Делимая группа

В математике , особенно в области теории групп , делимая группа — это абелева группа , в которой каждый элемент может в некотором смысле делиться на положительные целые числа, или, точнее, каждый элемент является n -ным кратным для каждого положительного целого числа n. . Делимые группы важны для понимания структуры абелевых групп, особенно потому, что они являются инъективными абелевыми группами.

Определение

Абелева группа $(G,+)$ делится , если для любого натурального числа $n$ и каждый $g\in G$, существует $y\in G$ такой, что $ny=g$. Эквивалентное условие: для любого положительного целого числа $n$, $nG=G$, поскольку существование $y$ для каждого $n$ и $g$ подразумевает, что $nG\supseteq G$и другое направление $nG\subseteq G$ справедливо для каждой группы. Третье эквивалентное условие состоит в том, что абелева группа $G$ делится тогда и только тогда, когда $G$ — инъективный объект в категории абелевых групп ; по этой причине делимую группу иногда называют инъективной группой .

Абелева группа – это $p$- делится на простое число $p$ если для каждого $g\in G$, существует $y\in G$ такой, что $py=g$. Эквивалентно, абелева группа $p$-делим тогда и только тогда, когда $pG=G$.

Примеры

• Рациональные числа $\mathbb {Q}$ при сложении образуют делимую группу.
• В более общем смысле, основная аддитивная группа любого векторного пространства над $\mathbb {Q}$ является делимым.
• Каждое частное делимой группы является делимым. Таким образом, $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ является делимым.
• р компонент - первичный $\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z}$ из $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$, изоморфная группе p - квазициклической $\mathbb {Z} [p^{\infty }]$, делится.
• Мультипликативная группа комплексных чисел $\mathbb {C} ^{*}$ является делимым.
• Любая экзистенциально замкнутая абелева группа (в теоретико-модельном смысле) делима.

Характеристики

• Если делимая группа является подгруппой абелевой группы, то она является прямым слагаемым этой абелевой группы.
• Любую абелеву группу можно вложить в делимую группу.
• Нетривиальные делимые группы не являются конечно порожденными .
• вложена в делимую группу как существенную подгруппу . Далее, каждая абелева группа может быть единственным образом
• Абелева группа делима тогда и только тогда, когда она p -делима для любого простого числа p .
• Позволять $A$ несущий ​ . Если $T$ является делимой группой, то $\mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} {\text{-Mod}}}(A,T)$ инъективен категории в $A$- модули .

Структурная теорема делимых групп

Пусть G — делимая группа. Тогда периодическая подгруппа Tor( G ) группы G делима. Поскольку делимая группа является инъективным модулем , Tor( G является прямым слагаемым группы G. ) Так

$G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).$

Как фактор делимой группы G /Tor( G ) делим. Более того, он не имеет скручивания . Таким образом, это векторное пространство над Q , и поэтому существует множество I такое, что

$G/\mathrm {Tor} (G)=\bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.$

Структуру торсионной подгруппы определить труднее, но можно показать что для всех простых чисел p существует $I_{p}$ такой, что

$(\mathrm {Tor} (G))_{p}=\bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},$

где $(\mathrm {Tor} (G))_{p}$ является p -примарной компонентой Tor( G ).

Таким образом, если P — множество простых чисел,

$G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.$

Мощности множеств I и I _p при p ∈ P однозначно определяются группой G .

Инъекционная оболочка

Основная статья: Инъективный конверт

Как говорилось выше, любая абелева группа A может быть однозначно вложена в делимую группу D как существенная подгруппа . Эта делимая группа D является инъективной оболочкой A , а это понятие — инъективной оболочкой в ​​категории абелевых групп.

Приведенные абелевы группы

Абелева группа называется приведенной, если ее единственной делимой подгруппой является {0}. Каждая абелева группа является прямой суммой делимой и приведенной подгруппы. Фактически, в любой группе существует единственная наибольшая делимая подгруппа, и эта делимая подгруппа является прямым слагаемым. Это особенность наследственных колец, таких как целые числа Z : прямая сумма инъективных модулей инъективна, поскольку кольцо нётерово , а факторы инъективных инъективны, поскольку кольцо наследственно, поэтому любой подмодуль, порожденный инъективными модулями, инъективен. Обратное является результатом ( Матлис, 1958 ): если каждый модуль имеет единственный максимальный инъективный подмодуль, то кольцо наследственное.

Полная классификация счетных приведенных периодических абелевых групп дается теоремой Ульма .

Обобщение

Несколько различных определений обобщают делимые группы до делимых модулей. использовались следующие определения В литературе для определения делимого модуля M над кольцом R :

1. rM = M для всех r в R. ненулевых (Иногда требуется, чтобы r не было делителем нуля, и некоторые авторы требуют, чтобы R был доменом .)
2. Для каждого главного левого идеала Ra любой гомоморфизм из Ra в M продолжается до гомоморфизма R в M. из (Этот тип делимого модуля также называется принципиально инъективным модулем .)
3. Для каждого конечно порожденного левого идеала L кольца R любой гомоморфизм из в M продолжается до гомоморфизма из R в M. L

Последние два условия представляют собой «ограниченные версии» критерия Бэра для инъективных модулей . Поскольку инъективные левые модули расширяют гомоморфизмы всех левых идеалов на R , инъективные модули явно делятся в смысле 2 и 3.

Если R дополнительно является областью, то все три определения совпадают. Если R — область главных левых идеалов, то делимые модули совпадают с инъективными модулями. Таким образом, в случае кольца целых чисел Z , которое является областью главных идеалов, Z -модуль (который в точности является абелевой группой) делим тогда и только тогда, когда он инъективен.

Если R — коммутативная область, то инъективные модули R совпадают с делимыми модулями R тогда и только тогда, когда R — дедекиндова область .

См. также

• Инъективный объект
• Инъекционный модуль

Ссылки

• Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1999), Гомологическая алгебра , Принстонские ориентиры в математике , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. xvi + 390, ISBN  0-691-04991-2 , MR   1731415 С приложением Дэвида А. Буксбаума; Перепечатка оригинала 1956 года.
• Фейгельсток, Шалом (2006), «Делимое инъективно», Сучжоу Дж. Математика. , 32 (2): 241–243, ISSN   0250-3255 , МР   2238765
• Гриффит, Филипп А. (1970). Теория бесконечной абелевой группы . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-30870-7 .
• Холл, Маршалл-младший (1959). Теория групп . Нью-Йорк: Макмиллан. Глава 13.3.
• Каплански, Ирвинг (1965). Бесконечные абелевы группы . Издательство Мичиганского университета.
• Фукс, Ласло (1970). Бесконечные абелевы группы Том 1 . Академическая пресса.
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, том. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN.  978-0-387-98428-5 , МР   1653294
• Серж Ланг (1984). Алгебра, второе издание . Менло-Парк, Калифорния: Аддисон-Уэсли.
• Матлис, Эбен (1958). «Инъективные модули над нётеровыми кольцами» . Тихоокеанский математический журнал . 8 (3): 511–528. дои : 10.2140/pjm.1958.8.511 . ISSN   0030-8730 . МР   0099360 .
• Николсон, ВК; Юсиф, М.Ф. (2003), Кольца КвазиФробениуса , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 158, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. xviii+307, doi : 10.1017/CBO9780511546525 , ISBN  0-521-81593-2 , МР   2003785