является периодической группой и либо имеет ограниченный показатель , т. е. $nA=0$ для некоторого натурального числа $n$, или счетно и $p$-высоты элементов $A$ конечны для каждого $p$, затем $A$ изоморфна прямой сумме конечных циклических групп. Мощность множества прямых слагаемых, изоморфных $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ в таком разложении является инвариантом $A$. Эти теоремы позже были включены в критерий Куликова . В другом направлении Гельмут Ульм нашел распространение второй теоремы Прюфера на счетные абелевы числа. $p$-группы с элементами бесконечной высоты: эти группы полностью классифицируются с помощью своих ульмовских инвариантов .

Группы без кручения и смешанные группы

Абелева группа называется без кручения, если каждый ненулевой элемент имеет бесконечный порядок. Несколько классов абелевых групп без кручения широко изучены:

• Свободные абелевы группы , т.е. произвольные прямые суммы $\mathbb {Z}$
• Которсионные и алгебраически компактные группы без кручения, такие как $p$-адические целые числа
• Стройные группы

Абелева группа, не являющаяся ни периодической, ни без кручения, называется смешанной . Если $A$ является абелевой группой и $T(A)$ — ее периодическая подгруппа , то фактор-группа $A/T(A)$ не имеет скручивания. Однако в общем случае периодическая подгруппа не является прямым слагаемым группы $A$, так $A$ не ​ изоморфен $T(A)\oplus A/T(A)$. Таким образом, теория смешанных групп предполагает нечто большее, чем просто объединение результатов о периодических группах и группах без кручения. Группа добавок $\mathbb {Z}$ целых чисел без кручения $\mathbb {Z}$-модуль.

Инварианты и классификация

Один из основных инвариантов бесконечной абелевой группы. $A$ - его ранг : мощность максимального линейно независимого подмножества $A$. Абелевы группы ранга 0 являются в точности периодическими группами, а абелевы группы без кручения ранга 1 обязательно являются подгруппами $\mathbb {Q}$ и может быть полностью описан. В более общем смысле, абелева группа без кручения конечного ранга. $r$ является подгруппой $\mathbb {Q} _{r}$. С другой стороны, группа $p$-адические целые числа $\mathbb {Z} _{p}$ является абелевой группой без кручения бесконечных $\mathbb {Z}$-ранг и группы $\mathbb {Z} _{p}^{n}$ с разными $n$ неизоморфны, поэтому этот инвариант даже не полностью отражает свойства некоторых знакомых групп.

Теоремы классификации конечно порожденных, делимых, счетных периодических абелевых групп без кручения ранга 1, объясненные выше, были получены до 1950 года и составляют основу классификации более общих бесконечных абелевых групп. Важными техническими инструментами, используемыми при классификации бесконечных абелевых групп, являются чистые и основные подгруппы. Введение различных инвариантов абелевых групп без кручения было одним из направлений дальнейшего прогресса. можно найти в книгах Ирвинга Каплански , Ласло Фукса , Филиппа Гриффита и Дэвида Арнольда , а также в материалах конференций по теории абелевых групп, опубликованных в журнале Lecture Notes in Mathematics Более свежие открытия .

Аддитивные группы колец

Аддитивная группа кольца является абелевой группой, но не все абелевы группы являются аддитивными группами колец (с нетривиальным умножением). Некоторые важные темы в этой области исследования:

• Тензорное произведение
• Результаты ALS Corner о счетных группах без кручения
• Работа Шела по снятию ограничений по количеству элементов
• Кольцо Бернсайда

Связь с другими математическими темами

Многие большие абелевы группы обладают естественной топологией , превращающей их в топологические группы .

Совокупность всех абелевых групп вместе с гомоморфизмами между ними образует категорию ${\textbf {Ab}}$, прототип абелевой категории .

Ванда Шмелев ( 1955 ) доказала, что теория абелевых групп первого порядка, в отличие от ее неабелева аналога, разрешима. Большинство алгебраических структур, кроме булевых алгебр неразрешимы , .

