Слабое решение

В математике слабое решение (также называемое обобщенным решением ) обыкновенного уравнения или уравнения в частных производных — это функция , для которой не все производные могут существовать, но, тем не менее, считается, что она удовлетворяет уравнению в некотором точно определенном смысле. Существует множество различных определений слабого решения, подходящих для разных классов уравнений. Один из наиболее важных основан на понятии распределений .

Избегая языка распределений, начинают с дифференциального уравнения и переписывают его так, чтобы не появлялись производные решения уравнения (новая форма называется слабой формулировкой , а решения к ней — слабыми решениями). . Несколько удивительно, но дифференциальное уравнение может иметь недифференцируемые решения ; а слабая формулировка позволяет находить такие решения.

Слабые решения важны, поскольку многие дифференциальные уравнения, встречающиеся при моделировании явлений реального мира, не допускают достаточно гладких решений, и единственный способ решения таких уравнений — использовать слабую формулировку. Даже в ситуациях, когда уравнение имеет дифференцируемые решения, часто бывает удобно сначала доказать существование слабых решений и только потом показать, что эти решения на самом деле достаточно гладкие.

Конкретный пример

В качестве иллюстрации концепции рассмотрим волновое уравнение первого порядка :

${\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$ ( 1 )

где u = u ( t , x ) — функция двух действительных переменных. Чтобы косвенно исследовать свойства возможного решения u , его интегрируют по произвольной гладкой функции $\varphi \,\!$ компактной поддержки , известной как тестовая функция, принимающая

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x)\,\varphi (t,x)\,dx\,dt$

Например, если $\varphi$ представляет собой гладкое распределение вероятностей, сосредоточенное вблизи точки $(t,x)=(t_{\circ },x_{\circ })$, интеграл приблизительно равен $u(t_{\circ },x_{\circ })$. Обратите внимание, что хотя интегралы идут от $-\infty$ к $\infty$, они по существу находятся над конечным ящиком, где $\varphi$ не равно нулю.

Итак, предположим, что решение u в непрерывно дифференцируемо евклидовом пространстве R ² , умножим уравнение ( 1 ) на пробную функцию $\varphi$ (гладкая компактная поддержка) и интегрировать:

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial t}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial x}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.$

Используя теорему Фубини , которая позволяет менять порядок интегрирования, а также интегрирование по частям (по t для первого члена и по x для второго члена), это уравнение принимает вид:

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial x}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.$ ( 2 )

(Граничные члены исчезают, поскольку $\varphi$ равен нулю вне конечного ящика.) Мы показали, что уравнение ( 1 ) влечет за собой уравнение ( 2 ), пока u непрерывно дифференцируемо.

Ключом к концепции слабого решения является то, что существуют функции u , которые удовлетворяют уравнению ( 2 ) для любого $\varphi$, но такой u не может быть дифференцируемым и поэтому не может удовлетворять уравнению ( 1 ). Пример: ты ( т , Икс ) знак равно | t − x |, что можно проверить, разделив интегралы по областям x ≥ t и x ≤ t , где u является гладким , и обратив приведенные выше вычисления с помощью интегрирования по частям. Слабое решение уравнения ( 1 ) означает любое решение u уравнения ( 2 ) по всем пробным функциям $\varphi$.

Общий случай

Общая идея, вытекающая из этого примера, заключается в том, что при решении дифференциального уравнения относительно u его можно переписать с помощью пробной функции $\varphi$, так что какие бы производные по u ни появлялись в уравнении, они «передаются» путем интегрирования по частям в $\varphi$, что приводит к уравнению без производных от u . Это новое уравнение обобщает исходное уравнение и включает в себя решения, которые не обязательно являются дифференцируемыми.

Проиллюстрированный выше подход работает в широком смысле. Действительно, рассмотрим линейный дифференциальный оператор в открытом множестве W в R ^н :

$P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\,\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x),$

где мультииндекс ( α ₁ , α ₂ , …, α _n ) меняется на некотором конечном множестве из N ^н и коэффициенты $a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}$ являются достаточно гладкими функциями x в R ^н .

Дифференциальное уравнение P ( x , ∂ ) u ( x ) = 0 может после умножения на гладкую пробную функцию $\varphi$ с компактным носителем в W и интегрированным по частям, запишется в виде

$\int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0$

где дифференциальный оператор Q ( x , ∂ ) задается формулой

$Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right].$

Число

$(-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

появляется что _, потому производных _для всех u _{перевода} частных от к $\varphi$ в каждом члене дифференциального уравнения, и каждое интегрирование по частям влечет за собой умножение на -1.

Дифференциальный оператор Q ( x , ∂ ) является формальным сопряженным оператором P ( x , ∂ ) (ср. сопряженным оператором ).

Таким образом, если первоначальная (сильная) задача заключалась в поиске | α |-кратно дифференцируемая функция u, определенная на открытом множестве W такая, что

$P(x,\partial )u(x)=0{\text{ for all }}x\in W$

(так называемое сильное решение ), то интегрируемую функцию u можно назвать слабым решением, если

$\int _{W}u(x)\,Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0$

для каждой гладкой функции $\varphi$ с компактным носителем в W .

Другие виды слабых растворов

Понятие слабого решения, основанного на распределениях, иногда неадекватно. В случае гиперболических систем понятие слабого решения, основанного на распределениях, не гарантирует единственности, и его необходимо дополнить энтропийными условиями или каким-либо другим критерием выбора. В полностью нелинейных УЧП, таких как уравнение Гамильтона – Якоби , существует совсем другое определение слабого решения, называемое вязкостным решением .

Ссылки

• Эванс, LC (1998). Уравнения в частных производных . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0772-2 .