Метод течения в вадозной зоне с конечным содержанием воды

Метод потока вадозной зоны с конечным содержанием воды представляет собой одномерную альтернативу численному решению уравнения Ричардса для моделирования движения воды в ненасыщенных грунтах. Метод конечного содержания воды решает подобный адвекции член уравнения скорости влажности почвы , которое представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, альтернативное уравнению Ричардса в частных производных . Уравнение Ричардса в целом трудно аппроксимировать, поскольку оно не имеет аналитического решения в замкнутой форме, за исключением нескольких случаев. Метод конечного содержания воды, возможно, является первой общей заменой численного решения уравнения Ричардса . Решение с конечным содержанием воды имеет несколько преимуществ по сравнению с решением уравнения Ричардса . Во-первых, как обыкновенное дифференциальное уравнение оно явно сходится и вычислительно недорого решить. Во-вторых, использование методологии решения конечного объема гарантирует сохранение массы. Метод конечного содержания воды легко моделирует острые фронты смачивания, с чем сталкивается решение Ричардса. Основным ограничивающим допущением, необходимым для использования метода конечной влажности, является то, что почва является однородной по слоям.

Конечная дискретизация содержания воды. Пористая среда разделена на n однородных «контейнеров» по $\Delta \theta$ содержание воды.

Метод потока вадозной зоны с конечным содержанием воды основан на той же отправной точке, что и вывод уравнения Ричардса . Однако при выводе используется преобразование годографа для получения решения по адвекции, которое не учитывает коэффициент диффузии почвенной воды, при этом $z$ становится зависимой переменной и $\theta$ становится независимой переменной:

$\left({\frac {dz}{dt}}\right)_{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]\$

где:

$K$ – ненасыщенная гидравлическая проводимость [LT ⁻¹ ],

$\psi$ - капиллярный напор [л] (отрицательный для ненасыщенного грунта),

$z$ - вертикальная координата [L] (положительная вниз),

$\theta$ – содержание воды , (-) и

$t$ это время [Т].

Это уравнение было преобразовано в систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). используя метод линий преобразовать частные производные в правой части уравнения в соответствующие конечно-разностные формы. Эти три ОДУ представляют динамику просачивающейся воды, падающих слизней и капиллярных грунтовых вод соответственно.

Вывод

Был опубликован превосходный вывод в 2017 году, показав, что это уравнение представляет собой бездиффузионную версию уравнения скорости влажности почвы .

Один из способов решения этого уравнения состоит в том, чтобы решить его для $q(\theta ,t)$ и $z(\theta ,t)$ путем интеграции:

$\int {\frac {\partial q}{\partial \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\partial z}{\partial t}}\,d\theta$

Вместо этого используется конечная дискретизация содержания воды и интегралы заменяются суммами:

$\sum _{j=1}^{N}\left[{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right]_{j}\Delta \theta =\sum _{j=1}^{N}\left[{\frac {\partial z}{\partial t}}\right]_{j}\Delta \theta$

где $N$ — общее количество бункеров с конечным содержанием воды.

Используя этот подход, уравнение сохранения для каждого интервала имеет вид:

$\left[{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right]_{j}=\left[{\frac {\partial z}{\partial t}}\right]_{j}.$

Метод прямых используется для замены форм частных дифференциальных уравнений в правой части на соответствующие конечно-разностные формы. Результатом этого процесса является набор трех обыкновенных дифференциальных уравнений, которые описывают динамику фронтов инфильтрации, падающих пробок и капиллярных фронтов подземных вод с использованием конечной дискретизации содержания воды.

Основы метода

Метод расчета потока в вадозной зоне с конечным содержанием воды заменяет Ричардса уравнение PDE набором из трех обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Эти три ОДУ рассматриваются в следующих разделах. Более того, поскольку метод конечного содержания воды не учитывает явно коэффициент диффузии почвенной воды, он требует отдельного этапа капиллярной релаксации. Капиллярная релаксация представляет собой процесс минимизации свободной энергии на уровне пор, который не вызывает адвекции за пределами масштаба REV.

