Эллиптическая краевая задача

Показывает область, в которой дифференциальное уравнение , и связанные с ним граничные значения. действует

В математике эллиптическая краевая задача представляет собой особый вид краевой задачи , которую можно рассматривать как устойчивое состояние эволюционной задачи . Например, задача Дирихле для лапласиана дает возможное распределение тепла в комнате через несколько часов после включения отопления.

Дифференциальные уравнения описывают большой класс природных явлений, от уравнения теплопроводности , описывающего выделение тепла (например) в металлической пластине, до уравнения Навье-Стокса, описывающего движение жидкостей, включая уравнения Эйнштейна, описывающие физическую Вселенную в релятивистской теории. способ. Хотя все эти уравнения являются краевыми задачами, они дополнительно подразделяются на категории. Это необходимо, поскольку каждую категорию необходимо анализировать с использованием разных методик. Настоящая статья посвящена категории краевых задач, известных как линейные эллиптические задачи.

Краевые задачи и уравнения в частных производных определяют отношения между двумя или более величинами. Например, в уравнении теплопроводности скорость изменения температуры в точке связана с разницей температур между этой точкой и соседними точками, так что со временем тепло перетекает от более горячих точек к более холодным. Краевые задачи могут включать пространство, время и другие величины, такие как температура, скорость, давление, магнитное поле и т. д.

Некоторые задачи не требуют времени. Например, если повесить бельевую веревку между домом и деревом, то при отсутствии ветра веревка не будет двигаться и примет плавно изогнутую форму, известную как цепная линия . Эту изогнутую форму можно вычислить как решение дифференциального уравнения, связывающего положение, натяжение, угол и силу тяжести, но поскольку форма не меняется со временем, переменная времени отсутствует.

Эллиптические краевые задачи — это класс задач, в которых не используется переменная времени, а зависят только от пространственных переменных.

Основной пример

Пусть в двух измерениях $x,y$ быть координаты. Мы будем использовать обозначения $u_{x},u_{xx}$ для первой и второй частных производных $u$ относительно $x$и аналогичные обозначения для $y$. Мы будем использовать символы $D_{x}$ и $D_{y}$ для операторов в частных производных в $x$ и $y$. Вторые частные производные будем обозначать $D_{x}^{2}$ и $D_{y}^{2}$. Мы также определяем градиент $\nabla u=(u_{x},u_{y})$, оператор Лапласа $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}$ и расхождение $\nabla \cdot (u,v)=u_{x}+v_{y}$. Обратите внимание на определения, $\Delta u=\nabla \cdot (\nabla u)$.

Основным примером краевых задач является оператор Лапласа:

$\Delta u=f{\text{ in }}\Omega ,$

$u=0{\text{ on }}\partial \Omega ;$

где $\Omega$ представляет собой область на плоскости и $\partial \Omega$ является границей этого региона. Функция $f$ известны данные и решение $u$ это то, что необходимо вычислить. Этот пример имеет те же существенные свойства, что и все другие эллиптические краевые задачи.

Решение $u$ можно интерпретировать как стационарное или предельное распределение тепла в металлической пластине, имеющей форму $\Omega$, если граница этой металлической пластины примыкает ко льду (которая поддерживается на уровне 0 градусов, что соответствует граничному условию Дирихле ). Функция $f$ представляет интенсивность выделения тепла в каждой точке пластины (возможно, на металлической пластине стоит электрический нагреватель, перекачивающий тепло в пластину со скоростью $f(x)$, которая не меняется со временем, но может быть неоднородной в пространстве на металлической пластине.) После длительного ожидания распределение температуры в металлической пластине приблизится $u$.

Номенклатура

Позволять $Lu=au_{xx}+bu_{yy}$ где $a$ и $b$ являются константами. $L=aD_{x}^{2}+bD_{y}^{2}$ называется дифференциальным оператором второго порядка . Если формально заменить производные $D_{x}$ к $x$ и $D_{y}$ к $y$, получим выражение

$ax^{2}+by^{2}$.

Если мы приравняем это выражение некоторой константе $k$, то получим либо эллипс (если $a,b,k$ все одного знака) или гиперболу (если $a$ и $b$ противоположных знаков.) По этой причине $L$ называется эллиптическим, если $ab>0$ и гиперболический, если $ab<0$. Аналогично, оператор $L=D_{x}+D_{y}^{2}$ приводит к параболе , и поэтому это $L$ называется параболической.

Обобщим теперь понятие эллиптичности. Хотя может быть неочевидно, что наше обобщение является правильным, оказывается, что оно сохраняет большинство свойств, необходимых для целей анализа.

