Большие числа

Большие числа — это числа , значительно большие, чем те, которые обычно используются в повседневной жизни (например, при простом подсчете или в денежных операциях), часто встречающиеся в таких областях, как математика , космология , криптография и статистическая механика . Обычно это большие положительные целые числа или, в более общем смысле, большие положительные действительные числа , но также могут быть и другими числами в других контекстах. Гугология – это изучение номенклатуры и свойств больших чисел. ^[1]^[2]^{[ нужен лучший источник ]}

В повседневном мире

Научное обозначение было создано для обработки широкого диапазона значений, встречающихся в научных исследованиях. 1,0 × 10 ⁹, например, означает один миллиард или 1, за которой следуют девять нулей: 1 000 000 000. Обратная величина 1,0 × 10 ⁻⁹, означает одну миллиардную или 0,000 000 001. Запись 10 ⁹ вместо девяти нулей избавляет читателей от необходимости пересчитывать длинную серию нулей, чтобы увидеть, насколько велико это число. В дополнение к научным (степени 10) обозначениям следующие примеры включают (краткую) систематическую номенклатуру больших чисел.

Примеры больших чисел, описывающих повседневные объекты реального мира, включают:

Количество клеток в организме человека (оценивается в 3,72×10 ¹³), или 37,2 трлн. ^[3]
Количество бит компьютера на жестком диске (по состоянию на 2024 г.) ^[update], обычно около 10 ¹³, 1–2 ТБ ), или 10 триллионов
Число нейрональных связей в мозге человека (оценивается в 10 ¹⁴), или 100 триллионов
— Константа Авогадро это количество «элементарных объектов» (обычно атомов или молекул) в одном моле ; количество атомов в 12 граммах углерода-12 – примерно 6,022 × 10. ²³, или 602,2 секстиллиона.
Общее количество ДНК пар оснований во всей биомассе на Земле, как возможное приближение глобального биоразнообразия , оценивается в (5,3 ± 3,6) × 10. ³⁷, или 53±36 ундециллионов ^[4]^[5]
Масса Земли составляет около 4 × 10 ⁵¹, или 4 сексдециллиона нуклонов
Предполагаемое количество атомов в наблюдаемой Вселенной (10 ⁸⁰), или 100 квинвигинтиллионов
Нижняя граница сложности дерева игры в шахматах, также известная как « число Шеннона » (оценивается примерно в 10 ¹²⁰), или 1 ноябрьтригинтиллион ^[6]
- Обратите внимание, что это значение числа Шеннона относится к стандартным шахматам. Он имеет еще большие значения для вариантов шахмат с большей доской, таких как Грант Аседрекс , Тай Сёги и Тайкиоку Сёги .

Астрономический

Другие большие числа, относящиеся к длине и времени, встречаются в астрономии и космологии . Например, текущая модель Большого взрыва предполагает, что Вселенная существует 13,8 миллиардов лет (4,355 × 10 ¹⁷ секунд) и что наблюдаемая Вселенная имеет диаметр 93 миллиарда световых лет (8,8 × 10 ²⁶ метров) и содержит около 5 × 10 ²² звезд, организованных примерно в 125 миллиардов (1,25 × 10 ¹¹) галактик, согласно наблюдениям космического телескопа Хаббл. Есть около 10 ⁸⁰ атомы в наблюдаемой Вселенной , по грубой оценке. ^[7]

По словам Дона Пейджа , физика из Университета Альберты, Канада, самое длинное конечное время, которое до сих пор было явно рассчитано каким-либо физиком, равно

10^{10^{10^{10^{10^{1.1}}}}}{\mbox{ years}}

что соответствует масштабу оцененного времени возврата Пуанкаре для квантового состояния гипотетического ящика, содержащего черную дыру с предполагаемой массой всей Вселенной, наблюдаемой или нет, в предположении некоторой инфляционной модели с инфлатоном , масса которого равна 10 ⁻⁶ Планковские массы . ^[8]^[9] На этот раз предполагается статистическая модель, подверженная повторяемости Пуанкаре. Гораздо упрощенный способ мышления об этом времени заключается в модели, в которой история Вселенной повторяется произвольное количество раз из-за свойств статистической механики ; это временной масштаб, когда он сначала снова будет несколько похож (при разумном выборе «похожего») на свое текущее состояние.

Комбинаторные процессы быстро генерируют еще большие числа. Функция факториала , определяющая количество перестановок набора фиксированных объектов, очень быстро растет с увеличением количества объектов. Формула Стирлинга дает точное асимптотическое выражение этой скорости роста.

Комбинаторные процессы в статистической механике генерируют очень большие числа. Эти числа настолько велики, что для обозначения их обычно используют только логарифмы .

Числа Гёделя и подобные числа, используемые для представления битовых строк в алгоритмической теории информации , очень велики даже для математических утверждений разумной длины. Однако некоторые патологические числа даже больше, чем числа Гёделя типичных математических утверждений.

Логик Харви Фридман проделал работу, связанную с очень большими числами, например, с теоремой Краскала о дереве и теоремой Робертсона-Сеймура .

«Миллиарды и миллиарды»

Чтобы помочь зрителям «Космоса» различать «миллионы» и «миллиарды», астроном Карл Саган подчеркнул букву «b». Однако Саган никогда не говорил « миллиарды и миллиарды ». Общественная ассоциация этого слова и Сагана возникла из пародии на « Вечернее шоу» . Пародируя эффект Сагана, Джонни Карсон пошутил: «миллиарды и миллиарды». ^[10] Однако теперь эта фраза превратилась в юмористический вымышленный номер — Саган . См. , Саганский отряд .

