Метод градиентной дискретизации

Точное решение
${\overline {u}}(x)={\frac {3}{4}}\left({0.5}^{4/3}-|x-0.5|^{4/3}\right)$
задачи p -Лапласа $-(|{\overline {u}}'|^{2}{\overline {u}}')'(x)=1$ в области [0,1] с ${\overline {u}}(0)={\overline {u}}(1)=0$ (черная линия) и приблизительная (синяя линия), рассчитанная с использованием разрывного метода Галеркина первой степени, подключенного к GDM (равномерная сетка из 6 элементов).

В числовой математике метод градиентной дискретизации ( GDM ) представляет собой основу, которая содержит классические и новейшие численные схемы для диффузионных задач различных типов: линейных или нелинейных, стационарных или зависящих от времени. Схемы могут быть соответствующими или несоответствующими и могут основываться на очень общих многоугольных или многогранных сетках (или даже могут быть бессеточными).

Некоторые основные свойства необходимы для доказательства сходимости GDM. Эти основные свойства позволяют полностью доказать сходимость GDM для эллиптических и параболических задач, линейных или нелинейных. Для линейных задач, стационарных или переходных, оценки ошибок могут быть установлены на основе трех показателей, характерных для GDM. (количества $C_{D}$, $S_{D}$ и $W_{D}$, см. ниже ). Для нелинейных задач доказательства основаны на методах компактности и не требуют каких-либо нефизических предположений о сильной регулярности решения или данных модели. Нелинейные модели, для которых было проведено такое доказательство сходимости GDM, включают: задачу Стефана , моделирующую плавящийся материал, двухфазные течения в пористых средах, уравнение потока подземных вод Ричардса , полностью нелинейное уравнение Лере. — Уравнения Лиона.

Известно, что любая схема, входящая в структуру GDM, сходится во всех этих проблемах. Это, в частности, относится к соответствующим конечным элементам , смешанным конечным элементам , несоответствующим конечным элементам и, в случае более поздних схем, разрывному методу Галеркина , гибридному смешанному миметическому методу, узловому миметическому методу конечных разностей , некоторым схемам дискретной двойственности конечных объемов. и некоторые схемы многоточечной аппроксимации потока

Пример задачи линейной диффузии

Рассмотрим уравнение Пуассона в ограниченной открытой области $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$, с однородным граничным условием Дирихле

$-\Delta {\overline {u}}=f,$ ( 1 )

где $f\in L^{2}(\Omega )$. Обычное ощущение слабого решения к этой модели это:

${\mbox{Find }}{\overline {u}}\in H_{0}^{1}(\Omega ){\mbox{ such that, for all }}{\overline {v}}\in H_{0}^{1}(\Omega ),\quad \int _{\Omega }\nabla {\overline {u}}(x)\cdot \nabla {\overline {v}}(x)dx=\int _{\Omega }f(x){\overline {v}}(x)dx.$ ( 2 )

Вкратце, GDM для такой модели состоит в выборе конечномерного пространства и двух операторов восстановления (один для функций, другой для градиентов) и замене этих дискретных элементов вместо непрерывных элементов в (2). Точнее, GDM начинается с определения градиентной дискретизации (GD), которая представляет собой тройку $D=(X_{D,0},\Pi _{D},\nabla _{D})$, где:

• набор дискретных неизвестных $X_{D,0}$ - конечномерное действительное векторное пространство,
• реконструкция функции $\Pi _{D}~:~X_{D,0}\to L^{2}(\Omega )$ — линейное отображение, которое восстанавливает по элементу $X_{D,0}$, функция над $\Omega$,
• градиентная реконструкция $\nabla _{D}~:~X_{D,0}\to L^{2}(\Omega )^{d}$ является линейным отображением, которое восстанавливает по элементу $X_{D,0}$, «градиент» (векторная функция) по $\Omega$. Эта градиентная реконструкция должна быть выбрана так, чтобы $\Vert \nabla _{D}\cdot \Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}$ это норма для $X_{D,0}$.

Соответствующая градиентная схема для аппроксимации (2) имеет вид: найти $u\in X_{D,0}$ такой, что

$\forall v\in X_{D,0},\qquad \int _{\Omega }\nabla _{D}u(x)\cdot \nabla _{D}v(x)dx=\int _{\Omega }f(x)\Pi _{D}v(x)dx.$ ( 3 )

В этом случае GDM является несогласованным методом аппроксимации (2), который включает несогласующийся метод конечных элементов. Обратите внимание, что обратное утверждение неверно в том смысле, что структура GDM включает такие методы, что функция $\nabla _{D}u$ не может быть вычислено из функции $\Pi _{D}u$.

