Архимед

Архимед Сиракузский
Архимед Сиракузский
Архимед
	Архимед Задумчивый ; Доменико Фетти (1620 г.)
Рожденный	в. 287 г. до н.э. ; Сиракузы , Сицилия
Умер	в. 212 г. до н.э. (около 75 лет) ; Сиракузы, Сицилия
Известный	показывать Список
	Научная карьера
Поля	Математика ; Физика ; Астрономия ; Механика ; Инженерное дело

Архимед Сиракузский ^[а] ( / ˌ ɑːr k ɪ ˈ m iː d iː z / AR -kim- EE -deez ; ^[2] в. 287 – ок. 212 г. до н. э. ) — древнегреческий математик , физик , инженер , астроном и изобретатель из древнего города Сиракузы на Сицилии . ^[3]Хотя мало подробностей его жизни известно, он считается одним из ведущих ученых классической античности . Считается величайшим математиком древней истории и одним из величайших математиков всех времен. ^[4] Архимед предвосхитил современное исчисление и анализ, применив концепцию бесконечно малого и метод исчерпывания для вывода и строгого доказательства ряда геометрических теорем . ^[5]^[6] К ним относятся площадь круга , площадь поверхности и объём сферы . , площадь эллипса , площадь под параболой , объём сегмента параболоида вращения , объём сегмента гиперболоида вращения , и площадь спирали . ^[7]^[8]

Другие математические достижения Архимеда включают получение приближения числа Пи , определение и исследование спирали Архимеда , а также разработку системы, использующей возведение в степень для выражения очень больших чисел . Он также был одним из первых, кто применил математику к физическим явлениям , работая над статикой и гидростатикой . Достижения Архимеда в этой области включают доказательство закона рычага , ^[9] широкое использование понятия центра тяжести , ^[10] и провозглашение закона плавучести , известного как принцип Архимеда . ^[11] Ему также приписывают разработку инновационных машин , таких как винтовой насос , составные шкивы и оборонительные военные машины для защиты его родных Сиракуз от вторжения.

Архимед погиб во время осады Сиракуз , когда он был убит римским солдатом, несмотря на приказ не причинять ему вреда. Цицерон описывает посещение гробницы Архимеда, увенчанной сферой и цилиндром , которые Архимед просил разместить там, чтобы символизировать его математические открытия.

В отличие от своих изобретений, математические сочинения Архимеда были мало известны в древности. Математики из Александрии читали и цитировали его, но первая исчерпывающая компиляция была составлена только ок. 530 г. н. э. Исидором Милетским в византийском Константинополе к сочинениям Архимеда , а комментарии Евтоция в VI веке впервые открыли их для более широкого круга читателей. Относительно небольшое количество экземпляров письменных работ Архимеда, сохранившихся в Средние века , были влиятельным источником идей для ученых в эпоху Возрождения , а затем и в 17 веке . ^[12]^[13] в то время как открытие в 1906 году ранее утерянных работ Архимеда в «Архимедовом Палимпсесте» дало новое понимание того, как он получил математические результаты. ^[14]^[15]^[16]^[17]

биография

Архимед родился ок. 287 г. до н. э. в морском портовом городе Сиракузы на Сицилии , в то время самоуправляющейся колонии в Великой Греции . Дата рождения основана на утверждении византийского греческого учёного Иоанна Цецеса о том, что Архимед прожил 75 лет до своей смерти в 212 году до нашей эры. ^[8] В «Счетчике песков» Архимед называет имя своего отца Фидием, астрономом, о котором больше ничего не известно. ^[18]Биографию Архимеда написал его друг Гераклид, но этот труд утерян, оставив подробности его жизни неясными. Неизвестно, например, был ли он когда-либо женат, имел ли он детей или посещал ли он когда-либо Александрию (Египет) в юности. ^[19] Из его сохранившихся письменных работ ясно, что он поддерживал коллегиальные отношения с базирующимися там учеными, включая своего друга Конона Самосского и главного библиотекаря Эратосфена Киренского . ^[б]

Стандартные версии жизни Архимеда были написаны греческими и римскими историками спустя много времени после его смерти. Самое раннее упоминание об Архимеде встречается в «Историях» ( Полибия ок . 200–118 до н. э.), написанных примерно через 70 лет после его смерти. Он проливает мало света на Архимеда как на личность и фокусируется на военных машинах, которые, как говорят, он построил для защиты города от римлян. ^[20]Полибий отмечает, как во время Второй Пунической войны Сиракузы перешли от Рима к Карфагену , что привело к военной кампании под командованием Марка Клавдия Марцелла и Аппия Клавдия Пульхера , которые осадили город с 213 по 212 год до нашей эры. Он отмечает, что римляне недооценили обороноспособность Сиракуз, и упоминает несколько машин, сконструированных Архимедом, в том числе улучшенные катапульты , машины, похожие на краны, которые можно было вращать по дуге, и другие метатели камней . Хотя римляне в конечном итоге захватили город, они понесли значительные потери из-за изобретательности Архимеда. ^[21]

Цицерон (106–43 до н. э.) упоминает Архимеда в некоторых своих произведениях. Будучи квестором на Сицилии, Цицерон обнаружил возле Агриджентинских ворот в Сиракузах то, что предположительно было могилой Архимеда, в запущенном состоянии и заросшее кустарником. Цицерон очистил гробницу и смог увидеть резьбу и прочитать некоторые стихи, добавленные в качестве надписи. В гробнице находилась скульптура, иллюстрирующая любимое математическое доказательство Архимеда о том, что объем и площадь поверхности сферы составляют две трети объема окружающего цилиндра, включая его основания. ^[22]^[23] Он также упоминает, что Марцелл привез в Рим два планетария, построенных Архимедом. ^[24] Римский историк Ливий (59 г. до н. э. – 17 г. н. э.) пересказывает историю Полибия о взятии Сиракуз и роль Архимеда в нем. ^[20]

Плутарх (45–119 гг. н.э.) писал в своих «Параллельных жизнеописаниях» , что Архимед был родственником царя Гиерона II , правителя Сиракуз. ^[26]Он также приводит как минимум два рассказа о том, как Архимед умер после взятия города. Согласно самой популярной версии, Архимед рассматривал математическую диаграмму, когда город был захвачен. Римский солдат приказал ему прийти и встретиться с Марцеллом, но он отказался, сказав, что ему пора закончить работу над проблемой. Это разозлило солдата, который убил Архимеда своим мечом. В другой истории Архимед носил математические инструменты, прежде чем его убили, потому что солдат посчитал их ценными предметами. Сообщается, что Марцелл был возмущен смертью Архимеда, поскольку считал его ценным научным достоянием (он называл Архимеда «геометрическим Бриареем ») и приказал не причинять ему вреда. ^[27]^[28]

Последние слова, приписываемые Архимеду, — « Не тревожь мои круги » ( лат . « Noli turbare circulos meos »; греч. Katharevousa , «μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε»), отсылка к математическому рисунку, который он предположительно изучал, когда его беспокоили римский солдат. Надежных свидетельств того, что эти слова произнес Архимед, нет, и в рассказе Плутарха они не фигурируют. Похожая цитата встречается в работе Валериуса Максима (ок. 30 г. н.э.), который написал в «Памятных деяниях и высказываниях» : « ... sed Protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum обеспокоить' » («»... . но, защищая пыль руками, сказал: «Умоляю вас, не беспокойте это » »). ^[20]

Открытия и изобретения

Принцип Архимеда

Измерение объема путем смещения (а) до и (б) после погружения объекта в воду. Величина подъема жидкости в цилиндре (∆V) равна объему объекта.

Самый известный анекдот об Архимеде рассказывает о том, как он изобрел метод определения объема предмета неправильной формы. По словам Витрувия , корона для храма была изготовлена для короля Сиракуз Гиерона II , который предоставил для использования чистое золото. Корона, вероятно, была выполнена в форме вотивного венка . ^[29] Архимеду было поручено определить, было ли ювелиром заменено серебро, не повредив корону, поэтому он не смог расплавить его в тело правильной формы, чтобы вычислить его плотность . ^[30]

В этом рассказе Архимед заметил во время принятия ванны, что уровень воды в ванне поднялся, когда он вошел, и понял, что этот эффект можно использовать для определения объема золотой короны . Архимед был так взволнован этим открытием, что вышел на улицу обнаженным, забыв одеться, с криком « Эврика !» ( Греческий : «εὕρηκα , heúrēka !, букв. « Я нашел [это]! » ). Для практических целей вода несжимаема, ^[31]таким образом, погруженная корона вытеснит количество воды, равное ее собственному объему. Разделив массу кроны на объем вытесненной воды, можно было получить ее плотность; если бы были добавлены более дешевые и менее плотные металлы, плотность была бы ниже, чем у золота. Архимед обнаружил, что именно это и произошло, доказав, что сюда было примешано серебро. ^[29]^[30]

История о золотой короне нигде не встречается в известных произведениях Архимеда. Практичность описанного метода была поставлена под сомнение из-за чрезвычайной точности, которая потребуется для измерения вытеснения воды . ^[32] Вместо этого Архимед, возможно, искал решение, которое применяло бы принцип гидростатики , известный как принцип Архимеда , найденный в его трактате « О плавающих телах »: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила , равная весу жидкости, которую оно вытесняет. ^[33]Используя этот принцип, можно было бы сравнить плотность коронки с плотностью чистого золота, уравновесив ее на весах с эталонным образцом чистого золота того же веса, а затем погрузив аппарат в воду. Разница в плотности между двумя образцами приведет к соответствующему наклону весов. ^[11] Галилео Галилей , изобретший гидростатические весы в 1586 году, вдохновленный работой Архимеда, считал «вероятным, что этот метод тот же, которому следовал Архимед, поскольку, помимо того, что он очень точен, он основан на доказательствах, найденных самим Архимедом». ^[34]^[35]

