Стройная группа

В математике — тонкая группа это без кручения абелева группа , которая является «малой» в том смысле, который уточняется в приведенном ниже определении.

Определение

Пусть Z ^Н обозначают группу Бэра–Спкера , то есть группу всех целочисленных последовательностей с почленным сложением. Для каждого натурального числа n пусть en _будет последовательностью, в которой n -й член равен 1, а все остальные члены равны 0.

Абелева группа без кручения G называется тонкой , если каждый гомоморфизм из Z ^Н в G , кроме конечного числа, en _{отображает все элементы} в единичный элемент .

Примеры

Любая свободная абелева группа тонка.

Аддитивная группа рациональных чисел Q узкой: любое отображение en _{не является} в Q продолжается до гомоморфизма из свободной подгруппы , порожденной en _, и, поскольку Q инъективен , этот гомоморфизм распространяется на все Z ^Н . Поэтому небольшую группу необходимо сократить .

Каждая счетная приведенная абелева группа без кручения тонкая, поэтому каждая собственная подгруппа в Q тонкая.

Свойства

• Абелева группа без кручения является тонкой тогда и только тогда, когда она редуцирована и не содержит копии группы Бэра – Спекера и копии p -адических целых чисел для любого p .
• Прямые суммы тонких групп также тонки.
• Подгруппы стройных групп стройны.
• Любой гомоморфизм из Z ^Н в небольшую группу факторов через Z ^н для некоторого натурального числа n .

Ссылки

• Фукс, Ласло (1973). Бесконечные абелевы группы. Том. II . Чистая и прикладная математика. Том. 36. Бостон, Массачусетс: Академик Пресс . Глава XIII. МР   0349869 . Збл   0257.20035 . .
• Гриффит, Филипп А. (1970). Теория бесконечной абелевой группы . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. стр. 111–112. ISBN  0-226-30870-7 . Збл   0204.35001 .
• Нунке, Р.Дж. (1961). «Стройные группы» . Бюллетень Американского математического общества . 67 (3): 274–275. дои : 10.1090/S0002-9904-1961-10582-X . Збл   0099.01301 .
• Шела, Сахарон ; Колман, Орен (2000). «Бесконечная аксиоматизируемость тонких и свободных от кокручений групп» . Бюллетень Бельгийского математического общества . 7 : 623–629. МР   1806941 . Збл   0974.03036 .