Подключение (композитный комплект)

Композитные пакеты $Y\to \Sigma \to X$ играют заметную роль в калибровочной теории с нарушением симметрии , например в калибровочной теории гравитации , неавтономной механике , где $X=\mathbb {R}$ – ось времени, например, механика с параметрами, зависящими от времени, и т.д. Существуют важные соотношения между соединениями на пучках волокон. $Y\to X$ , $Y\to \Sigma$ и $\Sigma \to X$ .

Композитный пакет

В дифференциальной геометрии под составным расслоением понимают композицию

\pi :Y\to \Sigma \to X\qquad \qquad (1)

пучков волокон

\pi _{Y\Sigma }:Y\to \Sigma ,\qquad \pi _{\Sigma X}:\Sigma \to X.

Он предоставляется с координатами пакета $(x^{\lambda },\sigma ^{m},y^{i})$ , где $(x^{\lambda },\sigma ^{m})$ координаты расслоения на расслоении $\Sigma \to X$ , т. е. функции перехода координат $\sigma ^{m}$ не зависят от координат $y^{i}$ .

Следующий факт обеспечивает упомянутые выше физические приложения составных расслоений. Учитывая составное расслоение (1), пусть $h$ быть глобальным разделомпучка волокон $\Sigma \to X$ , если таковые имеются. Тогда пучок откатов $Y^{h}=h^{*}Y$ над $X$ является подрасслоением расслоения $Y\to X$ .

Составной основной пакет

Например, пусть $P\to X$ быть главным расслоением со структурной группой Ли $G$ которая сводится к своей замкнутой подгруппе $H$ . Есть составной комплект $P\to P/H\to X$ где $P\to P/H$ представляет собой главный расслоение со структурной группой $H$ и $P/H\to X$ представляет собой пучок волокон, связанный с $P\to X$ . Учитывая глобальный раздел $h$ из $P/H\to X$ , пучок откатов $h^{*}P$ представляет собой сокращенное главное подрасслоение $P$ со структурной группой $H$ . В калибровочной теории разделы $P/H\to X$ рассматриваются как классические поля Хиггса .

Струйные многообразия составного расслоения

Учитывая составной пакет $Y\to \Sigma \to X$ (1) рассмотрим струйные многообразия $J^{1}\Sigma$ , $J_{\Sigma }^{1}Y$ , и $J^{1}Y$ пучков волокон $\Sigma \to X$ , $Y\to \Sigma$ , и $Y\to X$ , соответственно. Им предоставляются адаптированные координаты. $(x^{\lambda },\sigma ^{m},\sigma _{\lambda }^{m})$ , $(x^{\lambda },\sigma ^{m},y^{i},{\widehat {y}}_{\lambda }^{i},y_{m}^{i}),$ , и $(x^{\lambda },\sigma ^{m},y^{i},\sigma _{\lambda }^{m},y_{\lambda }^{i}).$

Есть каноническая карта

J^{1}\Sigma \times _{\Sigma }J_{\Sigma }^{1}Y\to _{Y}J^{1}Y,\qquad y_{\lambda }^{i}=y_{m}^{i}\sigma _{\lambda }^{m}+{\widehat {y}}_{\lambda }^{i}

.

Композитное соединение

Это каноническое отображение определяет отношения между соединениями на расслоениях. $Y\to X$ , $Y\to \Sigma$ и $\Sigma \to X$ . Эти связи задаются соответствующими формами касательных связей.

\gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\gamma _{\lambda }^{m}\partial _{m}+\gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i}),

A_{\Sigma }=dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+A_{\lambda }^{i}\partial _{i})+d\sigma ^{m}\otimes (\partial _{m}+A_{m}^{i}\partial _{i}),

\Gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{m}\partial _{m}).

Соединение $A_{\Sigma }$ на пучке волокон $Y\to \Sigma$ и связь $\Gamma$ на пучке волокон $\Sigma \to X$ определить соединение

\gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{m}\partial _{m}+(A_{\lambda }^{i}+A_{m}^{i}\Gamma _{\lambda }^{m})\partial _{i})

на составном комплекте $Y\to X$ . Это называется композитным соединением . Это уникальное соединение, при котором горизонтальный подъемник $\gamma \tau$ на $Y$ векторного поля $\tau$ на $X$ с помощью композитного соединения $\gamma$ совпадает с составом $A_{\Sigma }(\Gamma \tau )$ горизонтальных подъемников $\tau$ на $\Sigma$ посредством соединения $\Gamma$ а затем на $Y$ посредством соединения $A_{\Sigma }$ .

Вертикальный ковариантный дифференциал

Учитывая составной пакет $Y$ (1), существует следующая точная последовательность векторных расслоений над $Y$ :

0\to V_{\Sigma }Y\to VY\to Y\times _{\Sigma }V\Sigma \to 0,\qquad \qquad (2)

где $V_{\Sigma }Y$ и $V_{\Sigma }^{*}Y$ являются вертикальным касательным расслоением и вертикальным котангенсом расслоения $Y\to \Sigma$ . Каждое соединение $A_{\Sigma }$ на пучке волокон $Y\to \Sigma$ дает расщепление

A_{\Sigma }:TY\supset VY\ni {\dot {y}}^{i}\partial _{i}+{\dot {\sigma }}^{m}\partial _{m}\to ({\dot {y}}^{i}-A_{m}^{i}{\dot {\sigma }}^{m})\partial _{i}

точной последовательности (2). Используя это расщепление, можно построить дифференциальный оператор первого порядка

{\widetilde {D}}:J^{1}Y\to T^{*}X\otimes _{Y}V_{\Sigma }Y,\qquad {\widetilde {D}}=dx^{\lambda }\otimes (y_{\lambda }^{i}-A_{\lambda }^{i}-A_{m}^{i}\sigma _{\lambda }^{m})\partial _{i},

на составном комплекте $Y\to X$ . Он называется вертикальным ковариантным дифференциалом .Он обладает следующим важным свойством.

Позволять $h$ быть частью пучка волокон $\Sigma \to X$ , и пусть $h^{*}Y\subset Y$ быть пучком отката $X$ . Каждое соединение $A_{\Sigma }$ вызывает обратное соединение

A_{h}=dx^{\lambda }\otimes [\partial _{\lambda }+((A_{m}^{i}\circ h)\partial _{\lambda }h^{m}+(A\circ h)_{\lambda }^{i})\partial _{i}]

на $h^{*}Y$ . Тогда ограничение вертикального ковариантного дифференциала ${\widetilde {D}}$ к $J^{1}h^{*}Y\subset J^{1}Y$ совпадает со знакомым ковариантным дифференциалом $D^{A_{h}}$ на $h^{*}Y$ относительно обратного соединения $A_{h}$ .

Ссылки

Сондерс Д. Геометрия струйных пучков. Издательство Кембриджского университета, 1989. ISBN 0-521-36948-7 .
Манджиаротти Л., Г. Сарданашвили Связи в классической и квантовой теории поля. Всемирный научный, 2000. ISBN 981-02-2013-8 .

Внешние ссылки

Сарданашвили Г. Расширенная дифференциальная геометрия для теоретиков. Расслоения, струйные многообразия и теория Лагранжа , Lambert Academic Publishing, 2013. ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886

См. также