Закон рычага

Хотя Архимед не изобрел рычаг , он дал математическое доказательство принципа, используемого в его работе « О равновесии плоскостей» . ^[36] Более ранние описания принципа рычага встречаются в сочинении Евклида и в « Проблемах механики» , принадлежащих перипатетической школе последователей Аристотеля , авторство которых некоторые приписывают Архиту . ^[37]^[38]

Есть несколько, часто противоречивых, сообщений о подвигах Архимеда с использованием рычага для поднятия очень тяжелых предметов. Плутарх описывает, как Архимед разработал системы блоков и талей , позволяющие морякам использовать принцип рычага для подъема предметов, которые в противном случае были бы слишком тяжелыми для перемещения. ^[39] По словам Паппа Александрийского , работа Архимеда над рычагами и его понимание механического преимущества заставили его заметить: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю» ( греч . δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω ) . ^[40] Позже Олимпиодор приписывал такое же хвастовство изобретению Архимедом барулка , своего рода лебедки , а не рычага. ^[41]

Винт Архимеда

Большая часть инженерной работы Архимеда, вероятно, возникла в результате удовлетворения потребностей его родного города Сиракузы . Афиней Навкратисский цитирует некоего Мошиона в описании того, как царь Гиерон II заказал проект огромного корабля « Сиракузия» , который можно было использовать для роскошных путешествий, перевозки припасов и для демонстрации военно-морской мощи . ^[42] Говорят, что « Сиракузия » была самым большим кораблем, построенным в классической древности , и, согласно рассказу Мошиона, ее спустил на воду Архимед. ^[41] Корабль предположительно был способен перевозить 600 человек и включал в себя садовые украшения, спортивный зал и храм, посвященный богине Афродите . ^[43] В отчете также упоминается, что для удаления возможной утечки воды через корпус Архимедом было разработано устройство с вращающейся винтовой лопастью внутри цилиндра.

Винт Архимеда вращался вручную, а также мог использоваться для перекачки воды из низменного водоема в оросительные каналы. Шнек до сих пор используется для перекачивания жидкостей и гранулированных твердых веществ, таких как уголь и зерно. Описанное Витрувием устройство Архимеда, возможно, было усовершенствованием винтового насоса, который использовался для орошения висячих садов Вавилона . ^[44]^[45] Первым в мире морским пароходом с винтовым гребным винтом был SS Archimedes , спущенный на воду в 1839 году и названный в честь Архимеда и его работ над винтом. ^[46]

Коготь Архимеда

Говорят, что Архимед разработал коготь как оружие для защиты города Сиракузы. Также известен как " «корабельный шейкер », клешня представляла собой похожую на кран руку, к которой подвешивался большой металлический крюк . Когда коготь опускали на атакующий корабль, рука поднималась вверх, поднимая корабль из воды и, возможно, затопляя его. . ^[47]

Были проведены современные эксперименты по проверке возможности создания клешни, а в 2005 году в телевизионном документальном фильме под названием « Супероружие древнего мира» была построена версия клешни и сделан вывод, что это работоспособное устройство. ^[48]Архимеду также приписывают улучшение мощности и точности катапульты , а также изобретение одометра во время Первой Пунической войны . Одометр описывался как тележка с зубчатым механизмом, которая сбрасывала шарик в контейнер после каждой пройденной мили. ^[49]

Тепловой луч

Архимед, возможно, написал работу о зеркалах под названием «Катоптрика» . ^[с]а более поздние авторы полагали, что он, возможно, использовал зеркала, действовавшие вместе как параболический отражатель , чтобы сжечь корабли, атакующие Сиракузы. Лукиан писал во втором веке нашей эры, что во время осады Сиракуз Архимед уничтожал огнем вражеские корабли. Почти четыреста лет спустя Антемий Тралльский несколько нерешительно упоминает, что Архимед мог использовать зажигательные стекла в качестве оружия. ^[50]

Часто называют « Тепловой луч Архимеда », предполагаемое зеркальное устройство, фокусировало солнечный свет на приближающиеся корабли, предположительно вызывая их возгорание. В современную эпоху были построены аналогичные устройства, которые можно назвать гелиостатом или солнечной печью . ^[51]

Предполагаемый тепловой луч Архимеда был предметом постоянных дебатов о его достоверности со времен Возрождения . Рене Декарт отверг его как ложный, а современные исследователи пытались воссоздать эффект, используя только те средства, которые были бы доступны Архимеду, в основном с отрицательными результатами. ^[52]^[53] Было высказано предположение, что для фокусировки солнечного света на корабле можно было использовать большое количество тщательно отполированных бронзовых или медных щитов, действовавших как зеркала, но общий эффект был бы ослеплением, ослеплением или отвлечением экипажа корабля, а не пожаром. . ^[54]

Астрономические инструменты

Архимед обсуждает астрономические измерения Земли, Солнца и Луны, а также Аристарха гелиоцентрическую модель Вселенной в «Песочном счетчике» . Без использования тригонометрии или таблицы хорд Архимед определяет видимый диаметр Солнца, сначала описывая процедуру и инструмент, используемый для проведения наблюдений (прямой стержень с колышками или канавками), ^[55]^[56] применяя поправочные коэффициенты к этим измерениям и, наконец, выдавая результат в виде верхней и нижней границ для учета ошибки наблюдения. ^[18] Птолемей , цитируя Гиппарха, также ссылается на наблюдения Архимеда о солнцестоянии в «Альмагесте» . Это сделало бы Архимеда первым известным греком, зафиксировавшим несколько дат и времени солнцестояния в последующие годы. ^[19]

В книге Цицерона « De re publica» изображен вымышленный разговор, произошедший в 129 г. до н.э. что после захвата Сиракуз во время Второй Пунической войны Говорят , Марцелл привез в Рим два механизма, построенных Архимедом и показавших движение Солнца, Луны и пяти планет. Цицерон также упоминает аналогичные механизмы, разработанные Фалесом Милетским и Евдоксом Книдским . В диалоге говорится, что Марцелл оставил одно из устройств в качестве своей единственной личной добычи из Сиракуз, а другое подарил Храму Добродетели в Риме. По словам Цицерона, механизм Марцелла был продемонстрирован Гаем Сульпицием Галлом Луцию Фуриусу Филу , который описал его так: ^[57]^[58]

Когда Галл переместил эту сферу, случилось так, что Солнце и Луна успели совершить в этом воздухе столько оборотов, сколько было дней на самом небе, от чего такое же отклонение произошло и в сфере Солнца на небе, и Луны. затем упал на ту цель, которая была тенью земли с солнцем сбоку.

Когда Галл переместил земной шар, случилось так, что Луна следовала за Солнцем на этом бронзовом приспособлении столько же оборотов, сколько и на самом небе, из-за чего и на небе солнечный глобус стал испытывать такое же затмение, и Луна пришла тогда в то положение, которое было его тенью на Земле, когда Солнце находилось на прямой линии.

Это описание небольшого планетария . Папп Александрийский сообщает о ныне утерянном трактате Архимеда, посвященном конструкции этих механизмов, под названием « О изготовлении сфер» . ^[24]^[59]Современные исследования в этой области были сосредоточены на Антикитерском механизме , еще одном устройстве, построенном ок. 100 г. до н.э., вероятно, был создан с той же целью. ^[60] Создание механизмов такого типа потребовало бы глубоких знаний в области дифференциальных передач . ^[61] Когда-то считалось, что это выходит за рамки технологий, доступных в древние времена, но открытие Антикитерского механизма в 1902 году подтвердило, что устройства такого типа были известны древним грекам. ^[62]^[63]

Математика

Хотя его часто считают разработчиком механических устройств, Архимед также внес вклад в область математики . Плутарх писал, что Архимед «вложил всю свою привязанность и амбиции в те более чистые размышления, где не может быть никаких упоминаний о вульгарных жизненных потребностях». ^[27] хотя некоторые ученые считают, что это может быть неверная характеристика. ^[64]^[65]^[66]

Метод истощения

Архимед вычисляет сторону 12-угольника по стороне шестиугольника и для каждого последующего удвоения сторон правильного многоугольника.

Архимед смог использовать неделимые (предшественник бесконечно малых ) способом, похожим на современное интегральное исчисление . ^[5]Посредством доказательства от противного ( reductio ad абсурдум ) он мог давать ответы на задачи с произвольной степенью точности, указывая при этом пределы, в которых лежит ответ. Этот метод известен как метод исчерпывания , и он использовал его для аппроксимации площадей фигур и значения π .

В «Измерении круга» он сделал это, нарисовав правильный шестиугольник большего размера снаружи круга , затем правильный шестиугольник меньшего размера внутри круга и постепенно удваивая количество сторон каждого правильного многоугольника , вычисляя длину стороны каждого многоугольника в каждом шаг. По мере увеличения количества сторон получается более точное приближение к кругу. После четырех таких шагов, когда каждый многоугольник имел по 96 сторон, он смог определить, что значение π лежит в пределах 3 1/7 ( ок . 3,1429 ) и 3 10/71 ), что (ок. 3,1408 соответствует его фактическому значению примерно 3,1416. ^[67] Он также доказал, что площадь круга равна π, умноженному на квадрат радиуса круга ( ${\textstyle \pi r^{2}}$ ).