Следующая оценка ошибки, основанная на второй лемме Дж. Стрэнга: держит

$W_{D}(\nabla {\overline {u}})\leq \Vert \nabla {\overline {u}}-\nabla _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}\leq W_{D}(\nabla {\overline {u}})+2S_{D}({\overline {u}}),$ ( 4 )

и

$\Vert {\overline {u}}-\Pi _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )}\leq C_{D}W_{D}(\nabla {\overline {u}})+(C_{D}+1)S_{D}({\overline {u}}),$ ( 5 )

определение:

$C_{D}=\max _{v\in X_{D,0}\setminus \{0\}}{\frac {\Vert \Pi _{D}v\Vert _{L^{2}(\Omega )}}{\Vert \nabla _{D}v\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}}},$ ( 6 )

который измеряет коэрцитивную силу (дискретную постоянную Пуанкаре),

$\forall \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega ),\,S_{D}(\varphi )=\min _{v\in X_{D,0}}\left(\Vert \Pi _{D}v-\varphi \Vert _{L^{2}(\Omega )}+\Vert \nabla _{D}v-\nabla \varphi \Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}\right),$ ( 7 )

который измеряет ошибку интерполяции,

$\forall \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega ),\,W_{D}(\varphi )=\max _{v\in X_{D,0}\setminus \{0\}}{\frac {\left|\int _{\Omega }\left(\nabla _{D}v(x)\cdot \varphi (x)+\Pi _{D}v(x)\operatorname {div} \varphi (x)\right)\,dx\right|}{\Vert \nabla _{D}v\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}}},$ ( 8 )

который измеряет дефект соответствия.

Заметим, что можно получить следующие верхние и нижние границы погрешности аппроксимации:

${\begin{aligned}&&{\frac {1}{2}}[S_{D}({\overline {u}})+W_{D}(\nabla {\overline {u}})]\\&\leq &\Vert {\overline {u}}-\Pi _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )}+\Vert \nabla {\overline {u}}-\nabla _{D}u_{D}\Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}\\&\leq &(C_{D}+2)[S_{D}({\overline {u}})+W_{D}(\nabla {\overline {u}})].\end{aligned}}$ ( 9 )

Тогда основными свойствами, которые необходимы и достаточны для сходимости метода, являются для семейства GD свойства коэрцитивности, GD-непротиворечивости и свойств предельного соответствия, как это определено в следующем разделе. В более общем смысле, этих трех основных свойств достаточно, чтобы доказать сходимость GDM для линейных задач и для некоторых нелинейных задач, таких как $p$- Задача Лапласа. Для нелинейных задач, таких как нелинейная диффузия, вырожденные параболические задачи..., в следующем разделе мы добавим два других основных свойства, которые могут потребоваться.

Основные свойства, обеспечивающие конвергенцию GDM

Позволять $(D_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ быть семейством GD, определенным выше (обычно связанным с последовательностью регулярных ячеек, размер которых стремится к 0).

Принуждение

Последовательность $(C_{D_{m}})_{m\in \mathbb {N} }$ (определенный формулой ( 6 )) остается ограниченным.

GD-консистенция

Для всех $\varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )$, $\lim _{m\to \infty }S_{D_{m}}(\varphi )=0$ (определяется ( 7 )).

Предельное соответствие

Для всех $\varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega )$, $\lim _{m\to \infty }W_{D_{m}}(\varphi )=0$ (определяется ( 8 )).Из этого свойства следует свойство коэрцитивности.

Компактность (необходима для некоторых нелинейных задач)

Для всей последовательности $(u_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ такой, что $u_{m}\in X_{D_{m},0}$ для всех $m\in \mathbb {N}$ и $(\Vert u_{m}\Vert _{D_{m}})_{m\in \mathbb {N} }$ ограничена, то последовательность $(\Pi _{D_{m}}u_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ относительно компактен в $L^{2}(\Omega )$ (из этого свойства следует свойство коэрцитивности).

Кусочно-постоянная реконструкция (необходима для некоторых нелинейных задач)

Позволять $D=(X_{D,0},\Pi _{D},\nabla _{D})$ быть градиентной дискретизацией, как определено выше.Оператор $\Pi _{D}$ является кусочно-постоянной реконструкцией, если существует базис $(e_{i})_{i\in B}$ из $X_{D,0}$ и семейство непересекающихся подмножеств $(\Omega _{i})_{i\in B}$ из $\Omega$ такой, что ${\textstyle \Pi _{D}u=\sum _{i\in B}u_{i}\chi _{\Omega _{i}}}$ для всех ${\textstyle u=\sum _{i\in B}u_{i}e_{i}\in X_{D,0}}$, где $\chi _{\Omega _{i}}$ является характеристической функцией $\Omega _{i}$.

Некоторые нелинейные задачи с полными доказательствами сходимости GDM

Мы рассматриваем некоторые проблемы, для которых можно доказать, что GDM сходится, когда вышеупомянутые основные свойства удовлетворяются.

