Структура Ходжа

В математике структура Ходжа , названная в честь В.В.Д. Ходжа , — это алгебраическая структура на уровне линейной алгебры , подобная той, которую теория Ходжа дает группам когомологий гладкого и компактного кэлерова многообразия . Структуры Ходжа были обобщены для всех комплексных многообразий (даже если они сингулярны и неполны ) в форме смешанных структур Ходжа , определенных Пьером Делинем (1970). Разновидностью структуры Ходжа является семейство структур Ходжа, параметризованное многообразием, впервые изученное Филипом Гриффитсом (1968). Все эти концепции были далее обобщены на смешанные модули Ходжа Морихико Сайто (1989) над комплексными многообразиями.

Структуры Ходжа

Определение структур Ходжа

Чистая структура Ходжа целого веса n состоит из абелевой группы $H_{\mathbb {Z} }$ и декомпозиция его комплексификации $H$ в прямую сумму комплексных подпространств $H^{p,q}$, где $p+q=n$, со свойством, что комплексно-сопряженное $H^{p,q}$ является $H^{q,p}$:

$H:=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q},$

${\overline {H^{p,q}}}=H^{q,p}.$

Эквивалентное определение получается заменой разложения в прямую сумму $H$ фильтрацией Ходжа — конечной фильтрацией убывающей $H$ комплексными подпространствами $F^{p}H(p\in \mathbb {Z} ),$ при условии

$\forall p,q\ :\ p+q=n+1,\qquad F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}=0\quad {\text{and}}\quad F^{p}H\oplus {\overline {F^{q}H}}=H.$

Связь между этими двумя описаниями определяется следующим образом:

$H^{p,q}=F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}},$

$F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,n-i}.$

Например, если $X$ — компактное кэлерово многообразие , $H_{\mathbb {Z} }=H^{n}(X,\mathbb {Z} )$ это $n$-я группа когомологий X с целыми коэффициентами, то $H=H^{n}(X,\mathbb {C} )$ это его $n$-я группа когомологий с комплексными коэффициентами и теория Ходжа обеспечивает разложение $H$ в прямую сумму, как указано выше, так что эти данные определяют чистую структуру Ходжа с весом $n$. С другой стороны, спектральная последовательность Ходжа-де Рама дает $H^{n}$ с убывающей фильтрацией $F^{p}H$ как во втором определении.

Для приложений в алгебраической геометрии, а именно классификации комплексных проективных многообразий по их периодам , множество всех структур Ходжа веса $n$ на $H_{\mathbb {Z} }$ слишком велик. Используя билинейные отношения Римана , в данном случае называемые билинейными отношениями Ходжа Римана , его можно существенно упростить. Поляризованная структура Ходжа веса n состоит из структуры Ходжа $(H_{\mathbb {Z} },H^{p,q})$ и невырожденная целочисленная билинейная форма $Q$ на $H_{\mathbb {Z} }$ ( поляризация ), которая распространяется на $H$ по линейности и удовлетворяющие условиям:

${\begin{aligned}Q(\varphi ,\psi )&=(-1)^{n}Q(\psi ,\varphi )&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'};\\Q(\varphi ,\psi )&=0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'},p\neq q';\\i^{p-q}Q\left(\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\ \varphi \neq 0.\end{aligned}}$

С точки зрения фильтрации Ходжа из этих условий следует, что

${\begin{aligned}Q\left(F^{p},F^{n-p+1}\right)&=0,\\Q\left(C\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \neq 0,\end{aligned}}$

где $C$ является оператором Вейля на $H$, заданный $C=i^{p-q}$ на $H^{p,q}$.