Архимедово свойство

В книге «О сфере и цилиндре» Архимед постулирует, что любая величина, сложенная сама с собой достаточное количество раз, превысит любую данную величину. Сегодня это известно как архимедово свойство действительных чисел. ^[68]

Архимед считает, что значение квадратного корня из 3 лежит между 265/153 1,7320261 ( приблизительно ) и 1351/780 измерении в (приблизительно 1,7320512) круга . Фактическое значение составляет примерно 1,7320508, что делает эту оценку очень точной. Он представил этот результат, не предложив никаких объяснений того, как он его получил. Этот аспект работы Архимеда заставил Джона Уоллиса заметить, что он «как будто намеренно скрыл следы своего исследования, как если бы он завидовал потомству секретом своего метода исследования, в то время как он хотел вымогать от них согласие на его результаты». ^[69] Возможно, он использовал итерационную процедуру для расчета этих значений. ^[70]^[71]

Бесконечная серия

В квадратуре параболы Архимед доказал, что площадь, ограниченная параболой и прямой линией, равна 4/3 В раза больше площади соответствующего вписанного треугольника , как показано на рисунке справа. Он выразил решение задачи в виде бесконечной геометрической прогрессии с общим соотношением 1 / 4 :

\sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}.\;

Если первый член этого ряда — это площадь треугольника, то второй — это сумма площадей двух треугольников, основаниями которых являются две меньшие секущие линии , а третья вершина — там, где проходит линия, параллельная оси параболы. и то, что проходит через середину основания, пересекает параболу и так далее. В этом доказательстве используется вариация ряда 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·, сумма которого равна 1 / 3 .

Мириады мириад

В «Счетчике песка» Архимед намеревался вычислить число, большее, чем песчинки, необходимые для заполнения Вселенной. При этом он поставил под сомнение представление о том, что количество песчинок слишком велико, чтобы их можно было сосчитать. Он написал:

Некоторые, царь Гело , думают, что количество песка бесконечно; Под песком я подразумеваю не только тот, что есть в окрестностях Сиракуз и остальной Сицилии, но также и тот, который можно найти в каждой области, как населенной, так и необитаемой.

Чтобы решить эту проблему, Архимед разработал систему счета, основанную на бесчисленном числе . Само слово происходит от греческого μυριάς , муриас , означающего число 10 000. Он предложил систему счисления, использующую степени мириад мириад (100 миллионов, т. е. 10 000 х 10 000), и пришел к выводу, что число песчинок, необходимых для заполнения Вселенной, будет 8 вигинтиллионов , или 8 × 10. ⁶³. ^[72]

Сочинения

Произведения Архимеда были написаны на дорическом греческом языке — диалекте древних Сиракуз. ^[73]Многие письменные произведения Архимеда не сохранились или сохранились лишь в виде сильно отредактированных фрагментов; Известно, что по крайней мере семь его трактатов существовали благодаря ссылкам других авторов. ^[8] Папп Александрийский упоминает «О изготовлении сфер» и еще одну работу о многогранниках , а Теон Александрийский цитирует замечание о преломлении из ныне утерянной «Катоптрики» . ^[с]

Архимед сделал свою работу известной через переписку с математиками в Александрии . Сочинения Архимеда были впервые собраны византийским греческим архитектором Исидором Милетским ( ок. 530 г. н.э. ), а комментарии к произведениям Архимеда, написанные Евтоцием в шестом веке нашей эры, помогли привлечь к его работам более широкую аудиторию. Работа Архимеда была переведена на арабский язык Табитом ибн Куррой (836–901 гг. Н.э.), а на латынь через арабский язык Герардом Кремонским (ок. 1114–1187). Прямые переводы с греческого на латынь были позже выполнены Вильгельмом Мербеке (ок. 1215–1286) и Якобусом Кремоненсисом (ок. 1400–1453). ^[74]^[75]

В эпоху Возрождения в 1544 году Иоганном Хервагеном было опубликовано Editio Princeps (первое издание) в Базеле с произведениями Архимеда на греческом и латинском языках. ^[76]

Сохранившиеся произведения

Нижеследующее упорядочено в хронологическом порядке на основе новых терминологических и исторических критериев, установленных Кнорром (1978) и Сато (1986). ^[77]^[78]

Измерение круга

Это небольшая работа, состоящая из трёх предложений. Оно написано в форме переписки с Досифеем Пелусийским, который был учеником Конона Самосского . В предложении II Архимед дает приближение значения pi ( $π$ ), показывая, что оно больше, чем 223/71 ( 3,1408 менее ...) и 22 / 7 (3.1428...).

Песчаный счетчик

В этом трактате, также известном как «Псаммиты» , Архимед находит число, большее, чем песчинки, необходимые для заполнения Вселенной. В этой книге упоминается гелиоцентрическая теория Солнечной системы , предложенная Аристархом Самосским , а также современные представления о размерах Земли и расстоянии между различными небесными телами . Используя систему чисел, основанную на степенях мириад , Архимед заключает, что количество песчинок, необходимое для заполнения Вселенной, равно 8 × 10. ⁶³в современных обозначениях. Во вступительном письме говорится, что отцом Архимеда был астроном по имени Фидий. «Счетчик песка» — единственная сохранившаяся работа, в которой Архимед излагает свои взгляды на астрономию. ^[79]

О равновесии плоскостей

состоит из двух книг «О равновесии плоскостей» : первая содержит семь постулатов и пятнадцать предложений , а вторая книга содержит десять предложений. В первой книге Архимед доказывает закон рычага , который гласит:

Величины находятся в равновесии на расстояниях, обратно пропорциональных их весам.

Архимед использует полученные принципы для расчета площадей и центров тяжести различных геометрических фигур, включая треугольники , параллелограммы и параболы . ^[80]

Квадратура параболы

В этом труде из 24 положений, адресованных Досифею, Архимед двумя методами доказывает, что площадь, ограниченная параболой и прямой, составляет 4/3 площади треугольника с равными основанием и высотой. Он достигает этого в одном из своих доказательств, вычисляя значение геометрической прогрессии , сумма которой равна бесконечности с отношением 1/4.

О сфере и цилиндре

В этом двухтомном трактате, адресованном Досифею, Архимед получает результат, которым он больше всего гордился, а именно соотношение между сферой и описанным цилиндром одинаковой высоты и диаметра . Объем 4 / 3 $π$ $р$ ³ для сферы и 2 $π$ $r$ ³для цилиндра. Площадь поверхности 4 $π$ $r$ ² для сферы и 6 $π$ $r$ ² для цилиндра (включая два его основания), где $r$ — радиусы сферы и цилиндра.

По спирали

Этот труд из 28 предложений также адресован Досифею. Трактат дает определение тому, что сейчас называется архимедовой спиралью . Это геометрическое положение точек, соответствующих местоположениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью . Эквивалентно, в современных полярных координатах ( $r$ , $θ$ ) это можно описать уравнением $\,r=a+b\theta$ с действительными числами $a$ и $b$ .

Это ранний пример механической кривой (кривой, очерченной движущейся точкой ), рассмотренной греческим математиком.

О коноидах и сфероидах

Это произведение в 32 предложениях, адресованное Досифею. В этом трактате Архимед вычисляет площади и объемы сечений конусов , сфер и параболоидов.

О плавающих телах

Есть две книги « О плавающих телах» . В первой книге Архимед излагает закон равновесия жидкостей и доказывает, что вода примет сферическую форму вокруг центра тяжести. Возможно, это была попытка объяснить теорию современных греческих астрономов, таких как Эратосфен, о том, что Земля круглая. Жидкости, описанные Архимедом, не являются самогравитирующими, поскольку он предполагает существование точки, к которой все предметы падают, чтобы получить сферическую форму. принцип плавучести Архимеда , сформулированный следующим образом: В этой работе изложен

Любое тело, полностью или частично погруженное в жидкость, испытывает выталкивание, равное весу вытесненной жидкости, но противоположное по направлению.

Во второй части он рассчитывает положения равновесия сечений параболоидов. Вероятно, это была идеализация форм корпусов кораблей. Некоторые из его секций плавают: основание находится под водой, а вершина над водой, подобно тому, как плавают айсберги.

Остомахион

Также известный как Локулус Архимеда или Ящик Архимеда . ^[81]это головоломка, подобная Танграму , и трактат, описывающий ее, был найден в более полной форме в Палимпсесте Архимеда . Архимед вычисляет площади 14 частей, которые можно собрать в квадрат . Ревиэль Нетц из Стэнфордского университета в 2003 году утверждал, что Архимед пытался определить, сколькими способами можно собрать фигуры в форму квадрата. Нетц подсчитал, что из фигур можно составить квадрат 17 152 способами. ^[82] Число расстановок равно 536, если исключить решения, эквивалентные по вращению и отражению. ^[83] Эта головоломка представляет собой пример ранней задачи комбинаторики .