Примеры

вырезать = $10^{100}$
центиллион = $10^{303}$ или $10^{600}$ , в зависимости от системы наименования номеров
миллиниллион = $10^{3003}$ или $10^{6000}$ , в зависимости от системы наименования номеров
Самое большое известное число Смита = (10 ¹⁰³¹−1) × (10 ⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10 ²²⁹⁷ + 1) ¹⁴⁷⁶ × 10 ^{3 913 210}
Самое большое известное простое число Мерсенна = $2^{82,589,933}-1$ ^[11]
гуголплекс = $10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}$
Числа Скьюза : первое приблизительно $10^{10^{10^{34}}}$ , второй $10^{10^{10^{964}}}$
Число Грэма , большее, чем то, что можно представить даже с помощью силовых башен ( тетрация ). Однако его можно представить, используя слои нотации Кнута со стрелкой вверх.
Теорема Краскала о дереве — это последовательность, относящаяся к графам. TREE(3) больше числа Грэма .
Число Райо - это большое число, названное в честь Агустина Райо, которое считается самым большим именованным числом. Первоначально он был определен в «дуэли больших чисел» в Массачусетском технологическом институте 26 января 2007 года.

Стандартизированная система письма

Стандартизированный способ записи очень больших чисел позволяет легко сортировать их в порядке возрастания и получить хорошее представление о том, насколько одно число больше другого.

Чтобы сравнить числа в экспоненциальном формате, скажем 5×10. ⁴ и 2×10 ⁵, сначала сравните показатели степени, в данном случае 5 > 4, поэтому 2×10 ⁵ > 5×10 ⁴. Если показатели степени равны, следует сравнить мантиссу (или коэффициент), таким образом 5×10 ⁴ > 2×10 ⁴ потому что 5 > 2.

Тетрование с основанием 10 дает последовательность $10\uparrow \uparrow n=10\to n\to 2=(10\uparrow )^{n}1$ , электровышки номера 10, где $(10\uparrow )^{n}$ обозначает функциональную степень функции $f(n)=10^{n}$ (функция также выражается суффиксом «-plex», как в гуголплексе, см. семейство гугол ).

Это очень круглые числа, каждое из которых представляет собой порядок величины в обобщенном смысле. Грубый способ указать, насколько велико число, — указать, между какими двумя числами в этой последовательности оно находится.

Точнее, числа между ними можно выразить в виде $(10\uparrow )^{n}a$ , т. е. с энергетической башней из 10 и числом вверху, возможно, в научной записи, например $10^{10^{10^{10^{10^{4.829}}}}}=(10\uparrow )^{5}4.829$ , число между $10\uparrow \uparrow 5$ и $10\uparrow \uparrow 6$ (Обратите внимание, что $10\uparrow \uparrow n<(10\uparrow )^{n}a<10\uparrow \uparrow (n+1)$ если $1<a<10$ ). (См. также распространение тетрации на реальные высоты .)

Таким образом, гуголплекс $10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{2}100=(10\uparrow )^{3}2$

Другой пример:

2\uparrow \uparrow \uparrow 4={\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\qquad \quad \ \ \ 65,536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}\approx (10\uparrow )^{65,531}(6\times 10^{19,728})\approx (10\uparrow )^{65,533}4.3

(между

10\uparrow \uparrow 65,533

и

10\uparrow \uparrow 65,534

)

Таким образом, «порядок» числа (в большем масштабе, чем обычно подразумевается) может быть охарактеризован количеством раз ( n ), которое нужно принять. $log_{10}$ чтобы получить число от 1 до 10. Таким образом, число находится между $10\uparrow \uparrow n$ и $10\uparrow \uparrow (n+1)$ . Как объяснялось, более точное описание числа также указывает значение этого числа от 1 до 10 или предыдущего числа (беря логарифм на один раз меньше) от 10 до 10. ¹⁰, или следующий, между 0 и 1.

Обратите внимание, что

10^{(10\uparrow )^{n}x}=(10\uparrow )^{n}10^{x}

Т.е. если число x слишком велико для представления $(10\uparrow )^{n}x$ энергетическую башню можно сделать на единицу выше, заменив x на log ₁₀ x , или найти x из нижнего башенного представления log ₁₀ целого числа. Если бы башня электропередачи содержала бы одно или несколько чисел, отличных от 10, два подхода привели бы к разным результатам, что соответствует тому факту, что расширение башни электропередачи с цифрой 10 внизу - это не то же самое, что расширение ее с цифрой 10 внизу. верх (но, конечно, аналогичные замечания применимы, если вся электробашня состоит из экземпляров одного и того же числа, отличного от 10).

Если высота башни большая, к самой высоте можно применить различные представления больших чисел. Если высота указана приблизительно, указание значения вверху не имеет смысла, поэтому обозначение двойной стрелкой (например, $10\uparrow \uparrow (7.21\times 10^{8})$ ) можно использовать. Если значение после двойной стрелки само по себе является очень большим числом, приведенное выше значение можно рекурсивно применить к этому значению.

Примеры:

10\uparrow \uparrow 10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}

(между

10\uparrow \uparrow \uparrow 2

и

10\uparrow \uparrow \uparrow 3

)

10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})=(10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})

(между

10\uparrow \uparrow \uparrow 4

и

10\uparrow \uparrow \uparrow 5

)

Аналогично предыдущему, если показатель степени $(10\uparrow )$ не задано точно, то давать значение справа не имеет смысла, и вместо использования степенного обозначения $(10\uparrow )$ , можно добавить $1$ к показателю $(10\uparrow \uparrow )$ , чтобы получить, например $(10\uparrow \uparrow )^{3}(2.8\times 10^{12})$ .

