Матрицы Вейля – Брауэра

В математике , особенно в теории спиноров , матрицы Вейля – Брауэра являются явной реализацией алгебры Клиффорда как матричной алгебры из 2 ^{⌊ n /2⌋} × 2 ^{⌊ n /2⌋} матрицы. Они обобщают матрицы Паули до n измерений и представляют собой специфическую конструкцию гамма-матриц более высокой размерности . Они названы в честь Рихарда Брауэра и Германа Вейля . и были одной из самых ранних систематических конструкций спиноров с точки зрения теории представлений .

Матрицы формируются путем тензорного произведения матриц Паули , а пространство спиноров в n измерениях может быть затем реализовано как векторы-столбцы размера 2. ^{⌊ n /2⌋} на которых действуют матрицы Вейля–Брауэра.

Строительство

Предположим, что V = R ^н — евклидово пространство размерности n . Существует резкий контраст в построении матриц Вейля – Брауэра в зависимости от того, является ли размерность n четной или нечетной.

Пусть n = 2 k (или 2 k +1) и предположим, что евклидова квадратичная форма на V задается формулой

$q_{1}^{2}+\dots +q_{k}^{2}+p_{1}^{2}+\dots +p_{k}^{2}~~(+p_{n}^{2})~,$

где ( p _i , q _i ) — стандартные координаты на R ^н .

Определите матрицы 1 , 1' , P и Q с помощью

${\begin{matrix}{\mathbf {1} }=\sigma _{0}=\left({\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right),&{\mathbf {1} }'=\sigma _{3}=\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}\right),\\P=\sigma _{1}=\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right),&Q=-\sigma _{2}=\left({\begin{matrix}0&i\\-i&0\end{matrix}}\right)\end{matrix}}$.

В четной или нечетной размерности эта процедура квантования сводится к замене обычных координат p , q некоммутативными координатами, построенными из P , Q подходящим образом.

Даже случай

В случае, когда n = 2 k четно, пусть

$P_{i}={\mathbf {1} }'\otimes \dots \otimes {\mathbf {1} }'\otimes P\otimes {\mathbf {1} }\otimes \dots \otimes {\mathbf {1} }$

$Q_{i}={\mathbf {1} }'\otimes \dots \otimes {\mathbf {1} }'\otimes Q\otimes {\mathbf {1} }\otimes \dots \otimes {\mathbf {1} }$

для i = 1,2,..., k (где P или Q считаются занимающими i -ю позицию). Операция $\otimes$ – тензорное произведение матриц. Больше не важно различать P s и Q s, поэтому мы будем просто называть их всех символом P и рассматривать индекс P _i в диапазоне от i = 1 до i = 2 k . Например, выполняются следующие свойства:

$P_{i}^{2}=1,i=1,2,...,2k$, и $P_{i}P_{j}=-P_{j}P_{i}$ для всех неравных пар i и j . ( Отношения Клиффорда .)

Таким образом, алгебра, порожденная Pi _, является алгеброй Клиффорда евклидова n- пространства.

Обозначим через A алгебру, порожденную этими матрицами. Подсчитав размеры, A представляет собой полную 2 ^к ×2 ^к матричная алгебра над комплексными числами. Следовательно, как матричная алгебра она действует на 2 ^к -мерные векторы-столбцы (с комплексными элементами). Эти векторы-столбцы являются спинорами .

Теперь обратимся к действию ортогональной группы на спиноры. Рассмотрим применение ортогонального преобразования к координатам, которое, в свою очередь, действует Pi _на через

$P_{i}\mapsto R(P)_{i}=\sum _{j}R_{ij}P_{j}$.

То есть, $R\in SO(n)$. Поскольку Pi _{порождает} к A , действие этого преобразования распространяется на и приводит автоморфизму A. все A Из элементарной линейной алгебры любой такой автоморфизм должен быть задан заменой базиса . Следовательно, существует матрица S , зависящая от R , такая, что

$R(P)_{i}=S(R)P_{i}S(R)^{-1}$ (1).

В частности, S ( R ) будет действовать на вектор-столбцы (спиноры). Разлагая вращения на произведения отражений, можно записать формулу для S ( R ) почти так же, как и в случае трёх измерений.

Существует более одной матрицы S ( R ), которая производит действие в (1). Неоднозначность определяет S ( R ) с точностью до неявного скалярного фактора c . Поскольку S ( R ) и cS ( R ) определяют одно и то же преобразование (1), действие ортогональной группы на спиноры не является однозначным, а сводится к действию на проективное пространство, ассоциированное с пространством спиноров. Это многозначное действие можно усилить, нормировав константу c таким образом, что (det S ( R )) ² = 1. Однако для этого необходимо обсудить, как пространство спиноров (векторов-столбцов) можно отождествить с двойственным ему (векторами-строками).

