Комплект рамок

В математике расслоение фреймов — это главное расслоение F( E связанное с любым векторным расслоением E. ) , Слой F( E точкой x — это набор всех упорядоченных баз или фреймов для Ex _{) над} . Общая линейная группа естественным образом действует на F( E ) посредством замены базиса , придавая расслоению фреймов структуру главного GL( k , R )-расслоения (где k — ранг E ).

Расслоение фреймов гладкого многообразия — это расслоение, связанное с его касательным расслоением . По этой причине его иногда называют связкой касательных кадров .

Определение и конструкция

Пусть E → X — вещественное векторное расслоение ранга k над топологическим пространством X . Фрейм E точке x ∈ X является упорядоченным базисом векторного пространства x _в . Эквивалентно, фрейм можно рассматривать как линейный изоморфизм.

p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.

Множество всех фреймов в точке x , обозначенное Fx _R , имеет естественное правое действие со стороны общей линейной группы GL( k , ) обратимых матриц размера k × k : групповой элемент g ∈ GL( k , R ) действует на фрейме p через композицию, чтобы создать новый кадр

p\circ g:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.

Это действие GL( k , R ) на Fx _{(это следует из} одновременно свободно и транзитивно стандартного результата линейной алгебры о том, что существует единственное обратимое линейное преобразование, переводящее один базис в другой). Как топологическое пространство, F _x гомеоморфно GL ( k , R ), хотя ему не хватает групповой структуры, поскольку нет «предпочтительного фрейма». Пространство F _x называется GL( k , R ) -торсором .

Расслоение фреймов E ) обозначаемое F( E ) или FGL ₍ E , представляет собой несвязное объединение всех Fx _, :

\mathrm {F} (E)=\coprod _{x\in X}F_{x}.

Каждая точка в F( E ) представляет собой пару ( x , p ), где x — точка в X , а p — кадр в x . Существует естественная проекция π: F( E ) → X , которая переводит ( x , p ) в x . Группа GL( k , R ) действует на F( E ) справа, как указано выше. Это действие, очевидно, свободное, и орбиты представляют собой не что иное, как слои π.

Расслоению фреймов F( E определяемую топологией E. ) можно придать естественную топологию и структуру расслоения , ( Ui _Пусть , _φi ) тривиализация E. — локальная Тогда для каждого x ∈ U _i существует линейный изоморфизм φ _{i , x} : E _x → R ^к. Эти данные определяют биекцию

\psi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbf {R} )

данный

\psi _{i}(x,p)=(x,\varphi _{i,x}\circ p).

С этими биекциями каждое π ⁻¹( U _i ) может быть задана топология U _i × GL( k , R ). Топология на F( E ) — это конечная топология , коиндуцированная отображениями включения π ⁻¹( U _я ) → F( E ).

При наличии всех вышеперечисленных данных расслоение фреймов F( E ) становится главным расслоением над X со структурной группой GL( k , R ) и локальными тривиализациями ({ U _i }, {ψ _i }). Можно проверить, что перехода F( E ) такие же, как и у E. функции

Все вышеперечисленное работает и в гладкой категории: если E — гладкое векторное расслоение над гладким многообразием M , то расслоению фреймов E можно придать структуру гладкого главного расслоения над M .

Связанные векторные расслоения

Векторное расслоение E и его фреймовое расслоение F( E ) являются ассоциированными расслоениями . Каждый определяет другого. Расслоение кадров F( E ) может быть построено из E , как указано выше, или, более абстрактно, с использованием теоремы о построении расслоения . В последнем методе F( E ) представляет собой расслоение с той же базой, структурной группой, тривиализирующими окрестностями и функциями перехода, что и E , но с абстрактным слоем GL( k , R ), где действие структурной группы GL( k , R) ) на слое GL( k , R ) — это слой левого умножения.

Для любого линейного представления ρ: GL( k , R ) → GL( V , F ) существует векторное расслоение

\mathrm {F} (E)\times _{\rho }V

связанный с F( E ), который задается произведением F( E ) × V по модулю отношения эквивалентности ( pg , v ) ~ ( p , ρ( g ) v ) для всех g в GL( k , R ). Обозначим классы эквивалентности через [ p , v ].