Есть еще много областей текущих исследований:

• Среди абелевых групп без кручения конечного ранга ранга 1 ; хорошо изучены только конечно порожденный случай и случай
• В теории абелевых групп без кручения бесконечного ранга имеется много нерешенных проблем;
• В то время как счетные периодические абелевы группы хорошо понятны с помощью простых представлений и инвариантов Ульма, случай счетных смешанных групп гораздо менее развит.
• Известно, что многие мягкие расширения теории абелевых групп первого порядка неразрешимы.
• Конечные абелевы группы остаются темой исследований в вычислительной теории групп .

Более того, абелевы группы бесконечного порядка, что весьма удивительно, приводят к глубоким вопросам о теории множеств, которая, как принято считать, лежит в основе всей математики. Возьмем проблему Уайтхеда : все ли группы Уайтхеда бесконечного порядка также являются свободными абелевыми группами ? В 1970-х годах Сахарон Шела доказал, что проблема Уайтхеда состоит в следующем:

• Неразрешима в ZFC ( аксиомах Цермело-Френкеля ), традиционной аксиоматической теории множеств , из которой можно вывести почти всю современную математику. Проблема Уайтхеда также является первым вопросом обычной математики, который оказался неразрешимым в ZFC;
• Неразрешимо, даже если ZFC дополняется принятием гипотезы обобщенного континуума в качестве аксиомы;
• Положительный ответ, если ZFC дополнен аксиомой конструктивности (см . утверждения, истинные в L ).

Примечание о типографике

Среди математических прилагательных, от собственного имени математика происходящих , слово «абелев» встречается редко, поскольку оно часто пишется со строчной а , а не с прописной А , причем отсутствие заглавных букв является молчаливым признанием не только степени какое имя Абеля было институционализировано, но также и то, насколько повсеместно в современной математике распространены введенные им концепции.

См. также

• Подгруппа коммутанта - наименьшая нормальная подгруппа, фактор по которой коммутативен.
• Абелианизация - Факторирование группы по ее коммутанту.
• Группа диэдра 6-го порядка - некоммутативная группа с 6 элементами, наименьшая неабелева группа.
• Элементарная абелева группа - коммутативная группа, в которой все ненулевые элементы имеют одинаковый порядок.
• Группа Гротендика - абелева группа, расширяющая коммутативный моноид.
• Двойственность Понтрягина - Двойственность для локально компактных абелевых групп.

Ссылки

• Кокс, Дэвид (2004). Теория Галуа . Уайли-Интерсайенс . ISBN  9781118031339 . МР   2119052 .
• Фукс, Ласло (1970). Бесконечные абелевы группы . Чистая и прикладная математика. Том. 36-я. Академическая пресса . МР   0255673 .
• Фукс, Ласло (1973). Бесконечные абелевы группы . Чистая и прикладная математика. Том. 36-II. Академическая пресса . МР   0349869 .
• Гриффит, Филипп А. (1970). Теория бесконечной абелевой группы . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN  0-226-30870-7 .
• Херштейн, Индиана (1975). Темы алгебры (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN  0-471-02371-Х .
• Хиллар, Кристофер; Рея, Даррен (2007). «Автоморфизмы конечных абелевых групп» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 114 (10): 917–923. arXiv : математика/0605185 . Бибкод : 2006math......5185H . дои : 10.1080/00029890.2007.11920485 . JSTOR   27642365 . S2CID   1038507 .
• Джейкобсон, Натан (2009). Основная алгебра I (2-е изд.). Дуврские публикации . ISBN  978-0-486-47189-1 .
• Роуз, Джон С. (2012). Курс теории групп . Дуврские публикации. ISBN  978-0-486-68194-8 . Полное и неизмененное переиздание работы, впервые опубликованной издательством Cambridge University Press, Кембридж, Англия, в 1978 году.
• Шмелев, Ванда (1955). «Элементарные свойства абелевых групп» (PDF) . Фундамента Математика . 41 (2): 203–271. дои : 10.4064/fm-41-2-203-271 . МР   0072131 . Збл   0248.02049 .
• Робинсон, Авраам ; Закон, Элиас (1960). «Элементарные свойства упорядоченных абелевых групп» (PDF) . Труды Американского математического общества . 96 (2): 222–236. дои : 10.2307/1993461 . JSTOR   1993461 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.

Внешние ссылки

• «Абелева группа» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].