Нелинейные стационарные задачи диффузии

$-\operatorname {div} (\Lambda ({\overline {u}})\nabla {\overline {u}})=f$

В этом случае ГРМ сходится по свойствам коэрцитивности, ГР-непротиворечивости, предельного соответствия и компактности.

p - задача Лапласа для p > 1

$-\operatorname {div} \left(|\nabla {\overline {u}}|^{p-2}\nabla {\overline {u}}\right)=f$

В этом случае основные свойства необходимо записать, заменив $L^{2}(\Omega )$ к $L^{p}(\Omega )$, $H_{0}^{1}(\Omega )$ к $W_{0}^{1,p}(\Omega )$ и $H_{\operatorname {div} }(\Omega )$ к $W_{\operatorname {div} }^{p'}(\Omega )$ с ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1}$, а GDM сходится только при наличии свойств коэрцитивности, GD-согласованности и предельного соответствия.

Линейное и нелинейное уравнение теплопроводности

$\partial _{t}{\overline {u}}-\operatorname {div} (\Lambda ({\overline {u}})\nabla {\overline {u}})=f$

В этом случае GDM сходится по свойствам коэрцитивности, GD-непротиворечивости (адаптированной к задачам пространства-времени), предельной согласованности и компактности (для нелинейного случая).

Вырожденные параболические задачи

Предположим, что $\beta$ и $\zeta$ являются неубывающими липшицевыми непрерывными функциями:

$\partial _{t}\beta ({\overline {u}})-\Delta \zeta ({\overline {u}})=f$

Обратите внимание, что для этой задачи, помимо свойств коэрцитивности, GD-согласованности (адаптированной к задачам пространства-времени), предельного соответствия и компактности, необходимо свойство кусочно-постоянной реконструкции.

Обзор некоторых численных методов, являющихся GDM

Все приведенные ниже методы удовлетворяют первым четырем основным свойствам GDM (коэрцитивность, GD-согласованность, предельное соответствие, компактность), а в некоторых случаях и пятому (кусочно-постоянная реконструкция).

Методы Галёркина и соответствующие им методы конечных элементов

Позволять $V_{h}\subset H_{0}^{1}(\Omega )$ быть натянуто на конечный базис $(\psi _{i})_{i\in I}$. Метод Галёркина . $V_{h}$ идентично GDM, где определяется

• $X_{D,0}=\{u=(u_{i})_{i\in I}\}=\mathbb {R} ^{I},$
• $\Pi _{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\psi _{i}$
• $\nabla _{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\nabla \psi _{i}.$

В этом случае, $C_{D}$ — константа, входящая в непрерывное неравенство Пуанкаре, и при всех $\varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega )$, $W_{D}(\varphi )=0$ (определяется ( 8 )). Тогда ( 4 ) и ( 5 ) следуют из леммы Сеа .

«Массовый» $P^{1}$ конечно-элементный случай входит в рамки ГДМ, заменяя $\Pi _{D}u$ к ${\textstyle {\widetilde {\Pi }}_{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\chi _{\Omega _{i}}}$, где $\Omega _{i}$ представляет собой двойную ячейку с центром в вершине, индексированной $i\in I$. Использование объединения масс позволяет получить свойство кусочно-постоянной реконструкции.

Несоответствующий конечный элемент

На сетке $T$ которое представляет собой соответствующий набор симплексов $\mathbb {R} ^{d}$, несоответствующий $P^{1}$ конечные элементы определяются базисом $(\psi _{i})_{i\in I}$ функций, аффинных в любом $K\in T$, и значение которого в центре тяжести одной данной грани сетки равно 1 и 0 на всех остальных (эти конечные элементы используются в [Crouzeix et al ] для аппроксимации уравнений Стокса и Навье-Стокса ). Далее метод входит в рамки GDM с тем же определением, что и в случае с методом Галеркина, за исключением того, что $\nabla \psi _{i}$ следует понимать как «ломаный градиент» $\psi _{i}$, в том смысле, что это кусочно-постоянная функция, равная в каждом симплексе градиенту аффинной функции в симплексе.

Смешанный конечный элемент

Смешанный метод конечных элементов состоит в определении двух дискретных пространств, одно из которых предназначено для аппроксимации $\nabla {\overline {u}}$ и еще один для ${\overline {u}}$. Для определения ГРС достаточно использовать дискретные соотношения между этими аппроксимациями. низкой степени Использование базисных функций Равьяра–Томаса позволяет получить свойство кусочно-постоянной реконструкции.

Разрывный метод Галёркина

Разрывный метод Галеркина заключается в аппроксимации задач кусочно-полиномиальной функцией без требований к переходам от одного элемента к другому. Он включается в структуру GDM путем включения в дискретный градиент члена скачка, действующего как регуляризация градиента в смысле распределения.

Миметический метод конечных разностей и узловой миметический метод конечных разностей

Это семейство методов представлено [Brezzi et al .] и завершено в [Липников и др .]. Это позволяет аппроксимировать эллиптические задачи, используя большой класс многогранных сеток. Доказательство того, что он входит в структуру GDM, приведено в [Droniou et al ].

См. также

• Метод конечных элементов

Внешние ссылки

• Метод градиентной дискретизации Жерома Дрониу, Робера Эймара, Тьерри Галлуэ, Синди Гишар и Рафаэля Эрбена