Связь (математика)

В геометрии понятие соединения уточняет идею транспортировки локальных геометрических объектов, таких как касательные векторы или тензоры в касательном пространстве, вдоль кривой или семейства кривых параллельным и последовательным образом. В современной геометрии существуют различные виды соединений, в зависимости от того, какие данные нужно транспортировать. Например, аффинная связность , самый элементарный тип связности, дает возможность параллельного переноса касательных векторов на многообразии из одной точки в другую вдоль кривой. Аффинная связь обычно задается в форме ковариантной производной , которая дает возможность брать производные векторных полей по направлению, измеряя отклонение векторного поля от параллельности в заданном направлении.

Связи имеют центральное значение в современной геометрии во многом потому, что они позволяют сравнивать локальную геометрию в одной точке и локальную геометрию в другой точке. Дифференциальная геометрия включает в себя несколько вариаций темы связи, которые делятся на две основные группы: бесконечно малую и локальную теорию. Локальная теория занимается прежде всего понятиями параллельного переноса и голономии . Теория бесконечно малых занимается дифференциацией геометрических данных. Таким образом, ковариантная производная — это способ задания производной векторного поля вдоль другого векторного поля на многообразии. Связность Картана — это способ формулировки некоторых аспектов теории связи с использованием дифференциальных форм и групп Ли . Связность Эресмана — это связь в расслоении или главном расслоении путем указания разрешенных направлений движения поля. Связность Кошуля — это связь, которая определяет производную по направлению для участков векторного расслоения. более общее, чем касательное расслоение.

Связности также приводят к удобным формулировкам геометрических инвариантов , таких как кривизна (см. также тензор кривизны и форма кривизны ) и тензор кручения .

Мотивация: несоответствие координат

Параллельный транспорт (черной стрелки) по сфере. Синие и красные стрелки обозначают параллельный транспорт в разных направлениях, но заканчивающийся в одной и той же нижней правой точке. Тот факт, что они в конечном итоге направлены в разные стороны, является результатом кривизны сферы.

Рассмотрим следующую проблему. Предположим, что касательный вектор к сфере S дан в северном полюсе, и мы должны определить способ последовательного перемещения этого вектора в другие точки сферы: средство параллельной транспортировки . Наивно это можно было бы сделать, используя определенную систему координат . Однако, если не принять надлежащих мер, параллельный транспорт, определенный в одной системе координат, не будет согласовываться с транспортом в другой системе координат. Более подходящая параллельная транспортная система использует симметрию вращающейся сферы. Учитывая вектор на северном полюсе, можно транспортировать этот вектор по кривой, вращая сферу таким образом, чтобы северный полюс перемещался по кривой без осевого качения. Этот последний способ параллельного транспорта представляет собой соединение Леви-Чивита на сфере. Если даны две разные кривые с одной и той же начальной и конечной точкой, а вектор v жестко перемещается вдоль первой кривой путем вращения, результирующий вектор в конечной точке будет равен отличается от вектора, полученного в результате жесткого перемещения v вдоль второй кривой. Это явление отражает кривизну сферы. Простое механическое устройство, которое можно использовать для визуализации параллельного перемещения, — это колесница, указывающая на юг .

Например, предположим, что S — сфера, координаты которой заданы стереографической проекцией . Считайте S состоящим из единичных векторов в R ³. Затем S несет пару участков координат, соответствующих проекциям северного и южного полюсов. Отображения

{\begin{aligned}\varphi _{0}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\\[8pt]\varphi _{1}(x,y)&=\left({\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)\end{aligned}}

охватывают окрестности U ₀ северного полюса и U ₁ южного полюса соответственно. Пусть X , Y , Z — окружающие координаты в R ³. Тогда φ ₀ и φ ₁ имеют обратные

{\begin{aligned}\varphi _{0}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {X}{Z+1}},{\frac {Y}{Z+1}}\right),\\[8pt]\varphi _{1}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {-X}{Z-1}},{\frac {-Y}{Z-1}}\right),\end{aligned}}

так что функция перехода координат является инверсией в круге :

\varphi _{01}(x,y)=\varphi _{0}^{-1}\circ \varphi _{1}(x,y)=\left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)

Теперь представим векторное поле $v$ на S (присвоение касательного вектора каждой точке из S) в локальных координатах. Если P — точка U ₀ ⊂ S , то векторное поле может быть представлено прямой операцией векторного поля v ₀ на R. ² к $\varphi _{0}$ :

v(P)=J_{\varphi _{0}}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)

( 1 )

где $J_{\varphi _{0}}$ обозначает матрицу Якоби функции φ ₀ ( $d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }$ ), а v ₀ = v ₀ ( x , y ) — векторное поле на R ² однозначно определяется v (поскольку продвижение локального диффеоморфизма в любой точке обратимо). Кроме того, на перекрытии координатных карт U ₀ ∩ U ₁ можно представить одно и то же векторное поле относительно координат φ ₁ :

v(P)=J_{\varphi _{1}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).

