Высота (абелева группа)

В математике высота существует элемента g абелевой группы A является инвариантом, отражающим его свойства делимости: это наибольшее натуральное число N такое, что уравнение Nx = g имеет решение x ∈ A , или символ ∞, если нет такого N . p - высота учитывает только свойства делимости на степени фиксированного простого числа p . Понятие высоты допускает уточнение, так что p -высота становится порядковым числом . Высота играет важную роль в теоремах Прюфера , а также в теореме Ульма , которая описывает классификацию некоторых бесконечных абелевых групп в терминах их факторов Ульма или инвариантов Ульма .

Определение высоты

Пусть A — абелева группа, а — элемент из A. g p - высота g таким , в A , обозначаемая ( _hp g ) , является наибольшим натуральным числом n что уравнение p ^н x = g имеет решение в x ∈ A или символ ∞, если решение существует для всех n . Таким образом, h _p ( g ) = n тогда и только тогда, когда g ∈ p ^н А и г ∉ р ^{п +1} А. ​ Это позволяет уточнить понятие высоты.

Для любого ординала α существует подгруппа p ^а A из A , который является образом карты умножения, повторенной раз α , определенной с помощью трансфинитная индукция :

• $p^{0}A=A;$
• $p^{\alpha +1}A=p(p^{\alpha }A);$
• $p^{\beta }A=\bigcap _{\alpha <\beta }p^{\alpha }(A)$ если β — предельный ординал .

Подгруппы p ^а A образуют убывающую фильтрацию группы A , а их пересечение является подгруппой p -делимых элементов группы A , элементам которой присвоена высота ∞. Модифицированная p -высота h _p ^∗ ( г ) знак равно α , если г ∈ p ^а A , но g ∉ p ^{+1 ​} А. ​Строительство п. ^а A является функториалом в A ; в частности, подфакторы фильтрации являются инвариантами изоморфизма A .

Ульмские подгруппы

Пусть p — фиксированное простое число. (Первая) подгруппа Ульма абелевой группы A , обозначаемая U ( A ) или A ¹ , это п ^ой А = ∩ _п п ^н A , где ω — наименьший бесконечный ординал . Он состоит из всех элементов A бесконечной высоты. Семья { У ^п ( A )} подгрупп Ульма, индексированных ординалами σ, определяется трансфинитной индукцией:

• $U^{0}(A)=A;$
• $U^{\sigma +1}(A)=U(U^{\sigma }(A));$
• $U^{\tau }(A)=\bigcap _{\sigma <\tau }U^{\sigma }(A)$ если τ — предельный ординал .

Эквивалентно, У ^п ( А ) знак равно п ^о.с. A , где ωσ — произведение ординалов ω и σ .

Подгруппы Ульма образуют убывающую фильтрацию группы A , факторы которой U _σ ( A ) = U ^п ( К )/​ ^{р +1} ( A называются Ульма A. ) факторами Эта фильтрация стабилизирует и наименьший порядковый номер τ такой, что U ^т ( А ) = У ^{т +1} ( A ) — Ульма A . длина Наименьшая ульмская подгруппа U ^т ( A ), также обозначается U ^∞ ( А ) и р ^∞ A — наибольшая p -делимая подгруппа группы A ; если A — p -группа, то U ^∞ ( A ) делится поэтому является прямым слагаемым A. и

Для каждого фактора Ульма U _σ ( A ) p -высоты его элементов конечны и неограничены для каждого фактора Ульма, за исключением, возможно, последнего, а именно U _{τ −1} ( A ), когда длина Ульма τ является порядковым ординалом .

Теорема Ульма

Вторая теорема Прюфера обеспечивает прямое распространение фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах на счетные абелевы p -группы без элементов бесконечной высоты: каждая такая группа изоморфна прямой сумме циклических групп, порядки которых являются степенями p . При этом мощность множества слагаемых порядка p ^н однозначно определяется группой и реализуется каждая последовательность не более чем счетной мощности. Гельмут Ульм (1933) нашел распространение этой теории классификации на общие счетные p -группы: их класс изоморфизма определяется классами изоморфизма факторов Ульма и p -делимой части.

Теорема Ульма . Пусть A и B — счетные абелевы p - группы такие, что для любого ординала σ их факторы Ульма изоморфны , U _σ ( A ) ≅ U _σ ( B ) и p - делимые части A и B изоморфны , U ^∞ ( А ) ≅ У ^∞ ( Б ). Тогда A и B изоморфны.

Существует дополнение к этой теореме, впервые сформулированное Лео Зиппином (1935) и доказанное Курошем (1960), которое касается существования абелевой p -группы с заданными ульмовскими факторами.

Пусть τ — ординал, а { A _σ } — семейство счетных абелевых p - групп, индексированных ординалами σ < τ, таких, что p - высоты элементов каждого A _σ конечны и, за исключением, возможно, последнего, равны неограниченный. Тогда существует приведенная абелева p - группа A ульмовой длины τ, ульм-факторы которой изоморфны этим p - группам , U _σ ( A ) ≅ A _σ .

Первоначальное доказательство Ульма было основано на распространении теории элементарных делителей на бесконечные матрицы .

Альтернативная

Джордж Макки и Ирвинг Каплански обобщили теорему Ульма на некоторые модули над полным кольцом дискретного нормирования . Они ввели инварианты абелевых групп, что привело к прямой формулировке классификации счетных периодических абелевых групп: для данной абелевой группы A , простого числа p и ординала α соответствующий α -й инвариант Ульма является размерностью фактора

п ^а Приложение ​ ​ ​ ​ ^{+1 ​} А [ п ],

где B [ p ] обозначает p -кручение абелевой группы B , т.е. подгруппу элементов порядка p , рассматриваемую как векторное пространство над конечным полем с p элементами.

Счетная периодическая приведенная абелева группа однозначно с точностью до изоморфизма определяется своими инвариантами Ульма для всех простых чисел p и счетных ординалов α .

Их упрощенное доказательство теоремы Ульма послужило моделью для многих дальнейших обобщений на другие классы абелевых групп и модулей.

Ссылки

• Ласло Фукс (1970), Бесконечные абелевы группы, Vol. Я. ​Чистая и прикладная математика, Vol. 36. Нью-Йорк – Лондон: Academic Press MR. 0255673
• Ирвинг Каплански и Джордж Макки , Обобщение теоремы Ульма . Сумма Бразилии. Математика. 2, (1951), 195–202 МР 0049165
• Курош, А.Г. (1960), Теория групп , Нью-Йорк: Челси, MR   0109842.
• Ульм, Х (1933). «К теории счетно-бесконечных абелевых групп». Математика . 107 :774-803. дои : 10.1007/bf01448919 . ЖФМ   59.0143.03 . S2CID   122867558 .