Фронты проникновения

Фронты инфильтрации в области конечной водности.

Как показано на рисунке 1, вода, проникающая на поверхность земли, может течь через поровое пространство между $\theta _{d}$ и $\theta _{i}$. В контексте метода линий члены частной производной заменяются на:

${\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}.$

Учитывая, что любая глубина водоема на поверхности земли $h_{p}$, Зеленый и широкий (1911) используется предположение,

${\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}},$

представляет собой градиент напора капилляра, который вызывает поток. Поэтому конечное уравнение водосодержания в случае фронтов инфильтрации имеет вид:

$\left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}}+1\right).$

Падающие слизни

Падающие снаряды в области конечного содержания воды. Вода в каждом контейнере считается отдельным слизнем.

После прекращения осадков и просачивания всех поверхностных вод вода в бункерах, содержащих фронты инфильтрации, отрывается от поверхности земли. Если предположить, что капиллярность на переднем и заднем краях этой «падающей порции» воды уравновешена, тогда вода падает через среду с возрастающей проводимостью, связанной с $j$-й $\Delta \theta$ мусорное ведро:

$\left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{j-1})}{\theta _{j}-\theta _{j-1}}}$

Капиллярные фронты подземных вод

Капиллярные фронты подземных вод в области конечной водности.

В этом случае приток воды к $j^{\text{th}}$ bin находится между bin j и i . Поэтому в контексте метода линий :

${\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}},$

и,

${\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}$

что дает:

$\left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}-1\right).$

Работоспособность этого уравнения была проверена для случаев, когда скорость уровня грунтовых вод была менее 0,92. $K_{s}$, используя эксперимент с колонкой, разработанный на основе этого Чайлдсом и Пуловассилисом (1962). Результаты этой проверки показали, что метод расчета потока вадозной зоны с конечным содержанием воды работает сравнимо с численным решением уравнения Ричардса.

Капиллярная релаксация

Поскольку гидравлическая проводимость быстро увеличивается по мере того, как содержание воды приближается к насыщению, как показано на рис. 1, самые правые интервалы как на капиллярных фронтах грунтовых вод, так и на фронтах инфильтрации могут «обгонять» своих соседей слева. При дискретизации конечного содержания воды эти толчки рассеиваются в результате процесса капиллярной релаксации, который представляет собой процесс минимизации свободной энергии в масштабе пор, который не приводит к адвекции за пределы шкалы REV. В численном отношении этот процесс представляет собой числовую разновидность, в которой фронты располагаются монотонно убывающей величиной слева направо.

Учредительные отношения

Метод потока вадозной зоны с конечным содержанием воды работает с любой монотонной кривой водоудержания /ненасыщенной гидравлической проводимостью, такой как Брукс и Кори. Клапп и Хорнбергер и ван Генухтен-Муалем. Этот метод может работать с гистерезисными соотношениями удержания воды – они еще не проверены.

Ограничения

В методе конечного содержания воды отсутствует эффект диффузии почвенной воды. Это упущение не влияет на точность расчета потока с использованием этого метода, поскольку среднее значение диффузионного потока мало. На практике это означает, что форма фронта смачивания не играет никакой роли в продвижении инфильтрации. На данный момент метод ограничен одномерным практическим применением. Уравнение инфильтрации было расширено до 2- и квази-3-мерного измерения. Еще предстоит проделать большую работу по расширению всего метода на более чем одно измерение.

Награды

Статья, описывающая этот метод был выбран Сетью молодых гидрогеологов Международной ассоциации гидрогеологов для получения награды «Самая крутая статья, опубликованная в 2015 году» в знак признания потенциального влияния публикации на будущее гидрогеологии.

См. также

• Уравнение Ричардса
• Инфильтрация (гидрология)
• Уравнение скорости влажности почвы