Связь (алгебраическая основа)

Геометрия квантовых систем (например, некоммутативная геометрия и супергеометрия ) в основномсформулированные в алгебраических терминах модулей и алгебры . Соединения на модуляхобобщение линейной связности на гладком векторном расслоении $E\to X$ записано как связность Кошуля на $C^{\infty }(X)$-модуль разделов $E\to X$.

Коммутативная алгебра

Позволять $A$ быть коммутативным кольцом и $M$ модуль А - ​ . Существуют разные эквивалентные определениясвязи на $M$.

Первое определение

Если $k\to A$ является кольцевым гомоморфизмом, a $k$-линейная связь – это $k$-линейный морфизм

$\nabla :M\to \Omega _{A/k}^{1}\otimes _{A}M$

которое удовлетворяет тождеству

$\nabla (am)=da\otimes m+a\nabla m$

Связь расширяется, для всех $p\geq 0$ на уникальную карту

$\nabla :\Omega _{A/k}^{p}\otimes _{A}M\to \Omega _{A/k}^{p+1}\otimes _{A}M$

удовлетворяющий $\nabla (\omega \otimes f)=d\omega \otimes f+(-1)^{p}\omega \wedge \nabla f$. Связность называется интегрируемой, если $\nabla \circ \nabla =0$или, что то же самое, если кривизна $\nabla ^{2}:M\to \Omega _{A/k}^{2}\otimes M$ исчезает.

Второе определение

Позволять $D(A)$ — модуль дифференцирований кольца $A$. Аподключение на A -модуле $M$ определяетсякак морфизм A -модуля

$\nabla :D(A)\to \mathrm {Diff} _{1}(M,M);u\mapsto \nabla _{u}$

первого порядка такие, что дифференциальные операторы $\nabla _{u}$ на $M$ подчиняться правилу Лейбница

$\nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in M.$

Связности на модуле над коммутативным кольцом существуют всегда.

Кривизна соединения $\nabla$ определяется какдифференциальный оператор нулевого порядка

$R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'}]-\nabla _{[u,u']}\,$

на модуле $M$ для всех $u,u'\in D(A)$.

Если $E\to X$ является векторным расслоением, существует взаимно однозначныйсоответствие между линейнымисвязи $\Gamma$ на $E\to X$ исвязи $\nabla$ на $C^{\infty }(X)$-модуль разделов $E\to X$. Строго говоря, $\nabla$ соответствуетковариантный дифференциал ​соединение включено $E\to X$.

Градуированная коммутативная алгебра

Понятие связности модулей над коммутативными кольцаминепосредственно распространяется на модули по градуированномукоммутативная алгебра . Это случай суперсвязности в супергеометрии ​ градуированные многообразия и супервекторные расслоения .Суперсвязи существуют всегда.

Некоммутативная алгебра

Если $A$ — некоммутативное кольцо, связности слеваи правые A -модули определяются аналогично модулям намодули над коммутативными кольцами. Однакоэти связи не обязательно должны существовать.

В отличие от соединений на левом и правом модулях, здесь имеетсяпроблема как определить соединение на R - S - бимодуль над некоммутативными кольцами Р и С. ​Есть разные определениятакого соединения. Упомянем один из них. Соединение на R - S -бимодуль $P$ определяется как бимодульморфизм

$\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P)$

подчиняющееся правилу Лейбница

$\nabla _{u}(apb)=u(a)pb+a\nabla _{u}(p)b+apu(b),\quad a\in R,\quad b\in S,\quad p\in P.$

См. также

• Соединение (векторный пакет)
• Связь (математика)
• Некоммутативная геометрия
• Супергеометрия
• Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

Ссылки

• Кошул, Жан-Луи (1950). «Гомологии и когомологии алгебр Ли» (PDF) . Бюллетень Математического общества Франции . 78 :65–127. дои : 10.24033/bsmf.1410 .
• Кошул, Дж. Л. (1986). Лекции по пучкам волокон и дифференциальной геометрии (Университет Тата, Бомбей, 1960) . doi : 10.1007/978-3-662-02503-1 (неактивен 26 апреля 2024 г.). ISBN  978-3-540-12876-2 . S2CID   51020097 . Збл   0244.53026 . {{cite book}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на апрель 2024 г. ( ссылка )
• Барточчи, Клаудио; Бруззо, Уго; Эрнандес-Руиперес, Даниэль (1991). Геометрия супермногообразий . дои : 10.1007/978-94-011-3504-7 . ISBN  978-94-010-5550-5 .
• Дюбуа-Виолетт, Мишель; Михор, Питер В. (1996). «Связность центральных бимодулей в некоммутативной дифференциальной геометрии». Журнал геометрии и физики . 20 (2–3): 218–232. arXiv : q-alg/9503020 . дои : 10.1016/0393-0440(95)00057-7 . S2CID   15994413 .
• Ланди, Джованни (1997). Введение в некоммутативные пространства и их геометрию . Конспект лекций по физике. Том. 51. arXiv : hep-th/9701078 . дои : 10.1007/3-540-14949-X . ISBN  978-3-540-63509-3 . S2CID   14986502 .
• Манджаротти, Л.; Сарданашвили, Г. (2000). Связи в классической и квантовой теории поля . дои : 10.1142/2524 . ISBN  978-981-02-2013-6 .

Внешние ссылки

• Сарданашвили, Г. (2009). «Лекции по дифференциальной геометрии модулей и колец». arXiv : 0910.1515 [ math-ph ].