Векторное расслоение E расслоению естественно изоморфно F( E ) × _ρ R ^к где ρ — фундаментальное представление GL( k , R ) на R ^к. Изоморфизм задается формулой

[p,v]\mapsto p(v)

где v — вектор из R ^к и р : Р ^к → E _x — кадр в точке x . Легко проверить, что это отображение корректно определено .

Любое векторное расслоение, связанное с E, может быть задано приведенной выше конструкцией. Например, двойственное расслоение к E задается формулой F( E ) × _ρ* ( R ^к)* где ρ* — двойственное фундаментальному представлению. Тензорные расслоения E можно построить аналогичным образом.

Касательная связка рамок

Касательное расслоение фреймов (или просто расслоение фреймов ) гладкого многообразия M — это расслоение фреймов, связанное с расслоением M касательным . Пакет кадров M часто обозначается F M или GL( M ), а не F( TM ). В физике его иногда обозначают LM . Если M -мерно n то касательное расслоение имеет ранг n , поэтому расслоение фреймов M является главным расслоением GL( n , R ) над M. ,

Гладкие рамки

Локальные сечения расслоения фреймов M называются гладкими фреймами на M . Теорема о поперечном сечении для главных расслоений утверждает, что расслоение фреймов тривиально над любым открытым множеством из U в M , которое допускает гладкий фрейм. Для гладкого репера s : U → F U тривиализация ψ: F U → U × GL( n , R ) задается формулой

\psi (p)=(x,s(x)^{-1}\circ p)

где p — кадр в точке x . Отсюда следует, что многообразие распараллеливаемо тогда и только тогда, когда расслоение реперов M допускает глобальное сечение.

Поскольку касательное расслоение к M тривиализуемо над координатными окрестностями M, то же самое можно сказать и о расслоении фреймов. Действительно, для любой координатной окрестности U с координатами ( x ¹,…, х ^н) поля координатных векторов

\left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)

определим гладкий репер на U . Одним из преимуществ работы с пакетами кадров является то, что они позволяют работать с кадрами, отличными от координатных; можно выбрать рамку, адаптированную к решаемой задаче. Иногда это называют методом перемещения кадров .

Форма пайки

Расслоение реперов многообразия M является особым типом главного расслоения в том смысле, что его геометрия фундаментально связана с геометрией M . Это отношение может быть выражено посредством векторнозначной 1-формы на FM, называемой формой припоя (также известной как фундаментальная или тавтологическая 1-форма ). Пусть x — точка многообразия M , а p — рамка в x , так что

p:\mathbf {R} ^{n}\to T_{x}M

является линейным изоморфизмом R ^н с касательным пространством M в точке x . Форма пайки FM — R. ^н-значная 1-форма θ, определенная формулой

\theta _{p}(\xi )=p^{-1}\mathrm {d} \pi (\xi )

где ξ — касательный вектор к F M в точке ( x , p ), а p ⁻¹ : Т _х М → Р ^н является инверсией карты кадра, а dπ является дифференциалом карты проекции π : F M → M . Форма припоя горизонтальна в том смысле, что она обращается в нуль на векторах, касающихся слоев π, и эквивариантна справа в том смысле, что

R_{g}^{*}\theta =g^{-1}\theta

где Rg _g — правый перевод на ∈ GL ( n , R ). Форма с этими свойствами называется базовой или тензорной формой на F M . Такие формы находятся в 1-1 соответствии с TM -значными 1-формами на M, которые, в свою очередь, находятся в 1-1 соответствии с гладкими отображениями расслоений TM → TM над M . В этом свете θ — это просто карта идентичности на ТМ .

В соответствии с соглашением об именах термин «тавтологическая одна форма» обычно резервируется для случая, когда форма имеет каноническое определение, как здесь, тогда как «форма пайки» больше подходит для тех случаев, когда форма не определена канонически. . Здесь эта условность не соблюдается.