Если показатель степени $(10\uparrow \uparrow )$ велика, к самому этому показателю можно применить различные представления для больших чисел. Если этот показатель не задан точно, то, опять же, указание значения справа не имеет смысла, и вместо использования степенного обозначения $(10\uparrow \uparrow )$ можно использовать оператор тройной стрелки, например $10\uparrow \uparrow \uparrow (7.3\times 10^{6})$ .

Если правый аргумент оператора тройной стрелки велик, к нему применимо вышеизложенное, получая, например, $10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})$ (между $10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 4$ и $10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 5$ ). Это можно сделать рекурсивно, поэтому можно использовать оператор тройной стрелки.

Тогда можно перейти к операторам с большим количеством стрелок, записанным $\uparrow ^{n}$ .

Сравните это обозначение с гипероператором и обозначением цепочки стрелок Конвея :

a\uparrow ^{n}b

знак равно ( а → б → п ) = гипер( а , п + 2, б )

Преимущество первого заключается в том, что, если рассматривать его как функцию от b , существует естественное обозначение степеней этой функции (точно так же, как при записи n стрелок): $(a\uparrow ^{n})^{k}b$ . Например:

(10\uparrow ^{2})^{3}b

знак равно ( 10 → ( 10 → ( 10 → б → 2 ) → 2 ) → 2 )

и только в особых случаях сокращается обозначение длинной вложенной цепочки; для $''b''=1$ получает:

10\uparrow ^{3}3=(10\uparrow ^{2})^{3}1

= ( 10 → 3 → 3 )

Поскольку b также может быть очень большим, в общем случае вместо него можно записать число с последовательностью степеней. $(10\uparrow ^{n})^{k_{n}}$ с убывающими значениями n (с точно заданными целыми показателями ${k_{n}}$ ) с числом в конце в обычной научной записи. Всякий раз, когда ${k_{n}}$ слишком велико, чтобы его можно было дать точно, значение ${k_{n+1}}$ увеличивается на 1, а все, что находится справа от $({n+1})^{k_{n+1}}$ переписан.

Для приближенного описания чисел отклонения от порядка убывания значений n не нужны. Например, $10\uparrow (10\uparrow \uparrow )^{5}a=(10\uparrow \uparrow )^{6}a$ , и $10\uparrow (10\uparrow \uparrow \uparrow 3)=10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 10+1)\approx 10\uparrow \uparrow \uparrow 3$ . Таким образом получается несколько парадоксальный результат: число x может быть настолько большим, что, в некотором смысле, x и 10 ^х «почти равны» (об арифметике больших чисел см. также ниже).

Если верхний индекс стрелки вверх велик, к самому этому верхнему индексу можно применить различные представления больших чисел. Если этот верхний индекс не задан точно, то нет смысла возводить оператор в определенную степень или корректировать значение, на которое он действует, вместо этого можно просто использовать стандартное значение справа, скажем, 10, и выражение сводится к $10\uparrow ^{n}10=(10\to 10\to n)$ с приблизительным n . Для таких чисел преимущество использования обозначения стрелки вверх больше не применяется, поэтому вместо него можно использовать обозначение цепочки.

Вышеупомянутое можно применить рекурсивно для этого n , поэтому обозначение $\uparrow ^{n}$ получается в верхнем индексе первой стрелки и т. д. или в виде вложенной цепочки, например:

(10 → 10 → (10 → 10 →

3\times 10^{5}

) ) =

10\uparrow ^{10\uparrow ^{3\times 10^{5}}10}10

Если количество уровней становится слишком большим, чтобы быть удобным, используется обозначение, в котором это количество уровней записывается в виде числа (например, использование верхнего индекса стрелки вместо написания множества стрелок). Представляем функцию $f(n)=10\uparrow ^{n}10$ = (10 → 10 → n ), эти уровни становятся функциональными степенями f , что позволяет нам записать число в виде $f^{m}(n)$ где m задано точно, а n — целое число, которое может быть задано точно, а может и нет (например: $f^{2}(3\times 10^{5})$ ). Если n велико, для его выражения можно использовать любое из вышеперечисленного. Самыми «круглыми» из этих чисел являются числа вида f ^м(1) = (10→10→ м →2). Например, $(10\to 10\to 3\to 2)=10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10$

Сравните определение числа Грэма: оно использует цифры 3 вместо 10, имеет 64 уровня стрелок и цифру 4 вверху; таким образом $G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2<(10\to 10\to 65\to 2)=f^{65}(1)$ , но и $G<f^{64}(4)<f^{65}(1)$ .

Если я в $f^{m}(n)$ слишком велико, чтобы дать точное значение, можно использовать фиксированное n , например n = 1, и применить вышеизложенное рекурсивно к m , т. е. количество уровней стрелок вверх само по себе представляется в виде надстрочных обозначений стрелок вверх и т. д. Используя обозначение функциональной степени f, это дает несколько уровней f . Представляем функцию $g(n)=f^{n}(1)$ эти уровни становятся функциональными степенями g , что позволяет нам записать число в виде $g^{m}(n)$ где m задано точно, а n — целое число, которое может быть задано или не задано точно. Например, если (10→10→ m →3) = g ^м(1). Если n велико, для его выражения можно использовать любое из вышеперечисленных значений. функцию h Аналогично можно ввести и т. д. Если требуется много таких функций, их можно пронумеровать вместо того, чтобы каждый раз использовать новую букву, например, в виде нижнего индекса, чтобы были числа вида $f_{k}^{m}(n)$ где k и m заданы точно, а n — целое число, которое может быть задано или не задано точно. Используя k =1 для f выше, k =2 для g и т. д., получаем (10→10→ n → k ) = $f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(1)$ . Если n велико, для его выражения можно использовать любое из вышеперечисленных. Таким образом получается вложенность форм ${f_{k}}^{m_{k}}$ где при движении внутрь k уменьшается, а в качестве внутреннего аргумента используется последовательность степеней $(10\uparrow ^{n})^{p_{n}}$ с убывающими значениями n (где все эти числа представляют собой в точности целые числа) с числом в конце в обычной научной записи.