( 2 )

Чтобы связать компоненты v ₀ и v ₁ , применим цепное правило к тождеству φ ₁ = φ ₀ o φ ₀₁ :

J_{\varphi _{1}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)=J_{\varphi _{0}}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\cdot J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).

Применяя обе части этого матричного уравнения к компонентному вектору v ₁ (φ ₁⁻¹( P )) и вызов ( 1 ) и ( 2 ) дает

{\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)=J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).

( 3 )

Теперь мы подходим к основному вопросу: как переносить векторное поле параллельно вдоль кривой. Предположим, что ( t ) — кривая в S. P Наивно можно считать векторное поле параллельным, если координатные компоненты векторного поля постоянны вдоль кривой. Однако сразу возникает неясность: в какой системе координат эти компоненты должны быть постоянными?

Например, предположим, что v ( P ( t )) имеет постоянные компоненты в системе координат U ₁ . То есть функции v ₁ ( φ ₁⁻¹( P ( t ))) постоянны. Однако применение правила произведения к ( 3 ) и использование того факта, что d v ₁ / dt = 0, дает

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P(t))\right)=\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}\left(P(t)\right)\right).

Но $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right)\right)$ всегда является неособой матрицей (при условии, что кривая P ( t ) не стационарна), поэтому v ₁ и v ₀ никогда не могут быть одновременно постоянными вдоль кривой.

Разрешение

Проблема, отмеченная выше, заключается в том, что обычная производная векторного исчисления по направлению плохо ведет себя при изменении системы координат при применении к компонентам векторных полей. Из-за этого довольно сложно описать, как параллельно переводить векторные поля, если такое понятие вообще имеет какой-либо смысл. Есть два принципиально разных пути решения этой проблемы.

Первый подход состоит в том, чтобы изучить, что требуется для того, чтобы обобщение производной по направлению «вело себя хорошо» при переходах координат. Это тактика ковариантного производного подхода к связям: хорошее поведение приравнивается к ковариантности . Здесь рассматривается модификация производной по направлению некоторым линейным оператором , компоненты которого называются символами Кристоффеля , который не включает производных в самом векторном поле. Производная по направлению D _u v компонентов вектора v в системе координат φ в направлении u заменяется ковариантной производной :

\nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }=D_{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }+\Gamma (\varphi )\{{\mathbf {u} },{\mathbf {v} }\}

где Γ зависит от системы координат φ и билинейна по u и v . В частности, Γ не содержит производных по u или v . В этом подходе Γ должна преобразовываться заданным образом при изменении системы координат φ на другую систему координат. Это преобразование не является тензорным , так как в нем участвует не только первая производная координатного перехода, но и вторая его производная . Указания закона преобразования Γ недостаточно для однозначного определения Γ. Необходимо наложить некоторые другие условия нормализации, обычно в зависимости от типа рассматриваемой геометрии. В римановой геометрии связность Леви -Чивита требует совместимости символов Кристоффеля с метрикой (а также определенного условия симметрии). Благодаря этим нормализациям связь определяется однозначно.

Второй подход заключается в использовании групп Ли , чтобы попытаться уловить некоторый остаток симметрии в пространстве. Это подход Картановских связей . Приведенный выше пример с использованием вращения для задания параллельного переноса векторов на сфере во многом соответствует этому принципу.

Исторический обзор связей

Исторически связи изучались с точки зрения бесконечно малых в римановой геометрии . Бесконечно малое исследование связей началось в некоторой степени с Элвина Кристоффеля . Позже это было более подробно рассмотрено Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита ( Levi-Civita & Ricci 1900 ), которые частично заметили, что соединение в бесконечно малом смысле Кристоффеля также допускает понятие параллельного переноса .

Работа Леви-Чивита была сосредоточена исключительно на рассмотрении связей как своего рода дифференциального оператора, параллельные смещения которого тогда были решениями дифференциальных уравнений . В двадцатом веке Эли Картан разработал новое понятие связи. Он стремился применить методы систем Пфаффа к геометрии Феликса Кляйна в программы Эрлангене . В этих исследованиях он обнаружил, что определенное бесконечно малое понятие связи ( связность Картана ) может быть применено к этим и многим другим геометрии: его концепция связи учитывала наличие кривизны , которая в противном случае отсутствовала бы в классической геометрии Клейна. (См., например, ( Картан 1926 ) и ( Картан 1983 ).) Кроме того, используя динамику Гастона Дарбу , Картан смог обобщить понятие параллельного переноса для своего класса бесконечно малых связей. Это установило еще одну важную нить в теории связей: связь представляет собой определенный вид дифференциальной формы .

