Пространство Хэмминга

В статистике и теории кодирования пространство Хэмминга (названное в честь американского математика Ричарда Хэмминга ) обычно представляет собой множество всех $2^{N}$ двоичные длины N. строки ^[1]^[2] Он используется в теории кодирования сигналов и передачи.

В более общем смысле пространство Хэмминга можно определить над любым алфавитом (набором) Q как набор слов фиксированной длины N с буквами из Q . ^[3]^[4] Если Q — конечное поле , то пространство Хэмминга над Q — это N мерное векторное пространство над Q. - Таким образом, в типичном двоичном случае поле представляет собой GF(2) (также обозначаемое Z ₂ ). ^[3]

В теории кодирования, если Q имеет q элементов, то любое подмножество C (обычно предполагается, что мощность не менее двух) N -мерного пространства Хэмминга над Q называется q-ичным кодом длины N ; элементы C называются кодовыми словами . ^[3]^[4] В случае, когда C является линейным подпространством своего пространства Хэмминга, он называется линейным кодом . ^[3] Типичным примером линейного кода является код Хэмминга . Коды, определенные через пространство Хэмминга, обязательно имеют одинаковую длину для каждого кодового слова, поэтому их называют блочными кодами , когда необходимо отличить их от кодов переменной длины , которые определяются путем уникальной факторизации на моноиде.

наделяет Расстояние Хэмминга пространство Хэмминга метрикой , которая важна для определения основных понятий теории кодирования, таких как коды обнаружения и исправления ошибок . ^[3]

Пространства Хэмминга над неполевыми алфавитами также рассматривались, особенно над конечными кольцами (особенно над Z ₄ ), что приводит к появлению модулей вместо векторных пространств и кольцевых линейных кодов (отождествляемых с подмодулями ) вместо линейных кодов. Типичная метрика, используемая в данном случае, — расстояние Ли . Существует изометрия Грея между $\mathbb {Z} _{2}^{2m}$ (т.е. GF(2 ^2м)) с расстоянием Хэмминга и $\mathbb {Z} _{4}^{m}$ (также обозначаемый как GR(4,m)) с расстоянием Ли. ^[5]^[6]^[7]

Ссылки

^ Бэйлис, DJ (1997), Коды с исправлением ошибок: математическое введение , Chapman Hall/CRC Mathematics Series, vol. 15, CRC Press, с. 62, ISBN 9780412786907
^ Коэн, Г.; Хонкала, И.; Лицын С.; Лобштейн, А. (1997), Покрывающие коды , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 54, Эльзевир, с. 1, ISBN 9780080530079
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Дерек Дж. С. Робинсон (2003). Введение в абстрактную алгебру . Вальтер де Грюйтер. стр. 254–255. ISBN 978-3-11-019816-4 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Коэн и др., Покрывающие коды , стр. 15
^ Маркус Греферат (2009). «Введение в теорию кольцевого линейного кодирования». В Массимилиано Сала; Тео Мора; Людовик Перре; Сёдзиро Саката; Карло Траверсо (ред.). Базы Грёбнера, кодирование и криптография . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-93806-4 .
^ «Коды Кердока и Препарата — Математическая энциклопедия» .
^ Дж. Х. ван Линт (1999). Введение в теорию кодирования (3-е изд.). Спрингер. Глава 8: Коды окончены $\mathbb {Z} _{4}$ . ISBN 978-3-540-64133-9 .

Эта линейной алгебре, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Бэйлис, DJ (1997), Коды с исправлением ошибок: математическое введение , Chapman Hall/CRC Mathematics Series, vol. 15, CRC Press, с. 62, ISBN 9780412786907

[2] Коэн, Г.; Хонкала, И.; Лицын С.; Лобштейн, А. (1997), Покрывающие коды , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 54, Эльзевир, с. 1, ISBN 9780080530079

[Robinson2003-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Дерек Дж. С. Робинсон (2003). Введение в абстрактную алгебру . Вальтер де Грюйтер. стр. 254–255. ISBN 978-3-11-019816-4 .

[cc15-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Коэн и др., Покрывающие коды , стр. 15

[Greferath2009-5] Маркус Греферат (2009). «Введение в теорию кольцевого линейного кодирования». В Массимилиано Сала; Тео Мора; Людовик Перре; Сёдзиро Саката; Карло Траверсо (ред.). Базы Грёбнера, кодирование и криптография . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-93806-4 .

[6] «Коды Кердока и Препарата — Математическая энциклопедия» .

[Lint1999-7] Дж. Х. ван Линт (1999). Введение в теорию кодирования (3-е изд.). Спрингер. Глава 8: Коды окончены $\mathbb {Z} _{4}$ . ISBN 978-3-540-64133-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]