Когда k слишком велико, чтобы его можно было дать точно, соответствующее число можно выразить как ${f_{n}}(10)$ =(10→10→10→ n ) с приближенным n . Заметим, что процесс перехода от последовательности $10^{n}$ =(10→ n ) в последовательность $10\uparrow ^{n}10$ =(10→10→ n ) очень похоже на переход от последнего к последовательности ${f_{n}}(10)$ =(10→10→10→ n ): это общий процесс добавления элемента 10 к цепочке в обозначении цепочки; этот процесс можно повторить еще раз (см. также предыдущий раздел). Нумеруя последующие версии этой функции, число можно описать с помощью функций ${f_{qk}}^{m_{qk}}$ , вложенные в лексикографическом порядке , где q является наиболее значимым числом, но в порядке убывания для q и для k ; поскольку внутренний аргумент дает последовательность степеней $(10\uparrow ^{n})^{p_{n}}$ с убывающими значениями n (где все эти числа представляют собой в точности целые числа) с числом в конце в обычной научной записи.

Для числа, слишком большого, чтобы его можно было записать в виде цепочки стрелок Конвея, его размер можно описать длиной этой цепочки, например, используя только элементы 10 в цепочке; другими словами, можно указать его положение в последовательности 10, 10→10, 10→10→10, .. Если даже позиции в последовательности большое, можно применить те же методы снова.

Примеры

Числа, выражаемые в десятичной системе счисления:

2 ² = 4
2 ^{2 ²} = 2 ↑↑ 3 = 16
3 ³ = 27
4 ⁴ = 256
5 ⁵ = 3,125
6 ⁶ = 46,656
$2^{2^{2^{2}}}$ = 2 ↑↑ 4 = 2↑↑↑3 = 65,536
7 ⁷ = 823,543
10 ⁶ = 1 000 000 = 1 миллион
8 ⁸ = 16,777,216
9 ⁹ = 387,420,489
10 ⁹ = 1 000 000 000 = 1 миллиард
10 ¹⁰ = 10,000,000,000
10 ¹² = 1 000 000 000 000 = 1 триллион
3 ^{3 ³} = 3 ↑↑ 3 = 7,625,597,484,987 ≈ 7.63 × 10 ¹²
10 ¹⁵ = 1 000 000 000 000 000 = 1 миллион миллиардов = 1 квадриллион
10 ¹⁸ = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 миллиард миллиардов = 1 квинтилион

Числа, выражаемые в научной записи:

Примерное количество атомов в наблюдаемой Вселенной = 10. ⁸⁰ = 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
Гугл = 10 ¹⁰⁰ = 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
4 ^{4 ⁴} = 4 ↑↑ 3 = 2 ⁵¹² ≈ 1.34 × 10 ¹⁵⁴ ≈ (10 ↑) ² 2.2
Примерное количество планковских объемов, составляющих объем наблюдаемой Вселенной = 8,5 × 10. ¹⁸⁴
5 ^{5 ⁵} = 5 ↑↑ 3 = 5 ³¹²⁵ ≈ 1.91 × 10 ²¹⁸⁴ ≈ (10 ↑) ² 3.3
$2^{2^{2^{2^{2}}}}=2\uparrow \uparrow 5=2^{65,536}\approx 2.0\times 10^{19,728}\approx (10\uparrow )^{2}4.3$
6 ^{6 ⁶} = 6 ↑↑ 3 ≈ 2.66 × 10 ^36,305 ≈ (10 ↑) ² 4.6
7 ^{7 ⁷} = 7 ↑↑ 3 ≈ 3.76 × 10 ^695,974 ≈ (10 ↑) ² 5.8
8 ^{8 ⁸} = 8 ↑↑ 3 ≈ 6.01 × 10 ^15,151,335 ≈ (10 ↑) ² 7.2
$M_{82,589,933}\approx 1.49\times 10^{24,862,047}\approx 10^{10^{7.3955}}=(10\uparrow )^{2}\ 7.3955$ , 51-е число и по состоянию на январь 2021 г. ^[update] самое большое известное простое число Мерсенна .
9 ^{9 ⁹} = 9 ↑↑ 3 ≈ 4.28 × 10 ^369,693,099 ≈ (10 ↑) ² 8.6
10 ^{10 ¹⁰} =10 ↑↑ 3 = 10 ^{10,000,000,000} = (10 ↑) ³ 1
$3^{3^{3^{3}}}=3\uparrow \uparrow 4\approx 1.26\times 10^{3,638,334,640,024}\approx (10\uparrow )^{3}1.10$

Числа, выражаемые через (10 ↑) ^н к -обозначение:

гуголплекс = $10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{3}2$
$2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}=2\uparrow \uparrow 6=2^{2^{65,536}}\approx 2^{(10\uparrow )^{2}4.3}\approx 10^{(10\uparrow )^{2}4.3}=(10\uparrow )^{3}4.3$
$10^{10^{10^{10}}}=10\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{4}1$
$3^{3^{3^{3^{3}}}}=3\uparrow \uparrow 5\approx 3^{10^{3.6\times 10^{12}}}\approx (10\uparrow )^{4}1.10$
$2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}=2\uparrow \uparrow 7\approx (10\uparrow )^{4}4.3$
10 ↑↑ 5 = (10 ↑) ⁵ 1
3 ↑↑ 6 ≈ (10 ↑) ⁵ 1.10
2 ↑↑ 8 ≈ (10 ↑) ⁵ 4.3
10 ↑↑ 6 = (10 ↑) ⁶ 1
10 ↑↑↑ 2 = 10 ↑↑ 10 = (10 ↑) ¹⁰ 1
2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65,536 ≈ (10 ↑) ^65,533 4,3 находится между 10 ↑↑ 65 533 и 10 ↑ 65 534.

Большие числа:

3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑ 7.6 × 10 ¹² ≈ 10 ↑↑ 7.6 × 10 ¹² находится между (10 ↑↑) ² 2 и (10 ↑↑) ² 3
$10\uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow )^{3}1$ = ( 10 → 3 → 3 )
$(10\uparrow \uparrow )^{2}11$
$(10\uparrow \uparrow )^{2}10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}$
$10\uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow )^{4}1$ = ( 10 → 4 → 3 )
$(10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})$
$10\uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow )^{5}1$ = ( 10 → 5 → 3 )
$10\uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow )^{6}1$ = ( 10 → 6 → 3 )
$10\uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow )^{7}1$ = ( 10 → 7 → 3 )
$10\uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow )^{8}1$ = ( 10 → 8 → 3 )
$10\uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow )^{9}1$ = ( 10 → 9 → 3 )
$10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow )^{10}1$ = ( 10 → 2 → 4 ) = ( 10 → 10 → 3 )
Первый член в определении числа Грэма, g ₁ = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7,6 × 10 ¹²) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 10 ¹²) находится между (10 ↑↑↑) ² 2 и (10 ↑↑↑) ² 3 (см . число Грэма # Величина )
$10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{3}1$ = (10 → 3 → 4)
$4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4$ = ( 4 → 4 → 4 ) $\approx (10\uparrow \uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow \uparrow )^{3}154$
$10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{4}1$ = ( 10 → 4 → 4 )
$10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{5}1$ = ( 10 → 5 → 4 )
$10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{6}1$ = ( 10 → 6 → 4 )
$10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{7}1=$ = ( 10 → 7 → 4 )
$10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{8}1=$ = ( 10 → 8 → 4 )
$10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{9}1=$ = ( 10 → 9 → 4 )
$10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{10}1$ = ( 10 → 2 → 5 ) = ( 10 → 10 → 4 )
( 2 → 3 → 2 → 2 ) = ( 2 → 3 → 8 )
( 3 → 2 → 2 → 2 ) = ( 3 → 2 → 9 ) = ( 3 → 3 → 8 )
( 10 → 10 → 10 ) = ( 10 → 2 → 11 )
( 10 → 2 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → 100 )
( 10 → 10 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → $10^{10}$ ) = $10\uparrow ^{10^{10}}10$
Второе слагаемое в определении числа Грэма, g ₂ = 3 ↑ ^{г ₁} 3 > 10 ↑ ^{г ₁ – 1} 10.
( 10 → 10 → 3 → 2 ) = (10 → 10 → (10 → 10 → $10^{10}$ ) ) = $10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10$
г ₃ = (3 → 3 → г ₂ ) > (10 → 10 → г ₂ – 1) > (10 → 10 → 3 → 2)
г ₄ = (3 → 3 → г ₃ ) > (10 → 10 → г ₃ – 1) > (10 → 10 → 4 → 2)
...
g ₉ = (3 → 3 → g ₈ ) находится между (10 → 10 → 9 → 2) и (10 → 10 → 10 → 2)
( 10 → 10 → 10 → 2 )
g ₁₀ = (3 → 3 → g ₉ ) находится между (10 → 10 → 10 → 2) и (10 → 10 → 11 → 2)
...
g ₆₃ = (3 → 3 → g ₆₂ ) находится между (10 → 10 → 63 → 2) и (10 → 10 → 64 → 2)
( 10 → 10 → 64 → 2 )
Число Грэма, g ₆₄^[12]
( 10 → 10 → 65 → 2 )
( 10 → 10 → 10 → 3 )
( 10 → 10 → 10 → 4 )
( 10 → 10 → 10 → 10 )
( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → ... → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10), где есть ( 10 → 10 → 10) «10»

Другие обозначения

Некоторые обозначения для очень больших чисел:

Обозначение стрелки вверх Кнута / гипероператоры / функция Аккермана , включая тетрацию
Обозначение цепной стрелки Конвея
обозначения Штейнгауза-Мозера ; кроме способа построения больших чисел, здесь предполагается и графическое обозначение многоугольниками . Альтернативные обозначения, такие как более традиционные обозначения функций, также могут использоваться с теми же функциями.
Быстрорастущая иерархия

Эти обозначения по существу являются функциями целочисленных переменных, которые очень быстро увеличиваются с ростом этих целых чисел. Постоянно возрастающие функции можно легко построить рекурсивно, применяя эти функции с большими целыми числами в качестве аргумента.