Происхождение названия головоломки неясно, и было высказано предположение, что оно взято от древнегреческого слова, означающего «горло» или «пищевод», gastos ( στόμαχος ). ^[84] Авзоний называет головоломку «Остомахион» , греческое сложное слово, образованное от корней остеон ( ὀστέον , «кость») и махе ( μάχη , «борьба»). ^[81]

Проблема со скотом

Готхольд Эфраим Лессинг обнаружил это произведение в греческой рукописи, состоящей из 44 строк стихотворения, в библиотеке Герцога Августа в Вольфенбюттеле , Германия, в 1773 году. Оно адресовано Эратосфену и математикам в Александрии. Архимед предлагает им подсчитать количество крупного рогатого скота в Солнечном Стаде , решив одновременно ряд диофантовых уравнений . Существует более сложная версия задачи, в которой некоторые ответы должны быть квадратными числами . А. Амтор первым решил эту версию задачи ^[85] в 1880 году, и ответ — очень большое число , примерно 7,760271 × 10. ^{206 544}. ^[86]

Метод механических теорем

Этот трактат считался утерянным до открытия « Палимпсеста Архимеда» в 1906 году. В этой работе Архимед использует неделимые числа , ^[5]^[6]и показывает, как разбиение фигуры на бесконечное число бесконечно малых частей можно использовать для определения ее площади или объема. Возможно, он считал, что этому методу не хватает формальной строгости, поэтому он также использовал метод исчерпывания для получения результатов . Как и «Проблема о скоте» , «Метод механических теорем» был написан в форме письма Эратосфену в Александрию .

Апокрифические произведения

Архимеда Книга лемм или Liber Assumptorum представляет собой трактат с 15 положениями о природе кругов. Самая ранняя известная копия текста находится на арабском языке . Т.Л. Хит и Маршалл Кладжетт утверждали, что оно не могло быть написано Архимедом в его нынешней форме, поскольку оно цитирует Архимеда, предполагая внесение изменений другим автором. Леммы . могут быть основаны на более ранней работе Архимеда, которая сейчас утеряна ^[87]

Утверждалось также, что формула вычисления площади треугольника по длине его сторон была известна Архимеду. ^[д] хотя его первое появление встречается в творчестве Герона Александрийского в I веке нашей эры. ^[88] Другие сомнительные приписывания работе Архимеда включают латинскую поэму Carmen de ponderibus et mensuris (4-й или 5-й век), в которой описывается использование гидростатического баланса для решения проблемы короны, и текст 12-го века Mappae clavicula , который содержит инструкции по проведению проб металлов путем расчета их удельного веса. ^[89]^[90]

Архимед Палимпсест

Самым главным документом, содержащим работы Архимеда, является «Архимед Палимпсест». В 1906 году датский профессор Йохан Людвиг Хейберг посетил Константинополь, чтобы изучить 174-страничный молитв из козлиной кожи пергамент , написанный в 13 веке, после прочтения короткой транскрипции, опубликованной семью годами ранее Пападопулосом-Керамеусом . ^[91]^[92]Он подтвердил, что это действительно палимпсест — документ, текст которого был написан поверх стертой старой работы. Палимпсесты создавались путем соскабливания чернил с существующих произведений и их повторного использования, что было обычной практикой в средние века, поскольку пергамент был дорогим. Более старые работы в палимпсесте были идентифицированы учеными как копии ранее утерянных трактатов Архимеда X века. ^[91]^[93]Пергамент пролежал сотни лет в монастырской библиотеке в Константинополе, прежде чем был продан частному коллекционеру в 1920-х годах. 29 октября 1998 года он был продан на аукционе анонимному покупателю за 2,2 миллиона долларов. ^[94]^[95]

В палимпсесте хранятся семь трактатов, в том числе единственная сохранившаяся копия « О плавающих телах» на греческом языке. Это единственный известный источник « Метода механических теорем» , на который ссылается Суйдас и который считается утерянным навсегда. Желудок также был обнаружен в палимпсесте с более полным анализом загадки, чем в предыдущих текстах. Палимпсест хранился в Художественном музее Уолтерса в Балтиморе , штат Мэриленд , где он был подвергнут ряду современных испытаний, включая использование ультрафиолетового и рентгеновского света для чтения перезаписанного текста. ^[96] С тех пор он вернулся к своему анонимному владельцу. ^[97]^[98]

Трактаты в «Архимеде Палимпсесте» включают:

О равновесии плоскостей
По спирали
Измерение круга
О сфере и цилиндре
О плавающих телах
Метод механических теорем
Желудок
Выступления политического деятеля IV века до нашей эры Гиперида
Комментарий к Аристотеля категориям .
Другие работы

Наследие

Архимед , которого иногда называют отцом математики и математической физики , оказал большое влияние на математику и естественные науки. ^[99]

Математика и физика

Историки науки и математики почти повсеместно сходятся во мнении, что Архимед был лучшим математиком древности. Эрик Темпл Белл , например, писал:

Любой список трех «величайших» математиков всей истории будет включать имя Архимеда. Двое других, обычно связанных с ним, — это Ньютон и Гаусс . Некоторые, принимая во внимание относительное богатство (или бедность) математики и физических наук в соответствующие эпохи, в которых жили эти гиганты, и оценивая их достижения на фоне их времени, поставили бы Архимеда на первое место. ^[100]

Точно так же Альфред Норт Уайтхед и Джордж Ф. Симмонс сказали об Архимеде:

...в 1500 году Европа знала меньше, чем Архимед, умерший в 212 году до нашей эры... ^[101]

Если мы примем во внимание то, чего достигли все остальные люди в математике и физике на каждом континенте и в каждой цивилизации, с начала времен до семнадцатого века в Западной Европе, достижения Архимеда перевешивают все это. Он сам по себе был великой цивилизацией. ^[102]

Ревиэль Нетц , профессор греческой математики и астрономии Суппеса в Стэнфордском университете и эксперт по Архимеду, отмечает:

Итак, поскольку Архимед больше, чем кто-либо другой, привел к формированию исчисления и поскольку он был пионером применения математики к физическому миру, получается, что западная наука — это всего лишь серия сносок к Архимеду. Таким образом, оказывается, что Архимед — самый важный учёный, когда-либо живший. ^[103]

Леонардо да Винчи неоднократно выражал восхищение Архимедом и приписывал свое изобретение « Архитоннерра ». Архимеду ^[104]^[105]^[106] Галилей называл его «сверхчеловеком» и «моим господином». ^[107]^[108] в то время как Гюйгенс сказал: «Я думаю, что Архимед ни с кем не сравним», сознательно подражая ему в своих ранних работах. ^[109] Лейбниц сказал: «Тот, кто понимает Архимеда и Аполлония, меньше будет восхищаться достижениями выдающихся людей более поздних времен». ^[110] Героями Гаусса были Архимед и Ньютон. ^[111] и Мориц Кантор , который учился у Гаусса в Геттингенском университете , сообщил, что однажды он заметил в разговоре, что «было только три математика, совершивших эпоху: Архимед, Ньютон и Эйзенштейн ». ^[112]

Изобретатель Никола Тесла похвалил его, сказав:

Архимед был моим идеалом. Я восхищался работами художников, но, на мой взгляд, это были лишь тени и подобия. Изобретатель, думал я, дарит миру ощутимые, живущие и работающие творения. ^[113]

Почести и памятные даты

изображен На медали Филдса портрет Архимеда.

есть кратер На Луне Архимед (

29°42′N 4°00′W / 29.7°N 4.0°W) in his honor, as well as a lunar mountain range, the Montes Archimedes (25 ° 18' с.ш. 4 ° 36' з.д. / / 25,3 ). ^[114]

за Медаль Филдса выдающиеся достижения в математике украшена портретом Архимеда, а также резьбой, иллюстрирующей его доказательство, на сфере и цилиндре. Надпись вокруг головы Архимеда представляет собой цитату, приписываемую поэту I века нашей эры Манилиусу , которая гласит на латыни: Transire suum pectus mundoque potiri («Поднимись над собой и постигни мир»). ^[115]^[116]^[117]

Архимед появился на почтовых марках, выпущенных Восточной Германией (1973 г.), Грецией (1983 г.), Италией (1983 г.), Никарагуа (1971 г.), Сан-Марино (1982 г.) и Испанией (1963 г.). ^[118]

Возглас Эврика! приписываемый Архимеду девиз штата Калифорния . В данном случае это слово относится к открытию золота возле мельницы Саттерс в 1848 году, которое спровоцировало Калифорнийскую золотую лихорадку . ^[119]

Смотрите также

Концепции

Люди

дальнейшее чтение

Бойер, Карл Бенджамин . 1991. История математики . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0-471-54397-8 .
Кладжетт, Маршалл . 1964–1984. Архимед в средние века 1–5. Мэдисон, Висконсин: Издательство Висконсинского университета .
Дейкстерхейс, Эдуард Дж. [1938] 1987. Архимед , перевод. Принстон: Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08421-3 .
Гау, Мэри . 2005. Архимед: математический гений древнего мира . Издательство Энслоу . ISBN 978-0-7660-2502-8 .
Хасан, Хизер. 2005. Архимед: отец математики . Розен Централ. ISBN 978-1-4042-0774-5 .
Хит, Томас Л. 1897. Работы Архимеда . Дуврские публикации . ISBN 978-0-486-42084-4 . Полное собрание сочинений Архимеда на английском языке.
Нетц, Ревиль и Уильям Ноэль. 2007. Кодекс Архимеда . Издательская группа «Орион» . ISBN 978-0-297-64547-4 .
Пиковер, Клиффорд А. 2008. От Архимеда до Хокинга: законы науки и великие умы, стоящие за ними . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-533611-5 .
Симмс, Деннис Л. 1995. Архимед Инженер . Международная издательская группа «Континуум» . ISBN 978-0-7201-2284-8 .
Штейн, Шерман . 1999. Архимед: что он делал, кроме крика «Эврика»? . Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-718-2 .