Еще одно определение структуры Ходжа основано на эквивалентности между $\mathbb {Z}$-градуировка на комплексном векторном пространстве и действие группы окружностей U(1) . В этом определении действие мультипликативной группы комплексных чисел $\mathbb {C} ^{*}$ рассматриваемый как двумерный действительный алгебраический тор, задан на $H$. Это действие должно обладать тем свойством, что вещественное число a действует посредством ^н . Подпространство $H^{p,q}$ это подпространство, на котором $z\in \mathbb {C} ^{*}$ действует как умножение на $z^{\,p}{\bar {z}}^{\,q}.$

А - структура Ходжа

В теории мотивов становится важным допустить более общие коэффициенты когомологий. Определение структуры Ходжа модифицируется за счет фиксации нётерова подкольца A поля $\mathbb {R}$ действительных чисел , для которых $\mathbf {A} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$ это поле. Тогда чистая А -структура Ходжа веса n определяется, как и ранее, с заменой $\mathbb {Z}$ с А. ​Существуют естественные функторы замены базы и ограничения, связывающие A -структуры Ходжа и B -структуры для A, подкольца B .

Смешанные структуры Ходжа

Основная статья: Смешанная структура Ходжа

заметил Жан-Пьер Серр в 1960-х годах на основании гипотезы Вейля , что даже сингулярные (возможно, приводимые) и неполные алгебраические многообразия должны допускать «виртуальные числа Бетти». нужно уметь сопоставить Точнее, любому алгебраическому многообразию X многочлен P _X ( t ), называемый его виртуальным полиномом Пуанкаре , со свойствами

• Если X неособый и проективный (или полный) $$P_{X}(t)=\sum \operatorname {rank} (H^{n}(X))t^{n}$$
• Если Y — замкнутое алгебраическое подмножество X и U = X \ Y $$P_{X}(t)=P_{Y}(t)+P_{U}(t)$$

Существование таких полиномов следовало бы из существования аналога структуры Ходжа в когомологиях общего (сингулярного и неполного) алгебраического многообразия. Новизна состоит в том, что n- я когомология общего многообразия выглядит так, как если бы она содержала кусочки разного веса. Это привело Александра Гротендика к его предположительной теории мотивов и мотивировало поиск расширения теории Ходжа, кульминацией которого стали работы Пьера Делиня . Он ввел понятие смешанной структуры Ходжа, разработал приемы работы с ними, дал их конструкцию (на основе Хиронаки Хейсуке разрешения особенностей ) и связал их с весами на 1-адических когомологиях , доказав последнюю часть формулы Вейля. домыслы .

Пример кривых

Чтобы мотивировать определение, рассмотрим случай приводимой комплексной алгебраической кривой X, состоящей из двух неособых компонент: $X_{1}$ и $X_{2}$, которые трансверсально пересекаются в точках $Q_{1}$ и $Q_{2}$. Далее предположим, что компоненты не компактны, но могут быть компактифицированы добавлением точек $P_{1},\dots ,P_{n}$. Первая группа когомологий кривой X (с компактным носителем) двойственна первой группе гомологий, которую легче визуализировать. В этой группе выделяют три типа одноциклов. Во-первых, это элементы $\alpha _{i}$ представляющие собой небольшие петли вокруг проколов $P_{i}$. Тогда есть элементы $\beta _{j}$ которые исходят из первых гомологии компактификации каждого из компонентов. Один цикл в $X_{k}\subset X$ ( $k=1,2$), соответствующий циклу в компактификации этой компоненты, не является каноническим: эти элементы определяются по модулю оболочки $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$. Наконец, по модулю первых двух типов группа порождается комбинаторным циклом $\gamma$ который идет от $Q_{1}$ к $Q_{2}$по пути в одном компоненте $X_{1}$ и возвращается по пути в другом компоненте $X_{2}$. Это говорит о том, что $H_{1}(X)$ допускает возрастающую фильтрацию

$0\subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}=H^{1}(X),$

чьи последовательные факторы W _n / W _{n −1} происходят из когомологий гладких полных многообразий, следовательно, допускают (чистые) структуры Ходжа, хотя и разных весов. Дополнительные примеры можно найти в «Наивном руководстве по смешанной теории Ходжа».