Функция с вертикальной асимптотой бесполезна для определения очень большого числа, хотя функция возрастает очень быстро: нужно определить аргумент очень близко к асимптоте, т.е. использовать очень маленькое число, и построение этого эквивалентно построению очень большое число, например обратное.

Сравнение базовых значений

Следующее иллюстрирует эффект основания, отличного от 10, основания 100. Это также иллюстрирует представление чисел и арифметики.

$100^{12}=10^{24}$ , с основанием 10 показатель степени увеличивается в два раза.

$100^{100^{12}}=10^{2*10^{24}}$ , то же самое.

$100^{100^{100^{12}}}\approx 10^{10^{2*10^{24}+0.30103}}$ , высший показатель степени почти вдвое увеличен (увеличен на log ₁₀ 2).

$100\uparrow \uparrow 2=10^{200}$
$100\uparrow \uparrow 3=10^{2\times 10^{200}}$
$100\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200}+0.3)=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{3}200.3=(10\uparrow )^{4}2.3$
$100\uparrow \uparrow n=(10\uparrow )^{n-2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{n-1}200.3=(10\uparrow )^{n}2.3<10\uparrow \uparrow (n+1)$ (таким образом, если n велико, кажется справедливым сказать, что $100\uparrow \uparrow n$ «приблизительно равно» $10\uparrow \uparrow n$ )
$100\uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{100}2.3$
$100\uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{100}2.3$
$100\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{100}2.3<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)$ (сравнивать $10\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{10}1<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)$ ; таким образом, если n велико, кажется справедливым сказать, что $100\uparrow \uparrow \uparrow n$ «приблизительно равно» $10\uparrow \uparrow \uparrow n$ )
$100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3$ (сравнивать $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1$ )
$100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3$ (сравнивать $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1$ )
$100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3$ (сравнивать $10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1$ ; если n велико, это «приблизительно» равно)

Точность

Для номера $10^{n}$ на одну единицу , изменение n меняет результат в 10 раз. В таких числах, как $10^{\,\!6.2\times 10^{3}}$ , поскольку 6,2 является результатом правильного округления с использованием значащих цифр, истинное значение показателя степени может быть на 50 меньше или на 50 больше. Следовательно, результат может быть фактором $10^{50}$ слишком большой или слишком маленький. Это кажется крайне низкой точностью, но для такого большого числа это можно считать справедливым (большая ошибка в большом числе может быть «относительно небольшой» и, следовательно, приемлемой).

Для очень больших чисел

В случае аппроксимации чрезвычайно большого числа относительная ошибка может быть большой, но все же может существовать смысл, в котором хочется рассматривать числа как «близкие по величине». Например, рассмотрим

10^{10}

и

10^{9}

Относительная ошибка

1-{\frac {10^{9}}{10^{10}}}=1-{\frac {1}{10}}=90\%

большая относительная ошибка. Однако можно учитывать и относительную погрешность логарифмов; в этом случае логарифмы (по основанию 10) равны 10 и 9, поэтому относительная ошибка логарифмов составляет всего 10%.

Дело в том, что экспоненциальные функции значительно увеличивают относительные ошибки – если a и b имеют небольшую относительную ошибку,

10^{a}

и

10^{b}

относительная ошибка больше, и

10^{10^{a}}

и

10^{10^{b}}

будет иметь еще большую относительную ошибку. Тогда возникает вопрос: на каком уровне повторных логарифмов можно сравнивать два числа? В каком-то смысле можно рассмотреть

10^{10^{10}}

и

10^{10^{9}}

быть «близким по величине». Относительная ошибка между этими двумя числами велика, а относительная ошибка между их логарифмами все еще велика; однако относительная ошибка их вторичных логарифмов невелика:

\log _{10}(\log _{10}(10^{10^{10}}))=10

и

\log _{10}(\log _{10}(10^{10^{9}}))=9

Такие сравнения повторных логарифмов распространены, например, в аналитической теории чисел .

Классы

Одним из решений проблемы сравнения больших чисел является определение классов чисел, таких как система, разработанная Робертом Мунафо: ^[13] который основан на разных «уровнях» восприятия среднестатистического человека. Класс 0 — числа от нуля до шести — определяется как содержащий числа, которые легко подразделяются на части , то есть числа, которые очень часто встречаются в повседневной жизни и практически мгновенно сопоставимы. Класс 1 – числа от шести до 1 000 000 = 10. ⁶ – определяется как содержащие числа, десятичные выражения которых легко подразделяются, то есть числа, которые легко сравниваются не по мощности , а «с первого взгляда» с учетом десятичного разложения.

Каждый класс после них определяется как итерация этого возведения в степень по основанию 10, чтобы имитировать эффект еще одной «итерации» человеческой неотличимости. Например, класс 5 определяется как включающий числа от 10 ^{10 ^{10 ^{10 ⁶}}} и 10 ^{10 ^{10 ^{10 ^{10 ⁶}}}}, которые представляют собой числа, в которых X становится неотличимым по-человечески от X ² ^[14] (повторное логарифмирование такого X приводит к неразличимости, во-первых, между log( X ) и 2log( X ), во-вторых, между log(log( X )) и 1+log(log( X )), и, наконец, чрезвычайно длинное десятичное разложение, длина которого не может быть субитизирован).

Приблизительная арифметика

Существуют некоторые общие правила, относящиеся к обычным арифметическим операциям, выполняемым с очень большими числами:

Сумма и произведение двух очень больших чисел «приблизительно» равны большему из них.
$(10^{a})^{\,\!10^{b}}=10^{a10^{b}}=10^{10^{b+\log _{10}a}}$

Следовательно:

Очень большое число, возведенное в очень большую степень, «приблизительно» равно большему из следующих двух значений: первого значения и 10 в степени второго. Например, для очень больших $n$ есть $n^{n}\approx 10^{n}$ (см., например, вычисление mega ), а также $2^{n}\approx 10^{n}$ . Таким образом $2\uparrow \uparrow 65536\approx 10\uparrow \uparrow 65533$ , см. таблицу .