Внешние ссылки

Издание Хейберга «Архимеда» . Тексты на классическом греческом языке, некоторые на английском языке.
Архимед в программе «В наше время» на BBC
Работы Архимеда в Project Gutenberg
Работы Архимеда или о нем в Internet Archive
Архимед в проекте онтологии философии Индианы
Архимед в PhilPapers
Проект Архимеда Палимпсеста в Художественном музее Уолтерса в Балтиморе, штат Мэриленд.
«Архимед и квадратный корень из 3» . MathPages.com .
«Архимед о сферах и цилиндрах» . MathPages.com .
Испытание паровой пушки Архимеда. Архивировано 29 марта 2010 г. в Wayback Machine.

[2] Дорический греческий : Архимед , произносится как [arkʰimɛːdɛ̂ːs] .

[21] В предисловии к книге «О спиралях» , адресованной Досифею Пелусийскому, Архимед говорит, что «со дня смерти Конона прошло много лет». Конон Самосский жил ок. 280–220 гг. До н.э., что позволяет предположить, что Архимед, возможно, был пожилым человеком, когда писал некоторые из своих работ.

[:0-52] Перейти обратно: ^а ^б Трактаты Архимеда, о существовании которых известно только благодаря ссылкам в работах других авторов: « О изготовлении сфер» и работа о многогранниках , упомянутая Паппом Александрийским ; Catoptrica , работа по оптике, упомянутая Теоном Александрийским ; Принципы , адресованные Зевксиппу и объясняющие систему счисления, используемую в «Песочном счетчике» ; На весах или на рычагах ; О центрах тяжести ; В Календаре .

[91] Бойер, Карл Бенджамин . 1991. История математики . ISBN 978-0-471-54397-8 : «Арабские ученые сообщают нам, что известная формула площади треугольника через три его стороны, обычно известная как формула Герона — $k={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ , где $s$ полупериметр — был известен Архимеду за несколько столетий до жизни Герона. Арабские ученые также приписывают Архимеду «теорему о разорванной хорде »… Арабы сообщают, что Архимед дал несколько доказательств этой теоремы».

[1] Норр, Уилбур Р. (1978). «Архимед и спирали: Эвристическая основа» . История Математики . 5 (1): 43–75. дои : 10.1016/0315-0860(78)90134-9 . «Конечно, Папп дважды упоминает теорему о касательной к спирали [IV, 36, 54]. Но в обоих случаях дело в неуместном использовании Архимедом «твердого невиса», то есть конструкции, включающей в себя сечения твердых тел при решении плоской задачи. Тем не менее, собственное решение Паппа [IV, 54] по его собственной классификации является «твердым» методом, поскольку оно использует конические сечения». (стр. 48)

[Collins-3] «Архимед» . Словарь Коллинза. nd Архивировано из оригинала 3 марта 2016 года . Проверено 25 сентября 2014 г.

[4] «Архимед (ок. 287 – ок. 212 до н.э.)» . История Би-би-си . Архивировано из оригинала 19 апреля 2012 года . Проверено 7 июня 2012 г.

[LitList-5] * Джон М. Хеншоу (10 сентября 2014 г.). Уравнение на любой случай: пятьдесят две формулы и почему они важны . Джу Пресс. п. 68. ИСБН 978-1-4214-1492-8 . Архивировано из оригинала 21 октября 2020 года . Проверено 17 марта 2019 г. Архимед входит в большинство списков величайших математиков всех времен и считается величайшим математиком древности.
Калинджер, Рональд (1999). Контекстуальная история математики . Прентис-Холл. п. 150. ИСБН 978-0-02-318285-3 . Вскоре после Евклида, составителя полного учебника, появился Архимед Сиракузский (ок. 287–212 до н.э.), самый оригинальный и глубокий математик древности.

«Архимед Сиракузский» . Архив истории математики MacTutor. Январь 1999 года. Архивировано из оригинала 20 июня 2013 года . Проверено 9 июня 2008 г.

Садри Хассани (11 ноября 2013 г.). Математические методы: для студентов-физиков и смежных специальностей . Springer Science & Business Media. п. 81. ИСБН 978-0-387-21562-4 . Архивировано из оригинала 10 декабря 2019 года . Проверено 16 марта 2019 г. Архимед, возможно, считается величайшим математиком древности.

Ганс Нильс Янке. История анализа . Американское математическое соц. п. 21. ISBN 978-0-8218-9050-9 . Архивировано из оригинала 26 июля 2020 года . Проверено 16 марта 2019 г. Архимед был величайшим математиком древности и одним из величайших математиков всех времен.

Стивен Хокинг (29 марта 2007 г.). Бог создал целые числа: математические открытия, изменившие историю . Беговой пресс. п. 12. ISBN 978-0-7624-3272-1 . Архивировано из оригинала 20 ноября 2019 года . Проверено 17 марта 2019 г. Архимед, величайший математик древности

Валлианатос, Эвагелос (27 июля 2014 г.). «Архимед: величайший учёный, который когда-либо жил» . ХаффПост . Архивировано из оригинала 17 апреля 2021 года . Проверено 17 апреля 2021 г.

Кирш, Энди (2 июля 2014 г.). «12 математиков, открывших современный мир» . Бизнес-инсайдер . Архивировано из оригинала 3 мая 2021 года . Проверено 3 мая 2021 г.

«Архимед» . Архивировано из оригинала 23 апреля 2021 года . Проверено 3 мая 2021 г.

Ливио, Марио (6 декабря 2017 г.). «Кто величайший математик из всех?» . ХаффПост . Архивировано из оригинала 7 мая 2021 года . Проверено 7 мая 2021 г.

[9] Калинджер, Рональд (1999). Контекстуальная история математики . Прентис-Холл. п. 150. ИСБН 978-0-02-318285-3 . Вскоре после Евклида, составителя полного учебника, появился Архимед Сиракузский (ок. 287–212 до н.э.), самый оригинальный и глубокий математик древности.

[10] «Архимед Сиракузский» . Архив истории математики MacTutor. Январь 1999 года. Архивировано из оригинала 20 июня 2013 года . Проверено 9 июня 2008 г.

[11] Садри Хассани (11 ноября 2013 г.). Математические методы: для студентов-физиков и смежных специальностей . Springer Science & Business Media. п. 81. ИСБН 978-0-387-21562-4 . Архивировано из оригинала 10 декабря 2019 года . Проверено 16 марта 2019 г. Архимед, возможно, считается величайшим математиком древности.

[12] Ганс Нильс Янке. История анализа . Американское математическое соц. п. 21. ISBN 978-0-8218-9050-9 . Архивировано из оригинала 26 июля 2020 года . Проверено 16 марта 2019 г. Архимед был величайшим математиком древности и одним из величайших математиков всех времен.

[13] Стивен Хокинг (29 марта 2007 г.). Бог создал целые числа: математические открытия, изменившие историю . Беговой пресс. п. 12. ISBN 978-0-7624-3272-1 . Архивировано из оригинала 20 ноября 2019 года . Проверено 17 марта 2019 г. Архимед, величайший математик древности

[14] Валлианатос, Эвагелос (27 июля 2014 г.). «Архимед: величайший учёный, который когда-либо жил» . ХаффПост . Архивировано из оригинала 17 апреля 2021 года . Проверено 17 апреля 2021 г.

[15] Кирш, Энди (2 июля 2014 г.). «12 математиков, открывших современный мир» . Бизнес-инсайдер . Архивировано из оригинала 3 мая 2021 года . Проверено 3 мая 2021 г.

[16] «Архимед» . Архивировано из оригинала 23 апреля 2021 года . Проверено 3 мая 2021 г.

[17] Ливио, Марио (6 декабря 2017 г.). «Кто величайший математик из всех?» . ХаффПост . Архивировано из оригинала 7 мая 2021 года . Проверено 7 мая 2021 г.

[:2-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с Пауэрс, Дж (2020). «Занимался ли Архимед исчислением?» (PDF) . www.maa.org . Архивировано (PDF) из оригинала 31 июля 2020 года . Проверено 14 апреля 2021 г.

[:9-7] Перейти обратно: ^а ^б Жюльен, В. (2015), Дж., Винсент (редактор), «Архимед и неделимое» , «Возвращение к неделимому семнадцатому веку» , Science Networks. Исторические исследования, том. 49, Чам: Springer International Publishing, стр. 451–457, номер документа : 10.1007/978-3-319-00131-9_18 , ISBN. 978-3-319-00131-9 , заархивировано из оригинала 14 июля 2021 года , получено 14 апреля 2021 года.

[8] О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (февраль 1996 г.). «История исчисления» . Университет Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 15 июля 2007 года . Проверено 7 августа 2007 г.

[:0-9] Перейти обратно: ^а ^б ^с Хит, Томас Л. 1897. Работы Архимеда .

[10] Гоу, Г. (1972). «Теория рычага Архимеда и критика Маха» . Исследования по истории и философии науки . Часть А. 2 (4): 329–345. Бибкод : 1972ШПСА...2..329Г . дои : 10.1016/0039-3681(72)90002-7 . Архивировано из оригинала 19 июля 2021 года . Проверено 19 июля 2021 г.

[11] Берггрен, Дж. Л. (1976). «Ложные теоремы Архимеда о равновесии плоскостей: Книга I» . Архив истории точных наук . 16 (2): 87–103. дои : 10.1007/BF00349632 . ISSN 0003-9519 . JSTOR 41133463 . S2CID 119741769 . Архивировано из оригинала 19 июля 2021 года . Проверено 19 июля 2021 г.

[:7-12] Перейти обратно: ^а ^б Граф, Э.Х. (2004). «Что же сказал Архимед о плавучести?» . Учитель физики . 42 (5): 296–299. Бибкод : 2004PhTea..42..296G . дои : 10.1119/1.1737965 . Архивировано из оригинала 14 апреля 2021 года . Проверено 20 марта 2021 г.