Определение смешанной структуры Ходжа

Смешанная структура Ходжа на абелевой группе. $H_{\mathbb {Z} }$ состоит из конечной убывающей фильтрации F ^п на комплексном векторном пространстве H (комплексификация $H_{\mathbb {Z} }$), называемая фильтрацией Ходжа , и конечная возрастающая фильтрация Wi _в рациональном векторном пространстве $H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ (полученную путем расширения скаляров до рациональных чисел), называемую весовой фильтрацией , при условии, что n -е соответствующее градуированное частное $H_{\mathbb {Q} }$ относительно весовой фильтрации вместе с фильтрацией, индуцированной F при его комплексификации, является чистой структурой Ходжа веса n для всех целых n . Здесь индуцированная фильтрация на

$\operatorname {gr} _{n}^{W}H=W_{n}\otimes \mathbb {C} /W_{n-1}\otimes \mathbb {C}$

определяется

$F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=\left(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} \right)/W_{n-1}\otimes \mathbb {C} .$

Можно определить понятие морфизма смешанных структур Ходжа, который должен быть согласован с фильтрациями F и W, и доказать следующее:

Теорема. Смешанные структуры Ходжа образуют абелеву категорию . Ядра и коядра в этой категории совпадают с обычными ядрами и коядрами в категории векторных пространств с индуцированными фильтрациями.

Полные когомологии компактного кэлерова многообразия имеют смешанную структуру Ходжа, где n- е пространство весовой фильтрации Wn _равной представляет собой прямую сумму групп когомологий (с рациональными коэффициентами) степени, меньшей или n . Следовательно, можно думать о классической теории Ходжа в компактном комплексном случае как о двойной градуировке группы комплексных когомологий, которая определяет возрастающую фильтрацию F ^п и убывающую фильтрацию W _n, согласованные определенным образом. В общем, полное пространство когомологий все еще имеет эти две фильтрации, но они больше не возникают в результате прямого разложения суммы. В отношении третьего определения чистой структуры Ходжа можно сказать, что смешанную структуру Ходжа нельзя описать действием группы $\mathbb {C} ^{*}.$ Важным открытием Делиня является то, что в смешанном случае существует более сложная некоммутативная проалгебраическая группа, которую можно использовать для того же эффекта, используя формализм Таннака .

Более того, категория (смешанных) структур Ходжа допускает хорошее понятие тензорного произведения, соответствующего произведению многообразий, а также родственные понятия внутреннего Hom и двойственного объекта , что превращает ее в категорию Таннака . Согласно философии Таннаки-Крейна , эта категория эквивалентна категории конечномерных представлений некоторой группы, которую Делинь, Милн и др. подробно описал, см. Deligne & Milne (1982). и Делинь (1994) . Описание этой группы было переработано в более геометрических терминах Капрановым (2012) . Соответствующий (гораздо более сложный) анализ рациональных чистых поляризуемых структур Ходжа был проведен Патрикисом (2016) .

Смешанная структура Ходжа в когомологиях (теорема Делиня)

Делинь доказал, что n- я группа когомологий произвольного алгебраического многообразия имеет каноническую смешанную структуру Ходжа. Эта структура функториальна и совместима с произведениями многообразий ( изоморфизм Кюннета ) и произведением когомологий. Для полного неособого многообразия X эта структура имеет чистый вес n , и фильтрация Ходжа может быть определена через гиперкогомологии усеченного комплекса де Рама.

Доказательство грубо состоит из двух частей, учитывающих некомпактность и особенности. Обе части существенно используют разрешение сингулярностей (принадлежащее Хиронаке). В единственном случае многообразия заменяются симплициальными схемами, что приводит к более сложной гомологической алгебре, и используется техническое понятие структуры Ходжа на комплексах (в отличие от когомологий).

Используя теорию мотивов , можно уточнить весовую фильтрацию на когомологиях с рациональными коэффициентами до когомологий с целыми коэффициентами.

