проблема со Стефаном

В математике и ее приложениях, особенно в области фазовых переходов в веществе, задача Стефана представляет собой особый вид краевой задачи для системы уравнений в частных производных (ЧДУ), в которой граница между фазами может перемещаться со временем. Классическая задача Стефана направлена ​​на описание эволюции границы между двумя фазами материала, претерпевающего фазовый переход , например плавление твердого тела, такого как лед , в воду . Это достигается путем решения уравнений теплопроводности в обеих областях при заданных граничных и начальных условиях. На границе раздела фаз (в классической задаче) температура устанавливается равной температуре фазового перехода. Для замыкания математической системы еще одно уравнение — условие Стефана требуется . Это энергетический баланс, который определяет положение движущейся границы раздела. Обратите внимание, что эта развивающаяся граница представляет собой неизвестную (гипер)поверхность ; следовательно, задачи Стефана являются примерами задач со свободной границей .

Аналогичные проблемы возникают, например, при исследовании течения пористых сред, математических финансах и выращивании кристаллов из растворов мономеров.

Историческая справка

Задача названа в честь Йозефа Стефана (Jožef Stefan), словенского физика , который представил общий класс таких задач около 1890 года в серии из четырех статей, посвященных замерзанию грунта и образованию морского льда . Однако примерно за 60 лет до этого, в 1831 году, аналогичную проблему, касающуюся образования земной коры, изучали Ламе и Клапейрон . Проблема Стефана допускает решение по подобию , его часто называют решением Неймана , которое якобы было представлено в серии лекций в начале 1860-х годов.

Подробное описание истории задач Стефана можно найти у Рубинштейна.

Посылки к математическому описанию

С математической точки зрения фазы — это просто области, в которых решения основного УЧП непрерывны и дифференцируемы до порядка УЧП. В физических задачах такие решения отражают свойства среды для каждой фазы. Подвижные границы (или границы раздела ) представляют собой бесконечно тонкие поверхности , разделяющие соседние фазы; следовательно, решения базового PDE и его производных могут иметь разрывы в интерфейсах.

Базовые PDE недействительны на интерфейсах изменения фазы; дополнительное условие — условие Стефана необходимо следовательно, для получения замыкания . Условие Стефана выражает локальную скорость движущейся границы как функцию величин, оцениваемых по обе стороны от границы фаз, и обычно выводится из физического ограничения. в задачах теплопередачи Например, с фазовым переходом закон сохранения энергии требует, чтобы разрыв теплового потока на границе учитывался скоростью выделения скрытого тепла (которая пропорциональна локальной скорости границы раздела).

Регулярность уравнения изучалась в основном Луисом Каффарелли. и дополнительно усовершенствован работами Алессио Фигалли , Ксавье Рос-Отона и Хоакима Серры.

Математическая формулировка

Одномерная однофазная задача Стефана

Однофазная задача Стефана основана на предположении, что одной из материальных фаз можно пренебречь. Обычно это достигается путем предположения, что фаза находится при температуре фазового перехода и, следовательно, любое отклонение от этой температуры приводит к изменению фазы. Это математически удобное приближение, которое упрощает анализ, но при этом демонстрирует основные идеи, лежащие в основе процесса. Еще одним стандартным упрощением является работа в безразмерном формате, когда температура на границе раздела может быть установлена ​​равной нулю, а значения в дальнем поле — равным нулю. $+1$ или $-1$.

Рассмотрим полубесконечную одномерную глыбу льда, изначально имеющую температуру таяния. $u=0$ для $x\in [0;+\infty )$. Самая известная форма задачи Стефана включает плавление из-за наложенной постоянной температуры на левой границе, оставляя область $[0;s(t)]$ занято водой. Глубина расплава, обозначаемая $s(t)$, — неизвестная функция времени. Задача Стефана определяется формулой