[13] Хойруп, Дж. (2019). Архимед: Знания и знания от латинской античности до уходящего европейского Возрождения . Избранные очерки по математической практике до и раннего Нового времени. стр. 459–477. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[14] Лихи, А. (2018). «Метод Архимеда в семнадцатом веке» . Американский ежемесячник . 125 (3): 267–272. дои : 10.1080/00029890.2018.1413857 . S2CID 125559661 . Архивировано из оригинала 14 июля 2021 года . Проверено 20 марта 2021 г.

[15] «Работает, Архимед» . Университет Оклахомы. 23 июня 2015 года. Архивировано из оригинала 15 августа 2017 года . Проверено 18 июня 2019 г.

[16] Пайпетис, Стефанос А.; Чеккарелли, Марко, ред. (8–10 июня 2010 г.). Гений Архимеда – 23 века влияния на математику, науку и технику: материалы международной конференции, состоявшейся в Сиракузах, Италия . История механизма и машиноведения. Том. 11. Спрингер. дои : 10.1007/978-90-481-9091-1 . ISBN 978-90-481-9091-1 .

[17] «Архимед – Палимпсест» . Художественный музей Уолтерса . Архивировано из оригинала 28 сентября 2007 года . Проверено 14 октября 2007 г.

[18] Флуд, Элисон. «Архимед Палимпсест раскрывает идеи, опередившие свое время на столетия» . Хранитель . Архивировано из оригинала 15 мая 2021 года . Проверено 10 февраля 2017 г. .

[:3-19] Перейти обратно: ^а ^б Шапиро, А.Е. (1975). «Измерение Архимедом видимого диаметра Солнца». Журнал истории астрономии . 6 (2): 75–83. Бибкод : 1975JHA.....6...75S . дои : 10.1177/002182867500600201 . S2CID 125137430 .

[:4-20] Перейти обратно: ^а ^б Ачерби, Ф. (2008). Архимед . Новый словарь научной биографии. стр. 85–91. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[death-22] Перейти обратно: ^а ^б ^с Роррес, Крис. «Смерть Архимеда: Источники» . Курантовский институт математических наук . Архивировано из оригинала 10 декабря 2006 года . Проверено 2 января 2007 г.

[23] Роррес, Крис. «Осада Сиракуз» . Курантовский институт математических наук. Архивировано из оригинала 9 июня 2007 года . Проверено 23 июля 2007 г.

[24] Роррес, Крис. «Гробница Архимеда: Источники» . Курантовский институт математических наук. Архивировано из оригинала 9 декабря 2006 года . Проверено 2 января 2007 г.

[25] Роррес, Крис. «Гробница Архимеда – Иллюстрации» . Курантовский институт математических наук. Архивировано из оригинала 2 мая 2019 года . Проверено 15 марта 2011 г.

[:5-26] Перейти обратно: ^а ^б «Планетарий Архимеда» . Studylib.net . Архивировано из оригинала 14 апреля 2021 года . Проверено 14 апреля 2021 г.

[27] «Смерть Архимеда: Иллюстрации» . math.nyu.edu . Нью-Йоркский университет . Архивировано из оригинала 29 сентября 2015 года . Проверено 13 декабря 2017 г.

[28] Плутарх (октябрь 1996 г.). Параллельные жизни. Полный электронный текст с сайта Gutenberg.org . Проект Гутенберг . Архивировано из оригинала 20 сентября 2008 года . Проверено 23 июля 2007 г.

[:6-29] Перейти обратно: ^а ^б Плутарх . Отрывок из «Параллельных жизней» . Fulltextarchive.com. Архивировано из оригинала 7 марта 2014 года . Проверено 10 августа 2009 г.

[30] Джагер, Мэри. Архимед и римское воображение . п. 113.

[crown-31] Перейти обратно: ^а ^б Роррес, Крис (ред.). «Золотая Корона: Источники» . Нью-Йоркский университет . Архивировано из оригинала 9 марта 2021 года . Проверено 6 апреля 2021 г.
Морган, Моррис Хики (1914). Витрувий: Десять книг по архитектуре . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. стр. 253–254. Наконец, снова наполнив сосуд и опустив саму корону в то же количество воды, он обнаружил, что по короне протекло больше воды, чем для массы золота того же веса. Таким образом, исходя из того, что в короне было потеряно больше воды, чем в массе, он обнаружил смешение серебра с золотом и совершенно ясно объяснил кражу подрядчика.
Витрувий (1567 г.). Десять книг по архитектуре . Венеция: Даниэле Барбаро. стр. 270–271. Но впоследствии, когда сосуд наполнился той же водой и сама корона опустилась, он обнаружил, что в корону натекло больше воды, чем в золотую массу того же веса, явную кражу подрядчика;

[43] Морган, Моррис Хики (1914). Витрувий: Десять книг по архитектуре . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. стр. 253–254. Наконец, снова наполнив сосуд и опустив саму корону в то же количество воды, он обнаружил, что по короне протекло больше воды, чем для массы золота того же веса. Таким образом, исходя из того, что в короне было потеряно больше воды, чем в массе, он обнаружил смешение серебра с золотом и совершенно ясно объяснил кражу подрядчика.

[44] Витрувий (1567 г.). Десять книг по архитектуре . Венеция: Даниэле Барбаро. стр. 270–271. Но впоследствии, когда сосуд наполнился той же водой и сама корона опустилась, он обнаружил, что в корону натекло больше воды, чем в золотую массу того же веса, явную кражу подрядчика;

[vitruvius-32] Перейти обратно: ^а ^б Витрувий (31 декабря 2006 г.). De Architectura , Книга IX, Введение, абзацы 9–12 . Проект Гутенберг . Архивировано из оригинала 6 ноября 2019 года . Проверено 26 декабря 2018 г.

[33] «Несжимаемость воды» . Гарвардский университет . Архивировано из оригинала 17 марта 2008 года . Проверено 27 февраля 2008 г.

[inaccuracy-34] Роррес, Крис. «Золотая Корона» . Дрексельский университет . Архивировано из оригинала 11 марта 2009 года . Проверено 24 марта 2009 г.

[35] Кэрролл, Брэдли В. « Принцип Архимеда » . Государственный университет Вебера . Архивировано из оригинала 8 августа 2007 года . Проверено 23 июля 2007 г.

[36] Ван Хелден, Ал. «Проект Галилео: гидростатический баланс» . Университет Райса . Архивировано из оригинала 5 сентября 2007 года . Проверено 14 сентября 2007 г.

[galileo-37] Роррес, Крис. «Золотая Корона: Баланс Галилея» . Дрексельский университет . Архивировано из оригинала 24 февраля 2009 года . Проверено 24 марта 2009 г.

[38] Финли, М. (2013). Создание древней механики. Архивировано 14 апреля 2021 года в Wayback Machine [магистерская диссертация]. Университет Глассгоу.

[lever_rorres-39] Роррес, Крис. «Закон рычага по Архимеду» . Курантовский институт математических наук . Архивировано из оригинала 27 сентября 2013 года . Проверено 20 марта 2010 г.

[lever_clagett-40] Кладжетт, Маршалл (2001). Греческая наука в древности . Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-41973-2 . Архивировано из оригинала 14 апреля 2021 года . Проверено 20 марта 2010 г.

[41] Догерти, ФК; Макари, Дж.; Окамото, К. «Шкивы» . Общество женщин-инженеров . Архивировано из оригинала 18 июля 2007 года . Проверено 23 июля 2007 г.

[42] Цитируется Паппом Александрийским в Синагоге , Книга VIII.

[:10-43] Перейти обратно: ^а ^б Берриман, С. (2020). «Как Архимед предлагал переместить Землю» . Исида . 111 (3): 562–567. дои : 10.1086/710317 . ISSN 0021-1753 . S2CID 224841008 .

[44] Кассон, Лайонел (1971). Корабли и мореплавание в древнем мире . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-03536-9 .

[45] «Афиней, Деипнософисты, КНИГА V., глава 40» . www.perseus.tufts.edu . Архивировано из оригинала 15 марта 2023 года . Проверено 7 марта 2023 г.

[46] Дэлли, Стефани ; Олесон, Джон Питер . « Сеннахирим, Архимед и водяной винт: контекст изобретения в древнем мире » . Технология и культура, том 44, номер 1, январь 2003 г. (PDF). Архивировано из оригинала 16 июля 2015 года . Проверено 23 июля 2007 г.

[47] Роррес, Крис. «Винт Архимеда – оптимальная конструкция» . Курантовский институт математических наук. Архивировано из оригинала 22 июля 2012 года . Проверено 23 июля 2007 г.

[48] «СС Архимед» . www.recsite.eu. Архивировано из оригинала 2 октября 2011 года . Проверено 22 января 2011 г.

[49] Роррес, Крис. «Коготь Архимеда – иллюстрации и анимация – ряд возможных вариантов дизайна когтя» . Курантовский институт математических наук. Архивировано из оригинала 7 декабря 2010 года . Проверено 23 июля 2007 г.

[50] Кэрролл, Брэдли В. «Коготь Архимеда – посмотрите анимацию» . Государственный университет Вебера. Архивировано из оригинала 13 августа 2007 года . Проверено 12 августа 2007 г.

[51] «Древнегреческие учёные: Герой Александрии» . Технологический музей Салоник. Архивировано из оригинала 5 сентября 2007 года . Проверено 14 сентября 2007 г.

