Экзистенциально закрытая модель

В теории моделей — разделе математической логики — понятие экзистенциально замкнутой модели (или экзистенциально полной модели ) теории ) . обобщает понятия алгебраически замкнутых полей (для теории полей ), реальных замкнутых полей (для теории упорядоченных полей поля ), экзистенциально замкнутые группы (для теории групп ) и плотные линейные порядки без концов (для теории линейных порядков).

Определение

Подструктура M структуры экзистенциально N называется экзистенциально замкнутой в (или полной в ) $N$ если для каждой кванторов без формулы φ( x ₁ ,…, x _n , y ₁ ,…, y _n ) и всех элементов b ₁ ,…, b _n из M таких, что φ( x ₁ ,…, x _n , b ₁ ,…, b _n ) реализуется в N , то φ( x ₁ ,…, n _, b 1 _, …, bn _x ) также реализуется в M . существует кортеж a ₁ ,…, an _n Другими словами: если в N такой, что φ( a ₁ ,…, n _, b 1 _, …, bn _M ) выполняется в N , то такой кортеж также существует в an . Это понятие часто обозначают $M\prec _{1}N$.

Модель M теории T называется экзистенциально замкнутой в T, она экзистенциально замкнута в каждой надстройке N, которая сама является моделью T. если В более общем смысле структура M называется экзистенциально замкнутой в классе структур K (в котором она содержится как член), если M экзистенциально замкнута в каждой надстройке N , которая сама является членом K .

Экзистенциальное замыкание в K члена M из K , если оно существует, является с точностью до изоморфизма наименее экзистенциально замкнутой M. надстройкой Точнее, это любая расширенно замкнутая надстройка M ^∗ такой , что для любой экзистенциально замкнутой надстройки N над M , M ^∗ изоморфна подструктуре N посредством изоморфизма, который является тождественным на M .

Примеры

Пусть σ = (+,×,0,1) — сигнатура полей , т.е. + и × — символы двоичных функций , а 0 и 1 — константные символы. Пусть K — класс структур сигнатуры σ, являющихся полями. Если A является подполем B тогда и только тогда , , то A экзистенциально замкнуто в B когда каждая система многочленов над A , имеющая решение в B, имеет решение в A. также Отсюда следует, что экзистенциально замкнутые члены поля K являются в точности алгебраически замкнутыми полями.

Аналогично в классе упорядоченных полей экзистенциально замкнутые структуры являются реальными закрытыми полями . В классе линейных порядков экзистенциально замкнутыми структурами являются структуры, плотные без концов, тогда как экзистенциальным замыканием любого счетного (в том числе и пустого ) линейного порядка является с точностью до изоморфизма счетный плотный тотальный порядок без концов, а именно тип порядка из рациональных .

См. также

• Тест Тарского-Вота

Ссылки

• Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973], Теория моделей , исследования логики и основы математики (3-е изд.), Elsevier, ISBN  978-0-444-88054-3
• Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая теория модели , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-58713-6

Внешние ссылки

• Статья в Энциклопедии математики