Основная подгруппа

В абстрактной алгебре — базовая подгруппа это подгруппа , абелевой группы которая представляет собой прямую сумму циклических подгрупп и удовлетворяет дополнительным техническим условиям. Это понятие было введено Л.Я. Куликовым (для p -групп ) и Ласло Фуксом (в целом) в попытке сформулировать теорию классификации бесконечных абелевых групп, выходящую за рамки теорем Прюфера . Это помогает свести проблему классификации к классификации возможных расширений между двумя хорошо понятными классами абелевых групп: прямыми суммами циклических групп и делимыми группами .

Определение и свойства [ править ]

Подгруппа для B $фиксированного$ абелевой группы A $,$ называется p -базовой p простого числа если $выполняются$ следующие условия:

$B$ — прямая сумма циклических групп порядка $p н$ и бесконечные циклические группы;
$B$ — p - чистая подгруппа группы $A$ ;
Факторгруппа $A / B$ является p - делимой группой .

Из условий 1–3 следует, что подгруппа $B$ хаусдорфова , которая , в p -адической топологии $B$ топологией, индуцированной из $A$ , и что $B$ плотна A в $кроме того, совпадает с$ . Выбор генератора в каждом циклическом прямом слагаемом $B$ создает p -базис , B который аналогичен базису векторного пространства или свободной абелевой группы .

Каждая абелева группа $A$ содержит p -базовые подгруппы для каждого $p$ , и любые 2 p -базовые подгруппы $A$ изоморфны. абелевы группы, содержащие единственную p Полностью охарактеризованы -базисную подгруппу. В случае р -групп они либо делимы , либо ограничены ; т. е. имеют ограниченный показатель. В общем, класс изоморфизма фактора $A / B$ по базовой подгруппе $B$ от $B.$ может зависеть

Ссылки [ править ]

Ласло Фукс (1970), Бесконечные абелевы группы, Vol. Я. Чистая и прикладная математика, Vol. 36. Нью-Йорк – Лондон: Academic Press MR. 0255673
Л. Я. Куликов, К теории абелевых групп произвольной мощности , Матем. Сб., 16 (1945), 129–162.
Курош, А.Г. (1960), Теория групп , Нью-Йорк: Челси, MR 0109842.