Теорема Гильберта 90

В абстрактной алгебре теорема Гильберта 90 (или Сац 90 ) является важным результатом о циклических расширениях полей теории (или одном из его обобщений), который приводит к Куммера . В своей самой базовой форме он утверждает, что если L / K является расширением полей с циклической группой Галуа G = Gal( L / K ), порожденной элементом $\sigma ,$ и если $a$ является элементом L относительной нормы 1, то есть

$N(a):=a\,\sigma (a)\,\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1,$

тогда существует $b$ в L такой, что

$a=b/\sigma (b).$

Теорема получила свое название от того факта, что это 90-я теорема в Дэвида Гильберта ( «Zahlbericht» Hilbert 1897 , 1998 ), хотя первоначально она принадлежит Куммеру ( 1855 , стр. 213, 1861 ).

Часто более общей теореме Эмми Нётер ( 1933 ) дается название, утверждающее, что если L / K — конечное расширение Галуа полей с произвольной группой Галуа G = Gal( L / K ), то первая когомологий группа G , с коэффициентами в мультипликативной группе L , тривиально:

$H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.$

Примеры

Позволять $L/K$ быть квадратичным расширением $\mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q}$. Группа Галуа циклическая второго порядка, ее генератор $\sigma$ действуя посредством конъюгации:

$\sigma :c+di\mapsto c-di.$

Элемент $a=x+yi$ в $\mathbb {Q} (i)$ имеет норму $a\sigma (a)=x^{2}+y^{2}$. Таким образом, элемент нормы один соответствует рациональному решению уравнения $x^{2}+y^{2}=1$ или, другими словами, точка с рациональными координатами на единичной окружности . Теорема Гильберта 90 затем утверждает, что каждый такой элемент a с нормой один можно записать как

$a={\frac {c-di}{c+di}}={\frac {c^{2}-d^{2}}{c^{2}+d^{2}}}-{\frac {2cd}{c^{2}+d^{2}}}i,$

где $b=c+di$ такое же, как в заключении теоремы, а c и d — целые числа. Это можно рассматривать как рациональную параметризацию рациональных точек единичного круга. Рациональные точки $(x,y)=(p/r,q/r)$ на единичном круге $x^{2}+y^{2}=1$ соответствуют пифагорейским тройкам , т.е. тройкам $(p,q,r)$ целых чисел, удовлетворяющих $p^{2}+q^{2}=r^{2}$.

Когомологии

Теорему можно сформулировать в терминах групповых когомологий : если L ^× — мультипликативная группа любого (не обязательно конечного) расширения Галуа L поля K с соответствующей группой Галуа G , то

$H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.$

В частности, групповые когомологии — это когомологии комплекса , коцепи которого i- являются произвольными функциями от i -наборов элементов группы до мультипликативной группы коэффициентов, $C^{i}(G,L^{\times })=\{\phi :G^{i}\to L^{\times }\}$, с дифференциалами $d^{i}:C^{i}\to C^{i+1}$ определяется в размерах $i=0,1$ к:

$(d^{0}(b))(\sigma )=b/b^{\sigma },\quad {\text{ and }}\quad (d^{1}(\phi ))(\sigma ,\tau )\,=\,\phi (\sigma )\phi (\tau )^{\sigma }/\phi (\sigma \tau ),$

где $x^{g}$ обозначает изображение $G$-элемент модуля $x$ под действием группового элемента $g\in G$. Обратите внимание, что в первом из них мы идентифицировали 0- коцепь. $\gamma =\gamma _{b}:G^{0}=id_{G}\to L^{\times }$, с уникальным значением изображения $b\in L^{\times }$. Тогда тривиальность первой группы когомологий эквивалентна 1-коциклам $Z^{1}$ равные 1-кограницам $B^{1}$, а именно:

${\begin{array}{rcl}Z^{1}&=&\ker d^{1}&=&\{\phi \in C^{1}{\text{ satisfying }}\,\,\forall \sigma ,\tau \in G\,\colon \,\,\phi (\sigma \tau )=\phi (\sigma )\,\phi (\tau )^{\sigma }\}\\{\text{ is equal to }}\\B^{1}&=&{\text{im }}d^{0}&=&\{\phi \in C^{1}\ \,\colon \,\,\exists \,b\in L^{\times }{\text{ such that }}\phi (\sigma )=b/b^{\sigma }\ \ \forall \sigma \in G\}.\end{array}}$

Для циклического $G=\{1,\sigma ,\ldots ,\sigma ^{n-1}\}$1-коцикл определяется соотношением $\phi (\sigma )=a\in L^{\times }$, с $\phi (\sigma ^{i})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{i-1}(a)$ и:

$1=\phi (1)=\phi (\sigma ^{n})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=N(a).$

С другой стороны, 1-кограница определяется соотношением $\phi (\sigma )=b/b^{\sigma }$. Приравнивание этих значений дает исходную версию теоремы.