[53] Гиппий , 2 (ср. Гален , О темпераментах 3.2, где упоминается пирейя , «факелы»); Анфемий Тралльский , О чудесных машинах 153 [Вестерман].

[54] «Самая большая солнечная печь в мире» . Атлас Обскура . Архивировано из оригинала 5 ноября 2016 года . Проверено 6 ноября 2016 г.

[death_ray-55] «Луч смерти Архимеда: испытания с разрушителями мифов» . Массачусетский технологический институт. Архивировано из оригинала 28 мая 2013 года . Проверено 23 июля 2007 г.

[56] Джон Уэсли . « Сборник естественной философии (1810 г.), глава XII, Горящие стекла » . Онлайн-текст в Центре прикладной теологии Уэсли. Архивировано из оригинала 12 октября 2007 года . Проверено 14 сентября 2007 г.

[death_ray2-57] «Телеобзор: Разрушители мифов 8.27 – Президентский вызов» . 13 декабря 2010 г. Архивировано из оригинала 29 октября 2013 г. Проверено 18 декабря 2010 г.

[58] Эванс, Джеймс (1 августа 1999 г.). «Материальная культура греческой астрономии» . Журнал истории астрономии . 30 (3): 238–307. Бибкод : 1999JHA....30..237E . дои : 10.1177/002182869903000305 . ISSN 0021-8286 . S2CID 120800329 . Архивировано из оригинала 14 июля 2021 года . Проверено 25 марта 2021 г. Но еще до Гиппарха аналогичный инструмент описал Архимед в своем «Песочном счетчике». Более полное описание такого же инструмента дает Папп Александрийский... Рисунок 30 основан на Архимеде и Паппе. Стержень R имеет паз, проходящий по всей его длине... Цилиндр или призма С закреплена на небольшом бруске, свободно скользящем в пазу (с. 281).

[59] Тумер, Дж.Дж.; Джонс, Александр (7 марта 2016 г.). «астрономические инструменты» . Оксфордская исследовательская энциклопедия классической литературы . дои : 10.1093/акр/9780199381135.013.886 . ISBN 9780199381135 . Архивировано из оригинала 14 апреля 2021 года . Проверено 25 марта 2021 г. Вероятно, самым ранним инструментом, помимо солнечных часов, подробное описание которого мы имеем, является прибор, сконструированный Архимедом (Sand-Reckoner 11-15) для измерения видимого диаметра Солнца; это был стержень, по которому можно было перемещать колышки разного цвета.

[60] Цицерон . « De re publica 1.xiv §21» . thelatinlibrary.com. Архивировано из оригинала 22 марта 2007 года . Проверено 23 июля 2007 г.

[61] Цицерон (9 февраля 2005 г.). De re publica Полный электронный текст на английском языке с сайта Gutenberg.org . Проект Гутенберг . Архивировано из оригинала 20 сентября 2008 года . Проверено 18 сентября 2007 г.

[62] Райт, Майкл Т. (2017), Роррес, Крис (редактор), «Архимед, астрономия и планетарий» , Архимед в 21 веке: материалы всемирной конференции в Институте математических наук Куранта , Тенденции в истории наук, Cham: Springer International Publishing, стр. 125–141, doi : 10.1007/978-3-319-58059-3_7 , ISBN 978-3-319-58059-3 , заархивировано из оригинала 14 июля 2021 года , получено 14 апреля 2021 года.

[63] Ноубл Уилфорд, Джон (31 июля 2008 г.). «Открытие того, как греки вычисляли в 100 г. до н. э.», The New York Times . Архивировано из оригинала 24 июня 2017 года . Проверено 25 декабря 2013 г.

[64] «Антикитерский механизм II» . Университет Стоуни-Брук . Архивировано из оригинала 12 декабря 2013 года . Проверено 25 декабря 2013 г.

[65] «Возвращение к «компьютеру» Древней Луны» . Новости BBC . 29 ноября 2006 г. Архивировано из оригинала 15 февраля 2009 г. Проверено 23 июля 2007 г.

[66] Роррес, Крис. «Сферы и планетарии» . Курантовский институт математических наук. Архивировано из оригинала 10 мая 2011 года . Проверено 23 июля 2007 г.

[67] Руссо, Л. (2013). «Архимед между легендой и фактом» (PDF) . Буква Математика . 1 (3): 91–95. дои : 10.1007/s40329-013-0016-y . S2CID 161786723 . Архивировано (PDF) из оригинала 14 апреля 2021 года . Проверено 23 марта 2021 г. Поразительно, что отношение Архимеда к приложениям науки долгое время вытекало из критического принятия мнения Плутарха: полиграф, живший столетия спустя, в совершенно ином культурном климате, уж точно не мог знать сокровенные мысли учёного. С другой стороны, хорошо документирована преданность, с которой Архимед разрабатывал всевозможные приложения: катоптрики, как рассказывает Апулей в уже цитированном отрывке («Апология», 16), гидростатики (от конструирования часов до военно-морской техники: мы знаем от Афинея (Deipnosophistae, V, 206d) о том, что под его руководством был построен самый большой корабль античности, «Сиракузия»), а также механики (от машин для подъема тяжестей до машин для подъема воды и военных устройств).

[68] Драхманн, АГ (1968). «Архимед и физика» . Центавр . 12 (1): 1–11. Бибкод : 1968Cent...12....1D . дои : 10.1111/j.1600-0498.1968.tb00074.x . ISSN 1600-0498 . Архивировано из оригинала 14 апреля 2021 года . Проверено 14 апреля 2021 г.

[69] Кэрриер, Ричард (2008). Отношение к натурфилософам в ранней Римской империи (100 г. до н. э. – 313 г. н. э.) (Диссертация). Архивировано из оригинала 14 апреля 2021 года . Проверено 6 апреля 2021 г. «Поэтому вывод Плутарха о том, что Архимед презирал всю механику, работу в мастерских или что-либо полезное как низкое и вульгарное и сосредоточивал себя только на геометрической теории, очевидно неверен. Таким образом, как сейчас пришли к выводу некоторые ученые, его описание Архимеда кажется полная выдумка, придуманная для продвижения платонических ценностей, которые она прославляет, приписывая их весьма почитаемому герою». (стр.444)

[70] Хит, Т.Л. «Архимед об измерении окружности» . math.ubc.ca. Архивировано из оригинала 3 июля 2004 года . Проверено 30 октября 2012 г.

[71] Кэй, Р.В. «Архимедово упорядоченные поля» . web.mat.bham.ac.uk. Архивировано из оригинала 16 марта 2009 года . Проверено 7 ноября 2009 г.

[72] Цитируется по Heath, TL Works of Archimedes , Dover Publications, ISBN 978-0-486-42084-4 .

[73] «О вычислениях прошлого и настоящего: алгоритм Архимеда | Математическая ассоциация Америки» . www.maa.org . Архивировано из оригинала 14 апреля 2021 года . Проверено 14 апреля 2021 г.

[74] Маккиман, Билл . «Вычисление числа Пи Архимедом» . Матлаб Центральный. Архивировано из оригинала 25 февраля 2013 года . Проверено 30 октября 2012 г.

[75] Кэрролл, Брэдли В. «Счетчик песка» . Государственный университет Вебера. Архивировано из оригинала 13 августа 2007 года . Проверено 23 июля 2007 г.

[76] Энциклопедия древней Греции Уилсон, Найджел Гай, с. 77. Архивировано 8 мая 2016 года в Wayback Machine. ISBN 978-0-7945-0225-6 (2006 г.)

[77] Кладжетт, Маршалл (1982). «Вильям Мербеке: переводчик Архимеда» . Труды Американского философского общества . 126 (5): 356–366. ISSN 0003-049X . JSTOR 986212 . Архивировано из оригинала 8 марта 2021 года . Проверено 2 мая 2021 г.

[78] Клагетт, Маршалл (1959). «Влияние Архимеда на средневековую науку» . Исида . 50 (4): 419–429. дои : 10.1086/348797 . ISSN 0021-1753 . S2CID 145737269 .

[79] «Издания сочинений Архимеда» . Библиотека Университета Брауна. Архивировано из оригинала 8 августа 2007 года . Проверено 23 июля 2007 г.

[80] Кнорр, WR (1978). «Архимед и элементы: предложение по пересмотренному хронологическому порядку Архимедова корпуса» . Архив истории точных наук . 19 (3): 211–290. дои : 10.1007/BF00357582 . ISSN 0003-9519 . JSTOR 41133526 . S2CID 119774581 . Архивировано из оригинала 14 августа 2021 года . Проверено 14 августа 2021 г.

[81] Сато, Т. (1986). «Реконструкция предложения 17 метода и развитие мысли Архимеда о квадратуре... Часть первая». Historia scientiarum: Международный журнал Общества истории науки Японии . S2CID 116888988 .

[82] «Английский перевод The Sand Reckoner » . Университет Ватерлоо . Архивировано из оригинала 11 августа 2007 года . Проверено 23 июля 2007 г.

[works-83] Хит, ТЛ (1897 г.). Труды Архимеда (1897 г.). Полная версия работы в формате PDF (19 МБ) . Издательство Кембриджского университета. Архивировано из оригинала 6 октября 2007 года . Проверено 14 октября 2007 г.

[:1-84] Перейти обратно: ^а ^б «Греко-римские загадки» . Джанни А. Сарконе и Мари Дж. Вэбер. Архивировано из оригинала 14 мая 2008 года . Проверено 9 мая 2008 г.