Чтобы отождествить спиноры с их двойниками, пусть C — матрица, определенная формулой

$C=P\otimes Q\otimes P\otimes \dots \otimes Q.$

Затем сопряжение с помощью C преобразует матрицу Pi _: в ее транспонированную форму ^т П _я = CP _я C ⁻¹ . Под действием вращения

${\hbox{ }}^{t}P_{i}\rightarrow \,^{t}S(R)^{-1}\,^{t}P_{i}\,^{t}S(R)=(CS(R)C^{-1})\,^{t}P_{i}(CS(R)C^{-1})^{-1}$

откуда C S ( R ) C ⁻¹ = а ^т С ( Р ) ⁻¹ для некоторого скаляра α. Скалярный коэффициент α можно сделать равным единице путем изменения масштаба S ( R ). В этих обстоятельствах (det S ( R )) ² = 1, как требуется.

В физике матрицу C принято интерпретировать как зарядовое сопряжение .

Спиноры Вейля

Пусть U — элемент алгебры A, определенный формулой

$U={\mathbf {1} }'\otimes \dots \otimes {\mathbf {1} }'$, ( k факторов).

Тогда U сохраняется при вращениях, поэтому, в частности, его разложение в собственном пространстве (которое обязательно соответствует собственным значениям +1 и -1, встречающимся в равных количествах) также стабилизируется вращениями. Как следствие, каждый спинор допускает разложение на собственные векторы относительно U :

ξ = ξ ⁺ + х ⁻

в правый спинор Вейля ξ ⁺ и левый спинор Вейля ξ ⁻ . Поскольку вращения сохраняют собственные пространства U , сами вращения действуют по диагонали как матрицы S ( R ) ⁺ , С ( Р ) ⁻ с помощью

( С ( р )ξ) ⁺ = С ⁺ ( р ) х ⁺ , и

( С ( р )ξ) ⁻ = С ⁻ ( р ) х ⁻ .

Однако это разложение неустойчиво при неправильных вращениях (например, при отражениях в гиперплоскости). Отражение в гиперплоскости приводит к изменению местами двух собственных пространств. Таким образом, существуют два неприводимых представления спина в четных измерениях, заданные левым и правым спинорами Вейля, каждое из которых имеет размерность 2. ^к-1 . существует только одно неприводимое представление штифта (см. Ниже), которое имеет размерность 2. Однако из-за неинвариантности описанного выше разложения собственного пространства при несобственных вращениях ^к .

Странный случай

При квантовании для нечетного числа 2 k измерений +1 матрицы P _i могут быть введены, как указано выше, для i = 1,2,...,2 k , и к системе может быть присоединена следующая матрица:

$P_{n}={\mathbf {1} }'\otimes \dots \otimes {\mathbf {1} }'$, ( k факторов),

так что отношения Клиффорда все еще сохраняются. Это дополнение не оказывает никакого влияния на алгебру A порожденных Pi _{матриц ,} , поскольку в любом случае A остается полной матричной алгеброй той же размерности. Таким образом , A , которое является полным 2 ^к ×2 ^к матричная алгебра не является алгеброй Клиффорда, которая является алгеброй размерности 2 × 2. ^к ×2 ^к . Скорее, A является фактором алгебры Клиффорда по определенному идеалу.

Тем не менее, можно показать, что если R — собственное вращение (ортогональное преобразование детерминанта), то вращение среди координат

$R(P)_{i}=\sum _{j}R_{ij}P_{j}$

снова является автоморфизмом A и, таким образом, вызывает замену базиса

$R(P)_{i}=S(R)P_{i}S(R)^{-1}$

точно так же, как и в четномерном случае. Проективное представление S ( R ) можно снова нормализовать так, что (det S ( R )) ² = 1. В дальнейшем его можно расширить до общих ортогональных преобразований, установив S ( R ) = - S (- R ) в случае det R = -1 (т. е. если R является обращением).

В случае нечетных размерностей невозможно разбить спинор на пару спиноров Вейля, и спиноры образуют неприводимое представление спиновой группы. Как и в четном случае, спиноры можно отождествить с их двойниками, но с одной оговоркой. Отождествление пространства спиноров с его двойственным пространством инвариантно относительно собственных вращений, поэтому эти два пространства спинорно эквивалентны. Однако если принять во внимание также несобственные вращения, то спиновое пространство и двойственное ему пространство не изоморфны. Таким образом, хотя в нечетных измерениях существует только одно представление спина, существует пара неэквивалентных представлений штифтов . Однако этот факт не очевиден из подхода квантования Вейля, и его легче увидеть, рассматривая представления полной алгебры Клиффорда.

См. также

• Гамма-матрицы более высокой размерности
• Алгебра Клиффорда