Примеры

• Структура Тейта -Ходжа $\mathbb {Z} (1)$ представляет собой структуру Ходжа с лежащей в ее основе $\mathbb {Z}$ модуль предоставлен $2\pi i\mathbb {Z}$ (подгруппа $\mathbb {C}$), с $\mathbb {Z} (1)\otimes \mathbb {C} =H^{-1,-1}.$ Таким образом, она имеет чистый вес −2 по определению и является единственной одномерной чистой структурой Ходжа веса −2 с точностью до изоморфизмов. В более общем смысле его n- я тензорная степень обозначается как $\mathbb {Z} (n);$ он одномерен и имеет вес −2 n .
• Когомологии компактного кэлерова многообразия имеют структуру Ходжа, а n- я группа когомологий имеет чистый вес n .
• Когомологии комплексного многообразия (возможно, особого или несобственного) имеют смешанную структуру Ходжа. Это было показано для гладких разновидностей Делинем (1971) , Делинем (1971а) и вообще Делинем (1974) .
• Для проективного разнообразия $X$ с нормальными пересекающимися особенностями существует спектральная последовательность с вырожденной E ₂ -страницей, которая вычисляет все свои смешанные структуры Ходжа. На E ₁ -странице есть явные члены с дифференциалом, исходящим из симплициального множества.
• Любое гладкое многообразие X допускает гладкую компактификацию с дополнением нормальным делителем пересечения. Соответствующие логарифмические формы можно использовать для описания смешанной структуры Ходжа на когомологиях X. явного
• Структура Ходжа для гладкой проективной гиперповерхности. $X\subset \mathbb {P} ^{n+1}$ степени $d$ был подробно разработан Гриффитсом в его статье «Интегралы по периоду алгебраических многообразий». Если $f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]$ – многочлен, определяющий гиперповерхность $X$ то градуированное факторкольцо Якобиана $$R(f)={\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{0}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n+1}}}\right)}}$$ содержит всю информацию средних когомологий $X$. Он показывает, что $$H^{p,n-p}(X)_{\text{prim}}\cong R(f)_{(n+1-p)d-n-2}$$ Например, рассмотрим поверхность K3 , заданную формулой $g=x_{0}^{4}+\cdots +x_{3}^{4}$, следовательно $d=4$ и $n=2$. Тогда градуированное якобианское кольцо будет $${\frac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{3},x_{1}^{3},x_{2}^{3},x_{3}^{3})}}$$ Тогда изоморфизм примитивных групп когомологий будет выглядеть следующим образом: $$H^{p,n-p}(X)_{prim}\cong R(g)_{(2+1-p)4-2-2}=R(g)_{4(3-p)-4}$$ следовательно $${\begin{aligned}H^{0,2}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{8}=\mathbb {C} \cdot x_{0}^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}\\H^{1,1}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{4}\\H^{2,0}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{0}=\mathbb {C} \cdot 1\end{aligned}}$$ Обратите внимание, что $R(g)_{4}$ векторное пространство, охватываемое $${\begin{array}{rrrrrrrr}x_{0}^{2}x_{1}^{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{3},&x_{0}^{2}x_{2}^{2},&x_{0}^{2}x_{2}x_{3},&x_{0}^{2}x_{3}^{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{3},\\x_{0}x_{1}x_{2}^{2},&x_{0}x_{1}x_{2}x_{3},&x_{0}x_{1}x_{3}^{2},&x_{0}x_{2}^{2}x_{3},&x_{0}x_{2}x_{3}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}x_{3},&x_{1}^{2}x_{3}^{2},\\x_{1}x_{2}^{2}x_{3},&x_{1}x_{2}x_{3}^{2},&x_{2}^{2}x_{3}^{2}\end{array}}$$ который является 19-мерным. Есть лишний вектор $H^{1,1}(X)$ заданный классом Лефшеца $[L]$. Согласно теореме Лефшеца о гиперплоскости и двойственности Ходжа остальная часть когомологий находится в $H^{k,k}(X)$ как есть $1$-мерный. Следовательно, ромб Ходжа гласит:

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

• Мы также можем использовать предыдущий изоморфизм для проверки рода степени $d$ плоская кривая. С $x^{d}+y^{d}+z^{d}$ является гладкой кривой, а теорема о расслоениях Эресмана гарантирует, что любая другая гладкая кривая рода $g$ диффеоморфен, то мы имеем, что род тогда один и тот же. Итак, используя изоморфизм примитивных когомологий с градуированной частью якобиева кольца, мы видим, что $$H^{1,0}\cong R(f)_{d-3}\cong \mathbb {C} [x,y,z]_{d-3}$$ Это означает, что размерность $${2+d-3 \choose 2}={d-1 \choose 2}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}$$ по желанию.
• Числа Ходжа для полного пересечения также легко вычислимы: существует комбинаторная формула, найденная Фридрихом Хирцебрухом .