• Уравнение теплопроводности: ${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad \forall (x,t)\in [0;s(t)]\times [0;+\infty ]$
• Фиксированная температура выше температуры плавления на левой границе: $u(0,t)=1,\quad \forall t>0$
• Интерфейс при температуре плавления устанавливается на $u\left(s(t),t\right)=0$
• Условие Стефана: $\beta {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}s(t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}u\left(s(t),t\right)$ где $\beta$ – это число Стефана, отношение скрытой теплоты к удельной явной теплоте (где удельное указывает на то, что оно делится на массу). Обратите внимание, что это определение естественным образом следует из обезразмеривания и используется во многих текстах. однако его также можно определить как обратное этому .
• Начальное распределение температуры: $u(x,0)=0,\;\forall x\geq 0$
• Начальная глубина растаявшей ледяной глыбы: $s(0)=0$

Решение Неймана, полученное с использованием автомодельных переменных, указывает на то, что положение границы определяется выражением ${\textstyle s(t)=2\lambda {\sqrt {t}}}$ где $\lambda$ удовлетворяет трансцендентному уравнению $$\beta \lambda ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda ^{2}}}{{\text{erf}}(\lambda )}}.$$ Тогда температура жидкости определяется выражением $$T=1-{\frac {{\text{erf}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {t}}}}\right)}{{\text{erf}}(\lambda )}}.$$

Приложения

Помимо моделирования плавления твердых тел, задача Стефана также используется как модель асимптотического поведения (во времени) более сложных задач. Например, Пего использует согласованные асимптотические разложения, чтобы доказать, что решения Кана-Хилларда для проблем разделения фаз ведут себя как решения нелинейной задачи Стефана в промежуточном временном масштабе. Кроме того, решение уравнения Кана–Хилларда для бинарной смеси вполне сравнимо с решением задачи Стефана. В этом сравнении задача Стефана решалась с использованием метода подвижной сетки с отслеживанием фронта и однородными граничными условиями Неймана на внешней границе. Кроме того, задачи Стефана можно применять для описания фазовых превращений, отличных от фазовых превращений твердое тело-жидкость или жидкость-жидкость.

Применение задачи Стефана к кристаллизации металлов при электрохимическом осаждении металлических порошков было предложено Кэлусару.

Задача Стефана также имеет богатую обратную теорию; в таких задачах глубина плавления (или кривая , или гиперповерхность ) s является известной исходной величиной, и проблема состоит в том, чтобы найти u или f .

Расширенные формы задачи Стефана

Классическая задача Стефана касается стационарных материалов с постоянными теплофизическими свойствами (обычно независимо от фазы), постоянной температурой фазового перехода и, как в приведенном выше примере, мгновенным переходом от начальной температуры к определенному значению на границе. На практике термические свойства могут меняться, особенно всегда при изменении фазы. Скачок плотности при изменении фазы вызывает движение жидкости: результирующая кинетическая энергия не учитывается в стандартном балансе энергии. При мгновенном переключении температуры начальная скорость жидкости бесконечна, что приводит к начальной бесконечной кинетической энергии. Фактически слой жидкости часто находится в движении, что требует наличия элементов адвекции или конвекции в уравнении теплопроводности . Температура плавления может меняться в зависимости от размера, кривизны или скорости границы раздела. Невозможно мгновенно переключить температуру, а затем трудно поддерживать точную фиксированную граничную температуру. Более того, на наноуровне температура может даже не подчиняться закону Фурье.

В последние годы ряд этих проблем был решен для различных физических приложений. При затвердевании переохлажденных расплавов анализ, согласно которому температура фазового перехода зависит от скорости границы раздела, можно найти у Font et al . Смоделировано наномасштабное затвердевание с переменной температурой фазового перехода и эффектами энергии/плотности. Затвердевание с течением в канале изучалось в контексте лавы. и микроканалы, или со свободной поверхностью в условиях замерзания воды над слоем льда. Анализируется общая модель, включающая различные свойства каждой фазы, переменную температуру фазового перехода и уравнения теплопроводности, основанные либо на законе Фурье, либо на уравнении Гайера-Крумхансла.

См. также

• Проблема свободной границы
• Ольга Олейник
• Шошана Камин
• Уравнение Стефана

Ссылки

Исторические справки

• Вуик, К. (1993), «Некоторые исторические заметки о проблеме Стефана», Nieuw Archief voor Wiskunde , 4e serie, 11 (2): 157–167, Бибкод : 1993STIN...9332397V , MR   1239620 , Zbl   0801.35002 . Интересная историческая статья о зарождении теории; препринтная [ 1 версия (в формате PDF ) доступна здесь ] .