Систематическое создание все более быстрорастущих последовательностей

Учитывая строго возрастающую целочисленную последовательность/функцию $f_{0}(n)$ ( n ≥1), можно создать более быстрорастущую последовательность $f_{1}(n)=f_{0}^{n}(n)$ (где верхний индекс n обозначает n ^й функциональная мощность ). Это можно повторить любое количество раз, позволяя $f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(n)$ , причем каждая последовательность растет намного быстрее, чем предыдущая. Таким образом, можно определить $f_{\omega }(n)=f_{n}(n)$ , который растет гораздо быстрее, чем любой $f_{k}$ для конечного k (здесь ω — первое бесконечное порядковое число , представляющее предел всех конечных чисел k). Это основа быстрорастущей иерархии функций, в которой индекс индексации расширяется до все больших порядковых номеров.

Например, начиная с f ₀ ( n ) = n + 1:

ж ₁ ( п ) знак равно ж ₀^н( п ) знак равно п + п знак равно 2п
f2 ( п = f1 ₎^н( п ) знак равно 2 ^нn > (2 ↑) n для n ≥ 2 (используя обозначение Кнута со стрелкой вверх )
f3 ( п ) f2 ₌^н( п ) > (2 ↑) ^н п ≥ 2 ↑ ² n для n ≥ 2
ж _{k +1} ( п ) > 2 ↑ ^к n для n ≥ 2, k < ω
ж _ω ( п ) знак равно ж _п ( п ) > 2 ↑ ^{п – 1} п > 2 ↑ ^{п - 2} ( n + 3) − 3 = A ( n , n ) для n ≥ 2, где A — функция Аккермана (из которой f _ω — унарная версия)
f _ω+1 (64) > f _ω⁶⁴(6) > число Грэма (= g ₆₄ в последовательности, определяемой g ₀ = 4, g _{k +1} = 3 ↑ ^{г _к} 3)
- Это следует из того, что f _ω ( n ) > 2 ↑ ^{п – 1} п > 3 ↑ ^{п – 2} 3 + 2, и, следовательно, f _ω ( g _k + 2) > g _{k +1} + 2
ж _ω ( п ) > 2 ↑ ^{п – 1} n = (2 → n → n -1) = (2 → n → n -1 → 1) (используя обозначение цепочки стрелок Конвея )
ж _ω+1 ( п ) знак равно ж _ω^н( n ) > (2 → n → n -1 → 2) (поскольку если g _k ( n ) = X → n → k , то X → n → k +1 = g _k^н(1))
ж _{ω+ k} ( n ) > (2 → n → n -1 → k +1) > ( n → n → k )
ж _ω2 ( п ) знак равно ж _{ω+ п} ( п ) > ( п → п → п ) знак равно ( п → п → п → 1)
ж _{ω2+ k} ( п ) > ( п → п → п → k )
ж _ω3 ( п ) > ( п → п → п → п )
f _{ω k} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Цепочка из k +1 n' s)
ж _{ω ²}( n ) знак равно ж _{ω n} ( n ) > ( n → n → ... → n → n ) (Цепочка из n +1 n' s)

В некоторых невычислимых последовательностях

Функция занятого бобра Σ является примером функции, которая растет быстрее, чем любая вычислимая функция. Его ценность даже для относительно небольших затрат огромна. Значения Σ( n ) для n = 1, 2, 3, 4, 5 равны 1, 4, 6, 13, 4098. ^[15] (последовательность A028444 в OEIS ). Σ(6) неизвестно, но составляет не менее 10↑↑15.

Бесконечные числа

Хотя все числа, рассмотренные выше, очень велики, все же они определенно конечны . Некоторые области математики определяют бесконечные и трансфинитные числа . Например, алеф-ноль — это мощность бесконечного набора , натуральных чисел а алеф-один — следующее по величине кардинальное число. ${\mathfrak {c}}$ это мощность вещественных чисел . Предложение о том, что ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$ известна как гипотеза континуума .