задачи второй

Позволять $x_{1},...,x_{n}$ быть пространственными переменными. Позволять $a_{ij}(x),b_{i}(x),c(x)$ быть действительными функциями $x=(x_{1},...,x_{n})$. Позволять $L$ — линейный оператор второй степени. То есть,

$Lu(x)=\sum _{i,j=1}^{n}(a_{ij}(x)u_{x_{i}})_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x)u_{x_{i}}(x)+c(x)u(x)$ (форма дивергенции).

$Lu(x)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)u_{x_{i}x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}{\tilde {b}}_{i}(x)u_{x_{i}}(x)+c(x)u(x)$ (недивергентная форма)

Мы использовали индекс $\cdot _{x_{i}}$ для обозначения частной производной по пространственной переменной $x_{i}$. Обе формулы эквивалентны при условии, что

${\tilde {b}}_{i}(x)=b_{i}(x)+\sum _{j}a_{ij,x_{j}}(x)$.

В матричной записи можно положить $a(x)$ быть $n\times n$ матрица-функция $x$ и $b(x)$ быть $n$-мерная вектор-столбцовая функция $x$, и тогда мы можем написать

$Lu=\nabla \cdot (a\nabla u)+b^{T}\nabla u+cu$ (форма дивергенции).

Без ограничения общности можно считать, что матрица $a$ симметричен (т. е. для всех $i,j,x$, $a_{ij}(x)=a_{ji}(x)$. Мы делаем это предположение в оставшейся части статьи.

Мы говорим, что оператор $L$ является эллиптическим , если для некоторой постоянной $\alpha >0$, выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. $\lambda _{\min }(a(x))>\alpha \;\;\;\forall x$ (см. собственное значение ).
2. $u^{T}a(x)u>\alpha u^{T}u\;\;\;\forall u\in \mathbb {R} ^{n}$.
3. $\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}u_{i}u_{j}>\alpha \sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\;\;\;\forall u\in \mathbb {R} ^{n}$.

Тогда эллиптическая краевая задача представляет собой систему уравнений вида

$Lu=f{\text{ in }}\Omega$ (ПДЭ) и

$u=0{\text{ on }}\partial \Omega$ (граничное значение).

Конкретным примером является задача Дирихле . Задача Неймана ​

$Lu=f{\text{ in }}\Omega$ и

$u_{\nu }=g{\text{ on }}\partial \Omega$

где $u_{\nu }$ является производной от $u$ в направлении наружу, указывая нормаль $\partial \Omega$. В общем, если $B$ — любой оператор следа , можно построить краевую задачу

$Lu=f{\text{ in }}\Omega$ и

$Bu=g{\text{ on }}\partial \Omega$.

В оставшейся части статьи мы предполагаем, что $L$ эллиптичен и что граничное условие представляет собой условие Дирихле $u=0{\text{ on }}\partial \Omega$.

Sobolev spaces

Анализ эллиптических краевых задач требует довольно сложных инструментов функционального анализа . Нам нужно пространство $H^{1}(\Omega )$, пространство Соболева «однажды дифференцируемых» функций на $\Omega$, такой, что обе функции $u$ и его частные производные $u_{x_{i}}$, $i=1,\dots ,n$ все квадратично интегрируемые . Здесь есть тонкость в том, что частные производные необходимо определять «в слабом смысле» (подробнее см. статью о пространствах Соболева). $H^{1}$ является гильбертовым пространством , что во многом объясняет легкость анализа этих проблем.

Детальное обсуждение пространств Соболева выходит за рамки данной статьи, но необходимые результаты мы будем приводить по мере их поступления.

Если не указано иное, все производные в этой статье следует интерпретировать в слабом, соболевском смысле. Мы используем термин «сильная производная» для обозначения классической производной исчисления. Уточним также, что пространства $C^{k}$, $k=0,1,\dots$ состоят из функций, которые $k$ раз сильно дифференцируемы и что $k$производная непрерывна.

Слабая

Первый шаг к формулировке краевой задачи на языке пространств Соболева — это перефразировать ее в слабой форме. Рассмотрим задачу Лапласа $\Delta u=f$. Умножьте каждую часть уравнения на «проверочную функцию». $\varphi$ и проинтегрируем по частям, используя теорему Грина , чтобы получить

$-\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi +\int _{\partial \Omega }u_{\nu }\varphi =\int _{\Omega }f\varphi$.