Приложения

Механизм, основанный на понятиях структуры Ходжа и смешанной структуры Ходжа, образует часть все еще во многом гипотетической теории мотивов , предложенной Александром Гротендиком . Арифметическая информация для неособого алгебраического многообразия X , закодированная собственным значением элементов Фробениуса, действующих на его l-адические когомологии , имеет нечто общее со структурой Ходжа, возникающей из X, рассматриваемого как комплексное алгебраическое многообразие. Сергей Гельфанд и Юрий Манин заметили примерно в 1988 году в своих «Методах гомологической алгебры» , что в отличие от симметрий Галуа, действующих на другие группы когомологий, происхождение «симметрий Ходжа» очень загадочно, хотя формально они выражаются через действие довольно несложной группы $R_{\mathbf {C/R} }{\mathbf {C} }^{*}$ о когомологиях де Рама. С тех пор загадка усугубилась с открытием и математической формулировкой зеркальной симметрии.

Вариант структуры Ходжа

Разновидность структуры Ходжа ( Гриффитс (1968) , Гриффитс (1968а) , Гриффитс (1970) ) — семейство структур Ходжа.параметризованное комплексным многообразием X . Точнее, вариант структуры Ходжа веса n на комплексном многообразии X состоит из локально постоянного пучка S конечно порожденных абелевых групп на X вместе с убывающей фильтрацией Ходжа F на S ⊗ O _X при соблюдении следующих двух условий:

• Фильтрация индуцирует структуру Ходжа веса n на каждом слое пучка S
• ( Трансверсальность Гриффитса ) Естественная связность на S ⊗ O _X отображает $F^{n}$ в $F^{n-1}\otimes \Omega _{X}^{1}.$

Здесь естественная (плоская) связность на S ⊗ O _X, индуцированная плоской связностью на S и плоской связностью d на O _X , а OX _— пучок голоморфных функций на X , и $\Omega _{X}^{1}$ есть пучок 1-форм на X . Эта естественная плоская связность является связностью Гаусса–Манина ∇ и может быть описана уравнением Пикара–Фукса .

Вариант смешанной структуры Ходжа можно определить аналогичным образом, добавив градуировку или W к S. фильтрацию Типичные примеры можно найти в алгебраических морфизмах. $f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$. Например,

${\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=y^{6}-x^{6}\end{cases}}$

имеет волокна

$X_{t}=f^{-1}(\{t\})=\left\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{6}-x^{6}=t\right\}$

которые представляют собой гладкие плоские кривые рода 10 для $t\neq 0$ и вырождается в особую кривую при $t=0.$ Тогда пучки когомологий

$\mathbb {R} f_{*}^{i}\left({\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} ^{2}}\right)$

дать варианты смешанных структур ходжа.

Модули Ходжа

Основная статья: Модуль Mixed Hodge

Модули Ходжа являются обобщением вариации структур Ходжа на комплексном многообразии. Неформально их можно рассматривать как нечто вроде пучков структур Ходжа на многообразии; Точное определение Сайто (1989) является довольно техническим и сложным. Имеются обобщения на смешанные модули Ходжа и на многообразия с особенностями.

Каждому гладкому комплексному многообразию соответствует абелева категория смешанных модулей Ходжа. Формально они ведут себя как категории пучков над многообразиями; например, морфизмы f между многообразиями индуцируют функторы f _∗ , f* , f _! , ж ^! между ( производными категориями ) смешанными модулями Ходжа, подобными модулям для пучков.

См. также

• Смешанная структура Ходжа
• Гипотеза Ходжа
• Якобианский идеал
• Структура Ходжа – Тейта , p -адический аналог структур Ходжа.

Вводные ссылки

• Дебарр, Оливье, Периоды и модули.
• Арапура, Дону, Комплексные алгебраические многообразия и их когомологии (PDF) , стр. 120–123, заархивировано из оригинала (PDF) 4 января 2020 г. (предоставляет инструменты для вычисления чисел Ходжа с использованием пучковых когомологий)
• Наивное руководство по смешанной теории Ходжа
• Димка, Александру (1992). Особенности и топология гиперповерхностей . Университеттекст. Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 240, 261. doi : 10.1007/978-1-4612-4404-2 . ISBN  0-387-97709-0 . МР   1194180 . S2CID   117095021 . (Приводит формулу и генераторы смешанных чисел Ходжа аффинного слоя Милнора взвешенного однородного многочлена, а также формулу для дополнений к взвешенным однородным многочленам во взвешенном проективном пространстве.)