Два направления теории связи сохраняются и по сей день: связь как дифференциальный оператор и связь как дифференциальная форма. В 1950 году Жан-Луи Кошуль ( Koszul 1950 ) дал алгебраическую основу для рассмотрения связи как дифференциального оператора посредством связности Кошуля . Связь Кошуля была более общей, чем связь Леви-Чивита, и с ней было легче работать, потому что она, наконец, смогла устранить (или, по крайней мере, скрыть) неуклюжие символы Кристоффеля из формализма связи. Сопутствующие операции параллельного перемещения также имели естественную алгебраическую интерпретацию в терминах связности. Определение Кошула впоследствии было принято большей частью сообщества дифференциальной геометрии, поскольку оно эффективно преобразовало аналитическое соответствие между ковариантным дифференцированием и параллельным переводом в алгебраическое .

В том же году Чарльз Эресманн ( Ehresmann 1950 ), ученик Картана, представил вариацию связи как взгляд на дифференциальную форму в контексте главных расслоений и, в более общем плане, расслоений . Связности Эресмана , строго говоря, не были обобщением связностей Картана. Связи Картана были довольно жестко привязаны к базовой дифференциальной топологии многообразия из-за их связи с методом эквивалентности Картана . Связи Эресмана были скорее прочной основой для рассмотрения основополагающих работ других геометров того времени, таких как Шиинг-Шен Черн , который уже начал отходить от связей Картана для изучения того, что можно было бы назвать калибровочными связями . С точки зрения Эресмана, связь в главном расслоении состоит из спецификации горизонтальных и вертикальных векторных полей на всем пространстве расслоения. В этом случае параллельный перенос представляет собой подъем кривой от основания до кривой в главном расслоении, которая является горизонтальной. Эта точка зрения оказалась особенно ценной при изучении голономия .

Возможные подходы

Достаточно прямой подход состоит в том, чтобы указать, как ковариантная производная действует на элементы модуля векторных полей как дифференциальный оператор . В более общем плане аналогичный подход применяется для соединений в любом векторном расслоении .
Традиционная индексная запись определяет соединение по компонентам; см. символы Кристоффеля . ( Примечание : он имеет три индекса, но не ) является тензором .
В псевдоримановой и римановой геометрии связность Леви -Чивита — это специальная связь, связанная с метрическим тензором .
Это примеры аффинных связей . Существует также концепция проективной связи которой является производная Шварца в комплексном анализе , примером . В более общем смысле, как аффинные, так и проективные связи являются типами связностей Картана .
Используя главные расслоения , связность может быть реализована как в алгебре Ли со значениями дифференциальная форма . См. подключение (основной пучок) .
Подход к соединениям, который напрямую использует понятие транспортировки «данных» (какими бы они ни были), — это соединение Эресмана .
Самый абстрактный подход может быть предложен Александром Гротендиком , где связь Гротендика рассматривается как данные о спуске из бесконечно малых окрестностей диагонали ; см. ( Оссерман 2004 ).

См. также

Ссылки

Леви-Чивита, Т.; Риччи, Г. (1900), «Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения» , Mathematische Annalen , 54 (1–2): 125–201, doi : 10.1007/BF01454201 , S2CID 120009332
Картан, Эли (1924), «О многообразиях с проективной связностью», Bulletin de la Société Mathématique de France , 52 : 205–241, doi : 10.24033/bsmf.1053
Картан, Эли (1926), «Группы голономии обобщенных пространств», Acta Mathematica , 48 (1–2): 1–42, doi : 10.1007/BF02629755
Картан, Эли (1983), Геометрия римановых пространств , Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-34-7
Эресманн, К. (1950), Бесконечно малые связи в дифференцируемом расслоенном пространстве , Коллоквиум по топологии, Брюссель, стр. 29–55
Кошул, Дж. Л. (1950), «Гомологии и когомологии алгебр Ли», Bulletin de la Société Mathématique de France , 78 : 65–127, doi : 10.24033/bsmf.1410
Лумисте, Ю. (2001) [1994], «Связь» , Математическая энциклопедия , EMS Press
Оссерман, Б. (2004), Соединения, кривизна и p-кривизна (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 21 декабря 2006 г. , получено 4 февраля 2007 г.
Манджаротти, Л.; Сарданашвили, Г. (2000), Связи в классической и квантовой теории поля , World Scientific, ISBN 981-02-2013-8 .
Морита, Сигэюки (2001), Геометрия дифференциальных форм , AMS, ISBN 0-8218-1045-6

Внешние ссылки

СМИ, связанные с Связью (математикой), на Викискладе?
Соединения в Атласе многообразия