Пакет ортонормированных рамок

Если векторное расслоение E снабжено метрикой риманова расслоения , то каждый слой Ex _{пространством} является не только векторным пространством, но и внутреннего произведения . Тогда можно говорить о множестве всех ортонормированных систем для Ex _{отсчета} . Ортонормированная система координат для E _x — это упорядоченный ортонормированный базис для E _x или, что то же самое, линейная изометрия.

p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}

где Р ^к оснащен стандартной евклидовой метрикой . Ортогональная группа O( k ) действует свободно и транзитивно на множестве всех ортонормированных кадров посредством правой композиции. Другими словами, множество всех ортонормированных фреймов представляет собой правый O( k ) -торсор .

Расслоение ортонормированных кадров E E , обозначенное F _O ( x представляет собой набор всех ортонормированных кадров в каждой точке ) , в базовом пространстве X . Его можно построить методом, полностью аналогичным методу обычного набора кадров. ранга Ортонормированное реперное расслоение риманова векторного расслоения E → X является главным O( k )-расслоением над X. k Опять же, конструкция работает так же хорошо и в гладкой категории.

Если векторное расслоение E ориентируемо , то можно определить ориентированное расслоение ортонормированных фреймов E , обозначенное F _SO ( E ), как основное SO( k )-расслоение всех положительно ориентированных ортонормированных фреймов.

Если M — n -мерное риманово многообразие , то ортонормированное расслоение реперов M , обозначаемое F _O M или O( M ), — это ортонормированное расслоение реперов, связанное с касательным расслоением M (которое снабжено римановой метрикой по определению ). Если M ориентируемо, то существует также ориентированное ортонормированное расслоение реперов F _SO M .

Для риманова векторного расслоения E расслоение ортонормированных фреймов является главным O( k ) -подрасслоением общего расслоения линейных фреймов. Другими словами, карта включения

i:{\mathrm {F} }_{\mathrm {O} }(E)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(E)

является основной картой расслоения . Говорят, что F _O ( E ) является сокращением структурной группы FGL ₍ ) E ) от GL( k , R ) до O( k .

G -структуры

Если гладкое многообразие M имеет дополнительную структуру, часто естественно рассматривать подрасслоение полнофреймового расслоения M , адаптированное к данной структуре. Например, если M — риманово многообразие, как мы видели выше, естественно рассматривать расслоение ортонормированных реперов M . Расслоение ортонормированных фреймов — это просто сокращение структурной группы F _GL ( M ) к ортогональной группе O( n ).

В общем, если M — гладкое n -многообразие и G — подгруппа Ли группы GL( n , R мы определяем G -структуру на M как редукцию структурной группы F _GL ( M ) к G. ) , Явно, это главное G -расслоение F _G ( M ) над M вместе с G -эквивариантным отображением расслоения.

{\mathrm {F} }_{G}(M)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(M)

над М.

На этом языке риманова метрика на M порождает O( n -структуру на M. ) Ниже приведены некоторые другие примеры.

Каждое ориентированное многообразие имеет ориентированное расслоение реперов, которое представляет собой просто GL. ⁺( n , R )-структура на M .
Форма объёма на M определяет SL( , R ) -структуру на M. n
2 n -мерное симплектическое многообразие имеет естественную Sp(2 n , R )-структуру.
2 n -мерное комплексное или почти комплексное многообразие имеет естественную GL( n , C )-структуру.

Во многих из этих случаев G -структура на M однозначно определяет соответствующую структуру M. на Например, SL( n , R )-структура на M определяет форму объема на M . Однако в некоторых случаях, например для симплектических и комплексных многообразий, дополнительное условие интегрируемости необходимо . Sp(2 n , R )-структура на M однозначно определяет невырожденную 2-форму на M , но для того, чтобы M было симплектическим, эта 2-форма должна быть еще и замкнутой .

Ссылки

Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том. 1 (новое издание), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
Коларж, Иван; Михор, Питер; Словак, Январь (1993), Естественные операторы в дифференциальной геометрии (PDF) , Springer-Verlag, заархивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2017 г. , получено 2 августа 2008 г.
Штернберг, С. (1983), Лекции по дифференциальной геометрии ((2-е изд.) Изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4