Матрица рассеяния

Понятие квантовой механики см. в матрице рассеяния .

В многомерной статистике и теории вероятностей матрица рассеяния — это статистика , которая используется для оценки ковариационной матрицы , например, многомерного нормального распределения .

Определение

Учитывая n выборок m -мерных данных, представленных как матрица mxn, $X=[\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}]$, среднее выборочное

${\overline {\mathbf {x} }}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\mathbf {x} _{j}$

где $\mathbf {x} _{j}$ является j -м столбцом $X$.

Матрица рассеяния представляет собой m размером на m. положительную полуопределенную матрицу

$S=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})^{T}=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})\otimes (\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {x} _{j}\mathbf {x} _{j}^{T}\right)-n{\overline {\mathbf {x} }}{\overline {\mathbf {x} }}^{T}$

где $(\cdot )^{T}$ обозначает транспонирование матрицы , а умножение относится к внешнему продукту . Матрицу рассеяния можно выразить более кратко как

$S=X\,C_{n}\,X^{T}$

где $\,C_{n}$ — n размером × n центрирующая матрица .

Приложение

Оценка максимального правдоподобия с учетом n для ковариационной матрицы многомерного нормального распределения выборок может быть выражена как нормализованная матрица разброса.

$C_{ML}={\frac {1}{n}}S.$

Когда столбцы $X$ независимо выбираются из многомерного нормального распределения, тогда $S$ имеет дистрибутив Wishart .

См. также

• Оценка ковариационных матриц
• Пример ковариационной матрицы
• Распределение желаний
• Внешний продукт — $XX^{\top }$или X⊗X является внешним произведением X самого себя.
• Матрица Грамма