Дальнейшее обобщение касается когомологий с неабелевыми коэффициентами : если H — либо общая , либо специальная линейная группа над L , включая $\operatorname {GL} _{1}(L)=L^{\times }$, затем

$H^{1}(G,H)=\{1\}.$

Другое обобщение относится к схеме X :

$H_{\text{et}}^{1}(X,\mathbb {G} _{m})=H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X),$

где $\operatorname {Pic} (X)$ — группа классов изоморфизма локально свободных пучков ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$-модули ранга 1 для топологии Зарисского и $\mathbb {G} _{m}$ представляет собой пучок, определяемый аффинной прямой без начала координат, рассматриваемой как группа при умножении.

Существует еще одно обобщение К-теории Милнора , которое играет роль в Воеводским доказательстве гипотезы Милнора .

Доказательство

Позволять $L/K$ быть циклической степени $n,$ и $\sigma$ генерировать $\operatorname {Gal} (L/K)$. Выберите любой $a\in L$ нормы

$N(a):=a\sigma (a)\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1.$

Очистив знаменатели, решая $a=x/\sigma ^{-1}(x)\in L$ это то же самое, что показать, что $a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\to L$ имеет $1$ как собственное значение. Мы распространим это на карту $L$-векторные пространства через

${\begin{cases}1_{L}\otimes a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\otimes _{K}L\to L\otimes _{K}L\\\ell \otimes \ell '\mapsto \ell \otimes a\sigma ^{-1}(\ell ').\end{cases}}$

Теорема о примитивном элементе дает $L=K(\alpha )$ для некоторых $\alpha$. С $\alpha$ имеет минимальный полином

$f(t)=(t-\alpha )(t-\sigma (\alpha ))\cdots \left(t-\sigma ^{n-1}(\alpha )\right)\in K[t],$

мы можем идентифицировать

$L\otimes _{K}L{\stackrel {\sim }{\to }}L\otimes _{K}K[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L^{n}$

с помощью

$\ell \otimes p(\alpha )\mapsto \ell \left(p(\alpha ),p(\sigma \alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha )\right).$

Здесь мы записали второй фактор как $K$-полиномиальный по $\alpha$.

При таком отождествлении наша карта становится

${\begin{cases}a\sigma ^{-1}(\cdot ):L^{n}\to L^{n}\\\ell \left(p(\alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha ))\mapsto \ell (ap(\sigma ^{n-1}\alpha ),\sigma ap(\alpha ),\ldots ,\sigma ^{n-1}ap(\sigma ^{n-2}\alpha )\right).\end{cases}}$

То есть под этой картой

$(\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})\mapsto (a\ell _{n},\sigma a\ell _{1},\ldots ,\sigma ^{n-1}a\ell _{n-1}).$

$(1,\sigma a,\sigma a\sigma ^{2}a,\ldots ,\sigma a\cdots \sigma ^{n-1}a)$ является собственным вектором с собственным значением $1$ если только $a$ имеет норму $1$.

Ссылки

• Гильберт, Дэвид (1897), «Теория полей алгебраических чисел» , Годовой отчет Немецкой математической ассоциации (на немецком языке), 4 : 175–546, ISSN   0012-0456
• Гильберт, Дэвид (1998), Теория полей алгебраических чисел , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-62779-1 , МР   1646901
• Куммер, Эрнст Эдуард (1855), «Об особом виде выражений, образованных из сложных единиц». , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 50 : 212–232, doi : 10.1515/crll.1855.50.212 , ISSN   0075-4102.
• Куммер, Эрнст Эдуард (1861), «Два новых доказательства общих законов взаимности между остатками и невычетами степеней, степень которых является простым числом» , перепечатанное из трактатов Кгл. Академия наук в Берлине (на немецком языке), перепечатано в томе 1 собрания его сочинений, страницы 699–839.
• Глава II книги Дж. С. Милна «Теория поля классов » доступна на его сайте [1] .
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Основы математических наук , том. 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4 , МР   1737196 , Збл   0948.11001
• Нётер, Эмми (1933), «Основная гендерная теорема для полей относительных чисел Галуа». , Mathematical Annals (на немецком языке), 108 (1): 411–419, doi : 10.1007/BF01452845 , ISSN   0025-5831 , Zbl   0007.29501
• Снэйт, Виктор П. (1994), Структура модуля Галуа , монографии Института Филдса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  0-8218-0264-Х , Збл   0830.11042