Будем решать задачу Дирихле, так что $u=0{\text{ on }}\partial \Omega$. По техническим причинам полезно предположить, что $\varphi$ берется из того же пространства функций, что и $u$ это так, мы также предполагаем, что $\varphi =0{\text{ on }}\partial \Omega$. Это избавляет от $\int _{\partial \Omega }$ срок, дающий

$A(u,\varphi )=F(\varphi )$ (*)

где

$A(u,\varphi )=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi$ и

$F(\varphi )=-\int _{\Omega }f\varphi$.

Если $L$ — общий эллиптический оператор, те же рассуждения приводят к билинейной форме

$A(u,\varphi )=\int _{\Omega }\nabla u^{T}a\nabla \varphi -\int _{\Omega }b^{T}\nabla u\varphi -\int _{\Omega }cu\varphi$.

Мы не обсуждаем проблему Неймана, но отметим, что она анализируется аналогичным образом.

Непрерывные и принудительные билинейные формы

Карта $A(u,\varphi )$ определен в пространстве Соболева $H_{0}^{1}\subset H^{1}$ функций, однажды дифференцируемых и равных нулю на границе $\partial \Omega$, если мы наложим некоторые условия на $a,b,c$ и $\Omega$. Существует много возможных вариантов, но для целей этой статьи мы будем предполагать, что

1. $a_{ij}(x)$ дифференцируема непрерывно по ${\bar {\Omega }}$ для $i,j=1,\dots ,n,$
2. $b_{i}(x)$ постоянно включен ${\bar {\Omega }}$ для $i=1,\dots ,n,$
3. $c(x)$ постоянно включен ${\bar {\Omega }}$ и
4. $\Omega$ ограничен.

Читатель может убедиться, что карта $A(u,\varphi )$ кроме того, билинейно и непрерывно , и что отображение $F(\varphi )$ линейна ​ по $\varphi$и непрерывен, если (например) $f$ квадратично интегрируемо.

Мы говорим, что карта $A$ носит принудительный характер, если существует $\alpha >0$ для всех $u,\varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )$,

$A(u,\varphi )\geq \alpha \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi .$

Это тривиально верно для лапласиана (с $\alpha =1$), а также верно для эллиптического оператора, если предположить $b=0$ и $c\leq 0$. (Напомним, что $u^{T}au>\alpha u^{T}u$ когда $L$ эллиптический.)

Существование и единственность слабого решения

можно показать С помощью леммы Лакса–Милгрэма , что всякий раз, когда $A(u,\varphi )$ является принудительным и $F(\varphi )$ непрерывна, то существует единственное решение $u\in H_{0}^{1}(\Omega )$ к слабой задаче (*).

Если дальше $A(u,\varphi )$ симметричен (т.е. $b=0$), можно показать тот же результат, используя вместо этого теорему о представлении Рисса .

Это опирается на то, что $A(u,\varphi )$ образует внутренний продукт на $H_{0}^{1}(\Omega )$, которое само зависит от неравенства Пуанкаре .

Сильные

Мы показали, что существует $u\in H_{0}^{1}(\Omega )$ который решает слабую систему, но мы не знаем, является ли это $u$ решает сильную систему

$Lu=f{\text{ in }}\Omega ,$

$u=0{\text{ on }}\partial \Omega ,$

Еще более досадно то, что мы даже не уверены в том, что $u$ дважды дифференцируема, что дает выражения $u_{x_{i}x_{j}}$ в $Lu$ видимо бессмысленно. Способов исправить ситуацию множество, главный из них – регулярность .

Регулярность

Теорема о регулярности для линейной эллиптической краевой задачи второго порядка принимает вид

Теорема Если (некоторое условие), то решение $u$ находится в $H^{2}(\Omega )$, пространство «дважды дифференцируемых» функций, вторые производные которых интегрируются с квадратом.

Не существует простого условия, необходимого и достаточного для выполнения заключения теоремы, но известно, что достаточными являются следующие условия:

1. Граница $\Omega$ является $C^{2}$, или
2. $\Omega$ является выпуклым.

Может возникнуть соблазн сделать вывод, что если $\partial \Omega$ кусочно $C^{2}$ затем $u$ действительно находится в $H^{2}$, но это, к сожалению, неверно.

Почти везде решения

В случае, если $u\in H^{2}(\Omega )$ тогда вторые производные $u$ определены почти всюду , и в этом случае $Lu=f$ почти везде.

Сильные

Можно далее доказать, что если граница $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ является гладким многообразием и $f$ бесконечно дифференцируема в сильном смысле, то $u$ также бесконечно дифференцируема в сильном смысле. В этом случае, $Lu=f$ с сильным определением производной.

