Уравнение Ричардса

Уравнение Ричардса представляет движение воды в ненасыщенных почвах и приписывается Лоренцо А. Ричардсу, опубликовавшему это уравнение в 1931 году. Это квазилинейное уравнение в частных производных ; его аналитическое решение часто ограничивается конкретными начальными и граничными условиями. Доказательство существования и единственности решения было дано только в 1983 году Альтом и Лукхаусом . Уравнение основано на законе Дарси-Букингема. представляющее течение в пористой среде в условиях переменной насыщенности, которое выражается как

${\vec {q}}=-\mathbf {K} (\theta )(\nabla h+\nabla z),$

где

${\vec {q}}$ – объемный поток ;

$\theta$ – объемное содержание воды ;

$h$ жидкости – напор , отрицательный для ненасыщенных пористых сред;

$\mathbf {K} (h)$ – ненасыщенная гидравлическая проводимость;

$\nabla z$ – геодезический градиент напора, который принимается как $\nabla z=\left({\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}}\right)$ для трехмерных задач.

Учитывая закон сохранения массы для несжимаемой пористой среды и постоянной плотности жидкости, выражающийся как

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {q}}+S=0$,

где

$S$ является стоковым термином [T $^{-1}$], обычно поглощение воды корнями.

Тогда, подставляя потоки по закону Дарси-Букингема, получаем следующее уравнение Ричардса смешанной формы:

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {K} (h)(\nabla h+\nabla z)-S$.

Для моделирования одномерной инфильтрации эта форма расходимости сводится к

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mathbf {K} (\theta )\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+1\right)\right)-S$.

Хотя это уравнение приписывается Л.А. Ричардсу, оно было первоначально введено 9 годами ранее Льюисом Фраем Ричардсоном в 1922 году.

Составы

Уравнение Ричардса появляется во многих статьях экологической литературы, поскольку оно описывает поток в вадозной зоне между атмосферой и водоносным горизонтом. Она также появляется в чисто математических журналах, поскольку имеет нетривиальные решения. Приведенная выше смешанная формулировка включает две неизвестные переменные: $\theta$ и $h$. Это можно легко решить, рассмотрев конститутивное соотношение $\theta (h)$, которая известна как кривая водоудержания . Применяя цепное правило , уравнение Ричардса можно переформулировать либо как $h$-форма (на основе головы) или $\theta$-форма (на основе насыщения) уравнения Ричардса.

Головной

Применение цепного правила к временной производной приводит к

${\frac {\partial \theta (h)}{\partial t}}={\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}{\frac {\partial h}{\partial t}}$,

где ${\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}$ известна как емкость удержания воды $C(h)$. Тогда уравнение записывается как

$C(h){\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {K} (h)\nabla h+\nabla z\right)-S$.

Уравнение Ричардса на основе головы подвержено следующей вычислительной проблеме: дискретизированная временная производная с использованием неявного метода Роте дает следующее приближение:

${\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}\approx C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}},\quad {\mbox{and so}}\quad {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}-C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}}=\varepsilon .$

Это приближение дает ошибку $\varepsilon$ это влияет на сохранение массы численного решения, поэтому необходимы специальные стратегии обработки временных производных.

На основе насыщенности

Применение цепного правила к пространственной производной приводит к

$\mathbf {K} (h)\nabla h=\mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}\nabla \theta ,$

где $\mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}$, что далее можно сформулировать как ${\frac {\mathbf {K} (\theta )}{C(\theta )}}$, известный как коэффициент диффузии почвенной воды $\mathbf {D} (\theta )$. Тогда уравнение записывается как

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {D} (\theta )\nabla \theta -S.$

Уравнение Ричардса, основанное на насыщении, подвержено следующим вычислительным проблемам. Поскольку пределы $\lim _{\theta \to \theta _{s}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty$ и $\lim _{\theta \to \theta _{r}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty$, где $\theta _{s}$ – насыщенное (максимальное) содержание воды и $\theta _{r}$ — остаточное (минимальное) содержание воды. Успешное численное решение ограничено только для диапазонов содержания воды, удовлетворительного ниже полного насыщения (насыщение должно быть даже ниже, чем значение входа воздуха ), а также удовлетворительного выше остаточного содержания воды.

Параметризация

Уравнение Ричардса в любой из его форм учитывает гидравлические свойства почвы, которые представляют собой набор из пяти параметров, представляющих тип почвы. Гидравлические свойства почвы обычно состоят из параметров кривой водоудержания Ван Генухтена: ( $\alpha ,\,n,\,m,\,\theta _{s},\theta _{r}$), где $\alpha$ является обратной величиной входа воздуха [L ⁻¹ ], $n$ – параметр распределения пор по размерам [-], а $m$ обычно предполагается как $m=1-{\frac {1}{n}}$. Кроме того, насыщенная гидравлическая проводимость $\mathbf {K} _{s}$ (который для неизотропной среды является тензором второго порядка). Идентификация этих параметров зачастую нетривиальна и была предметом многочисленных публикаций на протяжении нескольких десятилетий.

Ограничения

Численное решение уравнения Ричардса — одна из самых сложных задач науки о Земле. Уравнение Ричардса подверглось критике за его вычислительную сложность и непредсказуемость. потому что нет никакой гарантии, что решатель сходится для определенного набора определяющих отношений почвы. Чтобы преодолеть это препятствие, необходимы передовые вычислительные и программные решения. Этот метод также подвергался критике за чрезмерное подчеркивание роли капиллярности. и за то, что в некотором смысле он «чрезмерно упрощен» При одномерном моделировании инфильтрации осадков в сухую почву вблизи поверхности земли требуется мелкая пространственная дискретизация менее одного см. что связано с малым размером представительного элементарного объема многофазного течения в пористых средах. В трехмерных приложениях численное решение уравнения Ричардса подчиняется ограничениям на соотношение сторон , при которых соотношение горизонтального и вертикального разрешения в области решения должно быть меньше примерно 7.

См. также

• Инфильтрация (гидрология)
• Кривая удержания воды
• Метод течения в вадозной зоне с конечным содержанием воды
• Уравнение скорости влажности почвы