Обзорные статьи

• Арапура, Дону (2006), Смешанные структуры Ходжа, связанные с геометрическими вариациями (PDF) , arXiv : math/0611837 , Bibcode : 2006math.....11837A

Ссылки

• Делинь, Пьер (1971b), Работы Гриффитса , Сем. Бурбаки Эксп. 376, Лект. конспекты по математике. Том 180, стр. 213–235
• Делинь, Пьер (1971), «Теория Ходжа. I» (PDF) , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970) , том. 1, Готье-Вилларс, стр. 425–430, MR   0441965 , заархивировано из оригинала (PDF) 2 апреля 2015 г. Это создает смешанную структуру Ходжа на когомологиях сложного многообразия.
• Делинь, Пьер (1971a), Теория де Ходж. II. , Инст. Hautes Études Sci. Опубл. Математика. № 40, стр. 5–57, MR   0498551. Здесь строится смешанная структура Ходжа на когомологиях комплексного многообразия.
• Делинь, Пьер (1974), Теория де Ходж. III. , Инст. Hautes Études Sci. Опубл. Математика. № 44, стр. 5–77, MR   0498552. Здесь строится смешанная структура Ходжа на когомологиях комплексного многообразия.
• Делинь, Пьер (1994), «Структуры Ходжа смешанные réelles», Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991), Часть 1 , Труды симпозиумов по чистой математике , том. 55, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 509–514, MR   1265541.
• Делинь, Пьер ; Милн, Джеймс (1982), «Таннакские категории», Циклы Ходжа, мотивы и разновидности Шимуры Пьера Делиня, Джеймса С. Милна, Артура Огуса, Куанг-йен Ши , Конспекты лекций по математике , том. 900, Springer-Verlag , стр. 1–414 . Аннотированную версию этой статьи можно найти на домашней странице Дж. Милна .
• Гриффитс, Филлип (1968), «Периоды интегралов на алгебраических многообразиях I (Построение и свойства модульных многообразий)», American Journal of Mathematics , 90 (2): 568–626, doi : 10.2307/2373545 , JSTOR   2373545
• Гриффитс, Филлип (1968a), «Периоды интегралов на алгебраических многообразиях II (Локальное исследование отображения периодов)», American Journal of Mathematics , 90 (3): 808–865, doi : 10.2307/2373485 , JSTOR   2373485
• Гриффитс, Филлип (1970), «Периоды интегралов на алгебраических многообразиях III. Некоторые глобальные дифференциально-геометрические свойства отображения периодов». , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 38 : 228–296, doi : 10.1007/BF02684654 , S2CID   11443767
• Капранов, Михаил (2012), «Реальные смешанные структуры Ходжа», Журнал некоммутативной геометрии , 6 (2): 321–342, arXiv : 0802.0215 , doi : 10.4171/jncg/93 , MR   2914868 , S2CID   56416260
• Овсеевич, Александр Иванович (2001) [1994], «Структура Ходжа» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Патрикис, Стефан (2016), «Группы Мамфорда-Тейта поляризуемых структур Ходжа», Труды Американского математического общества , 144 (9): 3717–3729, arXiv : 1302.1803 , doi : 10.1090/proc/13040 , MR   3513533 , S2CID   40142493
• Сайто, Морихико (1989), Введение в смешанные модули Ходжа. Материалы конференции по теории Ходжа (Luminy, 1987). , Звездочка № 179–180, с. 145–162, МР   1042805
• Шнелл, Кристиан (2014), Обзор теории смешанных модулей Ходжа Морихико Сайто (PDF) , arXiv : 1405.3096
• Стинбринк, Джозеф Х.М. (2001) [1994], «Вариация структуры Ходжа» , Энциклопедия математики , EMS Press