Декомпозиция кластера

В физике свойство кластерного распада гласит, что эксперименты, проведенные далеко друг от друга, не могут влиять друг на друга. Обычно применяемый к квантовой теории поля , он требует, чтобы значения вакуумного ожидания операторов , локализованных в ограниченных областях, факторизовались всякий раз, когда эти области становятся достаточно удаленными друг от друга. Впервые сформулировано Эйвиндом Вихманном и Джеймсом Крайтоном в 1963 году в контексте S -матрицы . выдвинул гипотезу Стивен Вайнберг , что в пределе низких энергий свойство распада кластеров вместе с лоренц-инвариантностью и квантовой механикой неизбежно приводит к квантовой теории поля. Теория струн удовлетворяет всем трем условиям и, таким образом, представляет собой контрпример против того, что это верно на всех энергетических уровнях.

Формулировка

S матрица - $S_{\beta \alpha }$ описывает амплитуду для процесса с начальным состоянием $\alpha$ переходя в конечное состояние $\beta$. Если начальное и конечное состояния состоят из двух кластеров, причем $\alpha _{1}$ и $\beta _{1}$ близко друг к другу, но далеко от пары $\alpha _{2}$ и $\beta _{2}$, то свойство кластерной декомпозиции требует S факторизации -матрицы

$S_{\beta \alpha }\rightarrow S_{\beta _{1}\alpha _{1}}S_{\beta _{2}\alpha _{2}}$

по мере увеличения расстояния между двумя кластерами. Физическая интерпретация этого состоит в том, что любые два пространственно хорошо разделенных эксперимента $\alpha _{1}\rightarrow \beta _{1}$ и $\alpha _{2}\rightarrow \beta _{2}$ не могут влиять друг на друга. Это условие является фундаментальным для возможности заниматься физикой, не зная состояния всей Вселенной . Путем разложения S -матрицы в сумму произведения связанных S -матрицы элементов $S_{\beta \alpha }^{c}$, которые на пертурбативном уровне эквивалентны связным диаграммам Фейнмана , свойство разложения кластера можно переформулировать как требование, чтобы связанные элементы S -матрицы исчезали всякий раз, когда некоторые из ее кластеров частиц находятся далеко друг от друга.

Эту формулировку позиционного пространства можно также переформулировать в терминах импульсного пространства . S -матрицы ${\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}$. Поскольку его преобразование Фурье -матрицу с позиционным пространством дает связную S , это зависит только от положения через экспоненциальные члены. Поэтому, выполняя равномерный перевод в направлении ${\boldsymbol {a}}$ на подмножестве частиц будет эффективно изменять S -матрицу пространства импульсов как

${\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}\xrightarrow {{\boldsymbol {x}}_{i}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{i}+{\boldsymbol {a}}} e^{i{\boldsymbol {a}}\cdot (\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i})}{\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}.$

По трансляционной инвариантности перевод всех частиц не может изменить S -матрицу, поэтому ${\tilde {S}}_{\beta \alpha }$ должен быть пропорционален сохраняющей импульс дельта-функции $\delta (\Sigma {\boldsymbol {p}})$ чтобы гарантировать, что экспоненциальный множитель перевода равен нулю. Если существует дополнительная дельта-функция лишь подмножества импульсов, соответствующего некоторому кластеру частиц, то этот кластер можно переместить сколь угодно далеко посредством трансляции без изменения S -матрицы, что нарушило бы разложение кластера. Это означает, что в импульсном пространстве это свойство требует, чтобы S -матрица имела только одну дельта-функцию.

Кластерную декомпозицию можно также сформулировать в терминах корреляционных функций , где для любых двух операторов ${\mathcal {O}}_{1}(x)$ и ${\mathcal {O}}_{2}(x)$ локализованы в некоторой области, значения вакуумного ожидания факторизуются, поскольку два оператора становятся отдаленными друг от друга.

$\lim _{|{\boldsymbol {x}}|\rightarrow \infty }\langle {\mathcal {O}}_{1}({\boldsymbol {x}}){\mathcal {O}}_{2}(0)\rangle \rightarrow \langle {\mathcal {O}}_{1}\rangle \langle {\mathcal {O}}_{2}\rangle .$

Эта формулировка позволяет применить это свойство к теориям, в которых отсутствует S -матрица, таким как конформные теории поля . Именно в терминах этих функций Вайтмана это свойство обычно формулируется в аксиоматической квантовой теории поля . В некоторых формулировках, таких как евклидова конструктивная теория поля , она явно вводится как аксиома .

Характеристики

Если теория построена из операторов рождения и уничтожения , то свойство кластерной декомпозиции автоматически сохраняется. В этом можно убедиться, разложив S -матрицу как сумму диаграмм Фейнмана, что позволяет идентифицировать связанные элементы S -матрицы со связанными диаграммами Фейнмана. Вершины возникают всякий раз, когда операторы рождения и уничтожения коммутируют друг друга, оставляя после себя единственную дельта-функцию импульса. В любой связной диаграмме с вершинами V, внутренними линиями I и петлями L IL дельта-функций переходят на фиксацию внутренних импульсов, оставляя дельта-функции V-(IL) незафиксированными. Форма формулы Эйлера гласит, что любой граф с C непересекающимися компонентами связности удовлетворяет условию C = V-I+L. Поскольку связанные элементы S -матрицы соответствуют диаграммам C = 1, они имеют только одну дельта-функцию, и, следовательно, свойство разложения кластера, сформулированное выше в импульсном пространстве в терминах дельта-функций, сохраняется.

Микропричинность, условие локальности , требующее обращения в нуль коммутационных отношений локальных операторов для пространственноподобных разделений , является достаточным условием для того, чтобы S -матрица удовлетворяла кластерному разложению. -матрицы той же цели, В этом смысле кластерная декомпозиция служит для S что и микропричинность для полей , предотвращая причинного влияния между регионами, которые находятся далеко друг от друга. распространение Однако кластерное разложение слабее, чем отсутствие сверхсветовой причинности , поскольку его можно сформулировать и для классических теорий.

Одним из ключевых требований для разложения кластера является то, что оно требует уникального состояния вакуума , причём оно не работает, если вакуумное состояние является смешанным . Скорость факторизации корреляционных функций зависит от спектра теории, где, если она имеет массовый разрыв массы $m$ тогда происходит экспоненциальный спад $\langle \phi (x)\phi (0)\rangle \sim e^{-m|x|}$ а если присутствуют безмассовые частицы , то это может быть так же медленно, как $1/|x|^{2}$.