Jump to content

Метрика пакета

(Перенаправлено из метрики риманова расслоения )

В дифференциальной геометрии понятие метрического тензора может быть распространено на произвольное векторное расслоение и на некоторые основные расслоения . Эту метрику часто называют метрикой расслоения или метрикой слоя .

Определение

[ редактировать ]

Если M топологическое многообразие и π : E M — векторное расслоение на M , то метрика на E — это отображение расслоения k : E × M E M × R из произведения E послойного с самим собой в тривиальное расслоение с слой R такой, что ограничение k на каждый слой над M является невырожденным билинейным отображением векторных пространств . [1] Грубо говоря, k дает своего рода скалярное произведение симметричное или положительно определенное) в векторном пространстве над каждой точкой M , и эти произведения плавно изменяются по M. (не обязательно

Характеристики

[ редактировать ]

Каждое векторное расслоение с паракомпактным базовым пространством можно снабдить метрикой расслоения. [1] Для векторного расслоения ранга n это следует из карт расслоений : метрику пакета можно рассматривать как обратный результат внутреннего продукта метрики на ; например, ортонормированные карты евклидова пространства. Структурной группой такой метрики является ортогональная группа O ( n ).

Пример: метрика Римана

[ редактировать ]

Если M риманово многообразие , а E — его касательное расслоение TM , то риманова метрика дает метрику расслоения, и наоборот. [1]

Пример: на вертикальных связках

[ редактировать ]

Если расслоение π : P M главное расслоение с группой G , а G компактная группа Ли , то существует Ad( G )-инвариантное скалярное произведение k на слоях, взятое из скалярного произведения на соответствующем слое. компактная алгебра Ли . Точнее, существует метрический тензор k, определенный на вертикальном расслоении E = V P такой, что k инвариантен относительно умножения слева:

для вертикальных векторов X , Y и L g — это умножение слева на g вдоль волокна, а L g* — это прямое умножение . То есть E — векторное расслоение, состоящее из вертикального подпространства касательной к главному расслоению.

В более общем смысле, всякий раз, когда у вас есть компактная группа с мерой Хаара µ и произвольный скалярный продукт h(X,Y), определенный в касательном пространстве некоторой точки в G , можно определить инвариантную метрику, просто усредняя по всей группе, т.е. путем определения

как средний.

Вышеупомянутое понятие можно распространить на связанный пакет где V векторное пространство, ковариантно преобразующееся при представлении G. некотором

По отношению к теории Калуцы – Клейна

[ редактировать ]

Если базовое пространство M также является метрическим пространством с метрикой g , а главное расслоение наделено формой связности ω, то π * g+kω — метрика, определенная на всем касательном расслоении E = T P . [2]

Точнее, пишут π * g( X , Y ) = g ( π * X , π * Y ) где π * — это π проекция , а метрический тензор в базовом пространстве M. g Выражение следует понимать как ( )( X , Y ) = k ( ω ( X ), ω ( Y )), где k — метрический тензор на каждом слое. Здесь X и Y — элементы касательного пространства T P .

Заметим, что лифт π * g обращается в нуль на вертикальном подпространстве T V (поскольку π * обращается в нуль на вертикальных векторах), а kω обращается в нуль на горизонтальном подпространстве T H (поскольку горизонтальное подпространство определяется как та часть касательного пространства T P, на которой связь ω обращается в нуль) . Поскольку общее касательное пространство расслоения является прямой суммой вертикального и горизонтального подпространств (т. е. TP = T V ⊕ T H ), эта метрика корректно определена на всем расслоении.

Эта метрика расслоения лежит в основе обобщенной формы теории Калуцы–Клейна благодаря нескольким интересным свойствам, которыми она обладает. Скалярная кривизна , полученная из этой метрики, постоянна на каждом волокне: [2] это следует из Ad( G )-инвариантности метрики слоя k . Скалярную кривизну пучка можно разложить на три отдельные части:

р E знак равно р M ( г ) + L ( г , ω) + р г ( k )

где R E — скалярная кривизна расслоения в целом (полученная из метрики π * g+kω выше), а R M ( g ) — скалярная кривизна на базовом многообразии M ( плотность Лагранжа действия Эйнштейна–Гильберта ), а L ( g , ω) — плотность Лагранжа для действия Янга–Миллса , а R G ( k ) — скалярная кривизна на каждом слое (полученная из метрики слоя k и постоянная из-за Ad( G )-инвариантности метрики k ). Аргументы означают, что ( RM g ) зависит только от метрики g на базовом многообразии, но не от ω или k , и аналогично, что ( RM k ) зависит только от k , а не от g или ω, и так: на.

  1. ^ Перейти обратно: а б с Йост, Юрген (2011), Риманова геометрия и геометрический анализ , Universitext (шестое изд.), Springer, Heidelberg, стр. 46, номер домена : 10.1007/978-3-642-21298-7 , ISBN  978-3-642-21297-0 , МР   2829653 .
  2. ^ Перейти обратно: а б Дэвид Бликер, « Калибровочная теория и вариационные принципы , архивировано 9 июля 2021 г. в Wayback Machine » (1982), D. Reidel Publishing (см. главу 9 ).
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: e266597f1505314769e3eace73c17881__1698807600
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/e2/81/e266597f1505314769e3eace73c17881.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Bundle metric - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)