Научные и общие ссылки

• Кэннон, Джон Розье (1984), Одномерное уравнение теплопроводности , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 23 (1-е изд.), Ридинг – Менло-Парк – Лондон – Дон Миллс – Сидней – Токио / Кембридж – Нью-Йорк – Нью-Рошель – Мельбурн – Сидней : Addison-Wesley Publishing Company / Cambridge University Press , стр. XXV+483, ISBN  978-0-521-30243-2 , МР   0747979 , Збл   0567.35001 . Содержит обширную библиографию, 460 наименований которой посвящены проблемам Стефана и другим проблемам свободных границ , обновленная к 1982 году.
• Кирш, Андреас (1996), Введение в математическую теорию обратных задач , серия «Прикладные математические науки», том. 120, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. x +282, ISBN  0-387-94530-Х , МР   1479408 , Збл   0865.35004
• Мейрманов, Анварбек М. (1992), Проблема Стефана , Изложения Де Грютера по математике, том. 3, Берлин – Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер , стр. x + 245, doi : 10.1515/9783110846720 , ISBN  3-11-011479-8 , МР   1154310 , Збл   0751.35052 . – через Де Грюйтера (требуется подписка). Важная монография одного из ведущих исследователей в этой области, описывающая его доказательство существования классического решения многомерной проблемы Стефана и обзор ее исторического развития.
• Олейник О. А. (1960), "Метод решения общей задачи Стефана", Доклады Академии наук СССР , 135 : 1050–1057, МР   0125341 , Збл   0131.09202 . Статья содержит доказательство Ольгой Олейник существования и единственности обобщенного решения трехмерной задачи Стефана , основанное на предыдущих исследованиях ее ученицы С.Л. Каменомостской .
• Kamenomostskaya, S. L. (1958), "On Stefan Problem", Nauchnye Doklady Vysshey Shkoly, Fiziko-Matematicheskie Nauki (in Russian), 1 (1): 60–62, Zbl  0143.13901 . The earlier account of the research of the author on the Stefan problem.
• Каменомостская, С. Л. (1961), "К проблеме Стефана" , Математический сборник , 53(95) (4): 489–514, МР   0141895 , Збл   0102.09301 . В данной статье автор доказывает существование и единственность обобщенного решения трехмерной задачи Стефана , позднее улучшенного ее учителем Ольгой Олейник.
• Родригес, Дж. Ф. (1989), «Возвращение к проблеме Стефана», Математические модели проблем фазового перехода , Биркхойзер, стр. 129–190, ISBN  0-8176-2309-4
• Рубинштейн Л.И. (1971), Проблема Стефана , Переводы математических монографий, т. 1, с. 27, Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество , стр. viii+419, ISBN.  0-8218-1577-6 , МР   0351348 , Збл   0219.35043 . Подробный справочник, написанный одним из ведущих авторов теории, обновленный до 1962–1963 годов и содержащий библиографию из 201 наименования.
• Тарция, Доминго Альберто (июль 2000 г.), «Библиография по задачам о движущихся свободных границах для уравнения диффузии тепла. Стефан и связанные с ним проблемы», MAT. Серия A: Conferencias, Seminarios y Trabajos de Matemática , 2 : 1–297, doi : 10.26422/MAT.A.2000.2.tar , ISSN   1515-4904 , MR   1802028 , Zbl   0963.35207 . Впечатляющая личная библиография автора по задачам перемещения и свободной границы (M–FBP) для уравнения теплодиффузии (H–DE), содержащая около 5900 ссылок на работы, появилась примерно в 884 различных изданиях. Его заявленная цель - попытаться дать всесторонний отчет о существующей западной математической, физической и инженерной литературе в этой области исследований. Собраны почти все материалы по этой теме, опубликованные после исторической и первой статьи Ламе-Клапейрона (1831 г.). Источники включают научные журналы, материалы симпозиумов или конференций, технические отчеты и книги.

Внешние ссылки

• Васильев, Ф.П. (2001) [1994], «Условие Стефана» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Васильев, Ф.П. (2001) [1994], «Проблема Стефана» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Васильев, Ф.П. (2001) [1994], «Задача Стефана, обратная» , Энциклопедия Математики , EMS Press