Доказательство этого основано на улучшенной теореме регулярности, которая гласит, что если $\partial \Omega$ является $C^{k}$ и $f\in H^{k-2}(\Omega )$, $k\geq 2$, затем $u\in H^{k}(\Omega )$, вместе с теоремой вложения Соболева о том, что функции из $H^{k}(\Omega )$ также находятся в $C^{m}({\bar {\Omega }})$ в любое время $0\leq m<k-n/2$.

Численные решения

Хотя в исключительных случаях эллиптические задачи можно решить явно, в целом это невыполнимая задача. Естественным решением является аппроксимация эллиптической задачи более простой и решение этой более простой задачи на компьютере.

Благодаря хорошим свойствам, которые мы перечислили (а также многим из них, которых у нас нет), существуют чрезвычайно эффективные численные средства решения линейных эллиптических краевых задач (примеры см. в методе конечных элементов , методе конечных разностей и спектральном методе ).

Собственные значения и собственные решения

Другая теорема вложения Соболева утверждает, что включение $H^{1}\subset L^{2}$ представляет собой компактное линейное отображение. Вооружившись спектральной теоремой для компактных линейных операторов, получаем следующий результат.

Теорема. Предположим, что $A(u,\varphi )$ является принудительным, непрерывным и симметричным. Карта $S:f\rightarrow u$ от $L^{2}(\Omega )$ к $L^{2}(\Omega )$ представляет собой компактное линейное отображение. Имеет основу из собственных векторов $u_{1},u_{2},\dots \in H^{1}(\Omega )$ и сопоставление собственных значений $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \in \mathbb {R}$ такой, что

1. $Su_{k}=\lambda _{k}u_{k},k=1,2,\dots ,$
2. $\lambda _{k}\rightarrow 0$ как $k\rightarrow \infty$,
3. $\lambda _{k}\gneqq 0\;\;\forall k$,
4. $\int _{\Omega }u_{j}u_{k}=0$ в любое время $j\neq k$ и
5. $\int _{\Omega }u_{j}u_{j}=1$ для всех $j=1,2,\dots \,.$

и важность

Если вычислить собственные значения и собственные векторы, то можно найти «явное» решение задачи $Lu=f$,

$u=\sum _{k=1}^{\infty }{\hat {u}}(k)u_{k}$

по формуле

${\hat {u}}(k)=\lambda _{k}{\hat {f}}(k),\;\;k=1,2,\dots$

где

${\hat {f}}(k)=\int _{\Omega }f(x)u_{k}(x)\,dx.$

(См. ряд Фурье .)

Ряд сходится в $L^{2}$. Этот метод, реализуемый на компьютере с использованием численных приближений, известен как спектральный метод .

Пример

Рассмотрите проблему

$u-u_{xx}-u_{yy}=f(x,y)=xy$ на $(0,1)\times (0,1),$

$u(x,0)=u(x,1)=u(0,y)=u(1,y)=0\;\;\forall (x,y)\in (0,1)\times (0,1)$ (условия Дирихле).

Читатель может убедиться, что собственные векторы в точности совпадают.

$u_{jk}(x,y)=\sin(\pi jx)\sin(\pi ky)$, $j,k\in \mathbb {N}$

с собственными значениями

$\lambda _{jk}={1 \over 1+\pi ^{2}j^{2}+\pi ^{2}k^{2}}.$

Коэффициенты Фурье $g(x)=x$ можно посмотреть в таблице, получив ${\hat {g}}(n)={(-1)^{n+1} \over \pi n}$. Поэтому,

${\hat {f}}(j,k)={(-1)^{j+k+1} \over \pi ^{2}jk}$

получение решения

$u(x,y)=\sum _{j,k=1}^{\infty }{(-1)^{j+k+1} \over \pi ^{2}jk(1+\pi ^{2}j^{2}+\pi ^{2}k^{2})}\sin(\pi jx)\sin(\pi ky).$

Принцип максимума

Существует множество вариантов принципа максимума. Мы даем простой.

Теорема. (Слабый принцип максимума.) Пусть $u\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\bar {\Omega }})$и предположим, что $c(x)=0\;\forall x\in \Omega$. Скажи это $Lu\leq 0$ в $\Omega$. Затем $\max _{x\in {\bar {\Omega }}}u(x)=\max _{x\in \partial \Omega }u(x)$. Другими словами, максимум достигается на границе.

Сильный принцип максимума привел бы к заключению, что $u(x)\lneqq \max _{y\in \partial \Omega }u(y)$ для всех $x\in \Omega$ пока не $u$ является постоянным.

Дальнейшее чтение

• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения в частных производных . Аспирантура по математике . Том. 19. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0772-2 .