[85] Колата, Джина (14 декабря 2003 г.). «В загадке Архимеда: новый момент Эврики» . Нью-Йорк Таймс . Архивировано из оригинала 14 июля 2021 года . Проверено 23 июля 2007 г.

[86] Эд Пегг-младший (17 ноября 2003 г.). «Раскрытое место Архимеда» . Математическая ассоциация Америки . Архивировано из оригинала 19 мая 2008 года . Проверено 18 мая 2008 г.

[87] Роррес, Крис. «Желудок Архимеда» . Курантовский институт математических наук. Архивировано из оригинала 26 октября 2007 года . Проверено 14 сентября 2007 г.

[88] Крумбигель Б. и Амтор А. Проблема Архимеда Bovinum , Историко-литературный отдел журнала математики и физики 25 (1880), стр. 121–136, 153–171.

[89] Калкинс, Кейт Г. «Проблема Архимеда Бовинум» . Университет Эндрюса . Архивировано из оригинала 12 октября 2007 года . Проверено 14 сентября 2007 г.

[90] «Книга лемм Архимеда» . разрезать узел . Архивировано из оригинала 11 июля 2007 года . Проверено 7 августа 2007 г.

[92] О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (апрель 1999 г.). «Александрийская цапля» . Университет Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 9 мая 2010 года . Проверено 17 февраля 2010 г.

[kingcrown-93] Дилке, Освальд AW 1990. [Без названия]. Гномон 62(8):697–99. JSTOR 27690606 .

[94] Бертло, Марсель. 1891. «К истории гидростатических весов и некоторых других научных аппаратов и процессов». Анналы химии и физики 6 (23): 475–85.

[:8-95] Перейти обратно: ^а ^б Уилсон, Найджел (2004). «Архимед Палимпсест: отчет о ходе работы» . Журнал Художественного музея Уолтерса . 62 : 61–68. ISSN 1946-0988 . JSTOR 20168629 . Архивировано из оригинала 4 октября 2021 года . Проверено 4 октября 2021 г.

[96] Истон, РЛ; Ноэль, В. (2010). «Бесконечные возможности: десять лет изучения Архимеда Палимпсеста» . Труды Американского философского общества . 154 (1): 50–76. ISSN 0003-049X . JSTOR 20721527 . Архивировано из оригинала 10 февраля 2022 года . Проверено 4 октября 2021 г.

[97] Миллер, Мэри К. (март 2007 г.). «Чтение между строк» . Смитсоновский институт . Архивировано из оригинала 19 января 2008 года . Проверено 24 января 2008 г.

[98] «Редкая работа Архимеда продана за 2 миллиона долларов» . CNN . 29 октября 1998 года. Архивировано из оригинала 16 мая 2008 года . Проверено 15 января 2008 г.

[99] Christie's (nd). Результаты аукциона . [1]

[100] «Рентгеновские лучи раскрывают тайны Архимеда» . Новости BBC . 2 августа 2006 г. Архивировано из оригинала 25 августа 2007 г. Проверено 23 июля 2007 г.

[101] Пиньяр, Г.; Стерфлингер, К.; Эттенауэр, Дж.; Квандт, А.; Пинзари, Ф. (2015). «Комбинированный подход к оценке микробной контаминации палимпсеста Архимеда» . Микробная экология . 69 (1): 118–134. Бибкод : 2015MicEc..69..118P . дои : 10.1007/s00248-014-0481-7 . ISSN 1432-184X . ПМК 4287661 . ПМИД 25135817 . Архивировано из оригинала 22 апреля 2023 года . Проверено 30 ноября 2021 г.

[102] Ачерби, Ф. (2013). «Р. Нетц, В. Ноэль, Н. Чернецка, Н. Уилсон (ред.), Палимпсест Архимеда, 2 тома, Кембридж, Cambridge University Press, 2011» . Оценка . 10 : 34–46. Архивировано из оригинала 22 апреля 2023 года . Проверено 30 ноября 2021 г.

[LitList2-103] 
отец математики: Джейн Мьюир, «О людях и числах: история великих математиков», стр. 19.

отец математической физики: Джеймс Х. Уильямс-младший , «Основы прикладной динамики», стр. 30, Карл Б. Бойер, Ута К. Мерцбах, «История математики», стр. 111., Стюарт Холлингдейл, «Создатели математики», стр. 67. , Игорь Ушаков, Вначале было число (2), стр. 114.

[115] отец математики: Джейн Мьюир, «О людях и числах: история великих математиков», стр. 19.

[116] отец математической физики: Джеймс Х. Уильямс-младший , «Основы прикладной динамики», стр. 30, Карл Б. Бойер, Ута К. Мерцбах, «История математики», стр. 111., Стюарт Холлингдейл, «Создатели математики», стр. 67. , Игорь Ушаков, Вначале было число (2), стр. 114.

[104] ET Bell, Мужчины математики, стр. 20.

[105] Альфред Норт Уайтхед. «Влияние западной средневековой культуры на развитие современной науки» . Архивировано из оригинала 4 июля 2022 года . Проверено 4 апреля 2022 г.

[106] Джордж Ф. Симмонс, «Жемчужины исчисления: краткие жизни и памятная математика», стр. 43.

[107] Ревьель Нетц, Уильям Ноэль, Кодекс Архимеда: раскрывая секреты величайшего палимпсеста в мире

[Nelson_Examiner-108] "Паровой двигатель" . Nelson Examiner и New Zealand Chronicle . Том. Я не. 11. Нельсон: Национальная библиотека Новой Зеландии. 21 мая 1842 г. с. 43. Архивировано из оригинала 24 июля 2011 года . Проверено 14 февраля 2011 г.

[PennyM-109] Паровой двигатель . Журнал Пенни. 1838. с. 104. Архивировано из оригинала 7 мая 2021 года . Проверено 7 мая 2021 г.

[Thurston1996-110] Роберт Генри Терстон (1996). История развития паровой машины . Элиброн. п. 12. ISBN 1-4021-6205-7 . Архивировано из оригинала 22 января 2021 года . Проверено 7 мая 2021 г.

[111] Мэтьюз, Майкл. Время для естественнонаучного образования: как преподавание истории и философии движения маятника может способствовать повышению научной грамотности . п. 96.

[112] «Архимед — Галилео Галилей и Архимед» . экспонаты.museogalileo.it . Архивировано из оригинала 17 апреля 2021 года . Проверено 16 июня 2021 г.

[113] Йодер, Дж. (1996). «По следам геометрии: математический мир Христиана Гюйгенса» . Де Зевентьенде Эув. Джаарганг 12 . Архивировано из оригинала 12 мая 2021 года.

[114] Бойер, Карл Б. и Ута К. Мерцбах . 1968. История математики . гл. 7.

[115] Джей Голдман, Королева математики: исторически мотивированное руководство по теории чисел, стр. 88.

[116] ET Bell, Люди математики, стр. 237

[117] В. Бернард Карлсон, Тесла: изобретатель эпохи электричества, стр. 57.

[118] Фридлендер, Джей; Уильямс, Дэйв. «Наклонный вид кратера Архимеда на Луне» . НАСА . Архивировано из оригинала 19 августа 2007 года . Проверено 13 сентября 2007 г.

[119] Рим, К. (2002). «Ранняя история медали Филдса» (PDF) . Уведомления АМС . 49 (7): 778–782. Архивировано (PDF) из оригинала 18 января 2021 года . Проверено 28 апреля 2021 г. Латинская надпись римского поэта Манилиуса, окружающая изображение, может быть переведена как «Выйти за пределы вашего понимания и стать господином вселенной». Эта фраза взята из «Астрономики 4.392» Манилиуса первого века нашей эры (стр. 782).

[120] «Медаль Филдса» . Филдсский институт исследований в области математических наук . 5 февраля 2015 г. Архивировано из оригинала 23 апреля 2021 г. Проверено 23 апреля 2021 г.

[121] «Медаль Филдса» . Международный математический союз . Архивировано из оригинала 2 декабря 2017 года . Проверено 23 апреля 2021 г.

[122] Роррес, Крис. «Марки Архимеда» . Курантовский институт математических наук. Архивировано из оригинала 2 октября 2010 года . Проверено 25 августа 2007 г.

[123] «Символы Калифорнии» . Музей Капитолия штата Калифорния. Архивировано из оригинала 12 октября 2007 года . Проверено 14 сентября 2007 г.

[1]

[а]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[б]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[с]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[д]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

v т Это Архимед
Written works	Measurement of a Circle The Sand Reckoner On the Equilibrium of Planes Quadrature of the Parabola On the Sphere and Cylinder On Spirals On Conoids and Spheroids On Floating Bodies Ostomachion The Method of Mechanical Theorems Book of Lemmas (apocryphal)
Discoveries and inventions	Archimedean solid Archimedes's cattle problem Archimedes' principle Archimedes's screw Claw of Archimedes
Miscellaneous	Archimedes' heat ray Archimedes Palimpsest List of things named after Archimedes Pseudo-Archimedes
Related people	Euclid Eudoxus of Cnidus Apollonius of Perga Hero of Alexandria Eutocius of Ascalon
Category

Базы данных авторитетного контроля
International	FAST ISNI VIAF 2 3 4 5 6 7 8 9 10 WorldCat
National	Norway Spain France BnF data Argentina Catalonia Germany Italy Israel Belgium United States Sweden Latvia Japan Czech Republic Australia Greece Korea Croatia Netherlands Poland Portugal Vatican
Academics	CiNii MathSciNet zbMATH
Artists	ULAN
People	Deutsche Biographie Trove
Other	SNAC IdRef