См. также

Ссылки

^ Один миллион вещей: Визуальная энциклопедия ^{[ ненадежный источник? ]}
^ «Изучение больших чисел называется гогологией» ^{[ ненадежный источник? ]}
^ Бьянкони, Ева; Пиовесан, Эллисон; Факчин, Федерика; Берауди, Алина; Касадеи, Рафаэлла; Фрабетти, Флавия; Витале, Лоренца; Пеллери, Мария Кьяра; Тассани, Симона (ноябрь – декабрь 2013 г.). «Оценка количества клеток в организме человека» . Анналы биологии человека . 40 (6): 463–471. дои : 10.3109/03014460.2013.807878 . hdl : 11585/152451 . ISSN 1464-5033 . ПМИД 23829164 . S2CID 16247166 .
^ Ланденмарк Гонконг, Форган Д.Х., Кокелл CS (июнь 2015 г.). «Оценка общей ДНК в биосфере» . ПЛОС Биология . 13 (6): e1002168. дои : 10.1371/journal.pbio.1002168 . ПМЦ 4466264 . ПМИД 26066900 .
^ Нувер Р. (18 июля 2015 г.). «Подсчитаем всю ДНК на Земле» . Нью-Йорк Таймс . Нью-Йорк. ISSN 0362-4331 . Проверено 18 июля 2015 г.
^ Шеннон, Клод (март 1950 г.). «XXII. Программирование компьютера для игры в шахматы» (PDF) . Философский журнал . Ряд 7. 41 (314). Архивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2010 г. Проверено 25 января 2019 г.
^ Атомы во Вселенной . Вселенная сегодня. 30 июля 2009 г. Проверено 13 марта 2013 г.
^ Потеря информации в черных дырах и/или сознательных существах?, Дон Н. Пейдж, Методы теплового ядра и квантовая гравитация (1995), С.А. Фуллинг (редактор), стр. 461. Беседы по математике и ее приложениям, № 4, математический факультет Техасского университета A&M. arXiv : hep-th/9411193 . ISBN 0-9630728-3-8 .
^ Как получить Гуголплекс
↑ Карл Саган берет дополнительные вопросы из своего основного доклада CSICOP 1994 года «Чудо и скептицизм», Skeptical Inquirer. Архивировано 21 декабря 2016 года в Wayback Machine.
^ «GIMPS обнаружил самое большое известное простое число» . Отличный поиск простых чисел Мерсенна в Интернете . 21 декабря 2018 г.
^ По поводу сравнения с предыдущим значением: $10\uparrow ^{n}10<3\uparrow ^{n+1}3$ , поэтому начало 64 шагов с 1 вместо 4 более чем компенсирует замену чисел 3 на 10.
^ «Большие числа в МРОБ» . www.mrob.com . Проверено 13 мая 2021 г.
^ «Большие числа (стр. 2) в МРОБ» . www.mrob.com . Проверено 13 мая 2021 г.
^ «[2 июля 2024 г.] Мы доказали, что «BB(5) = 47 176 870» « . Вызов занятого бобра . 2 июля 2024 г. Проверено 4 июля 2024 г.

[1] Один миллион вещей: Визуальная энциклопедия ^{[ ненадежный источник? ]}

[2] «Изучение больших чисел называется гогологией» ^{[ ненадежный источник? ]}

[3] Бьянкони, Ева; Пиовесан, Эллисон; Факчин, Федерика; Берауди, Алина; Касадеи, Рафаэлла; Фрабетти, Флавия; Витале, Лоренца; Пеллери, Мария Кьяра; Тассани, Симона (ноябрь – декабрь 2013 г.). «Оценка количества клеток в организме человека» . Анналы биологии человека . 40 (6): 463–471. дои : 10.3109/03014460.2013.807878 . hdl : 11585/152451 . ISSN 1464-5033 . ПМИД 23829164 . S2CID 16247166 .

[4] Ланденмарк Гонконг, Форган Д.Х., Кокелл CS (июнь 2015 г.). «Оценка общей ДНК в биосфере» . ПЛОС Биология . 13 (6): e1002168. дои : 10.1371/journal.pbio.1002168 . ПМЦ 4466264 . ПМИД 26066900 .

[NYT-20150718-rn-5] Нувер Р. (18 июля 2015 г.). «Подсчитаем всю ДНК на Земле» . Нью-Йорк Таймс . Нью-Йорк. ISSN 0362-4331 . Проверено 18 июля 2015 г.

[6] Шеннон, Клод (март 1950 г.). «XXII. Программирование компьютера для игры в шахматы» (PDF) . Философский журнал . Ряд 7. 41 (314). Архивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2010 г. Проверено 25 января 2019 г.

[7] Атомы во Вселенной . Вселенная сегодня. 30 июля 2009 г. Проверено 13 марта 2013 г.

[page95-8] Потеря информации в черных дырах и/или сознательных существах?, Дон Н. Пейдж, Методы теплового ядра и квантовая гравитация (1995), С.А. Фуллинг (редактор), стр. 461. Беседы по математике и ее приложениям, № 4, математический факультет Техасского университета A&M. arXiv : hep-th/9411193 . ISBN 0-9630728-3-8 .

[9] Как получить Гуголплекс

[10] Карл Саган берет дополнительные вопросы из своего основного доклада CSICOP 1994 года «Чудо и скептицизм», Skeptical Inquirer. Архивировано 21 декабря 2016 года в Wayback Machine.

[11] «GIMPS обнаружил самое большое известное простое число» . Отличный поиск простых чисел Мерсенна в Интернете . 21 декабря 2018 г.

[12] По поводу сравнения с предыдущим значением: $10\uparrow ^{n}10<3\uparrow ^{n+1}3$ , поэтому начало 64 шагов с 1 вместо 4 более чем компенсирует замену чисел 3 на 10.

[13] «Большие числа в МРОБ» . www.mrob.com . Проверено 13 мая 2021 г.

[14] «Большие числа (стр. 2) в МРОБ» . www.mrob.com . Проверено 13 мая 2021 г.

[15] «[2 июля 2024 г.] Мы доказали, что «BB(5) = 47 176 870» « . Вызов занятого бобра . 2 июля 2024 г. Проверено 4 июля 2024 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

v т и Гипероперации
Primary	Successor (0) Addition (1) Multiplication (2) Exponentiation (3) Tetration (4) Pentation (5) Hexation (6)
Inverse for left argument	Predecessor (0) Subtraction (1) Division (2) Root extraction (3) Super-root (4)
Inverse for right argument	Predecessor (0) Subtraction (1) Division (2) Logarithm (3) Super-logarithm (4)
Related articles	Ackermann function Conway chained arrow notation Grzegorczyk hierarchy Knuth's up-arrow notation Steinhaus–Moser notation