Обозначение Кнута со стрелкой вверх

В математике обозначение Кнута стрелкой вверх — это метод записи очень больших целых чисел , введенный Дональдом Кнутом в 1976 году.

В своей статье 1947 г. Р. Л. Гудстейн ввел особую последовательность операций, которые сейчас называются гипероперациями . Гудштейн также предложил греческие названия тетрация , пентация и т. д. для расширенных операций, выходящих за рамки возведения в степень . Последовательность начинается с унарной операции ( функция-преемник с n = 0) и продолжается двоичными операциями сложения умножения ( n = 1), ( n = 2), возведения в степень ( n = 3), тетрации ( n = 4). ), пентация ( n = 5) и т. д. различные обозначения Для представления гиперопераций использовались . Одним из таких обозначений является $H_{n}(a,b)$.Обозначение Кнута со стрелкой вверх $\uparrow$ это другое. Например:

• единственная стрелка $\uparrow$ представляет возведение в степень (повторное умножение) $$2\uparrow 4=H_{3}(2,4)=2\times (2\times (2\times 2))=2^{4}=16$$
• двойная стрелка $\uparrow \uparrow$ представляет собой тетрацию (повторное возведение в степень) $$2\uparrow \uparrow 4=H_{4}(2,4)=2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow 2))=2^{2^{2^{2}}}=2^{16}=65,536$$
• тройная стрелка $\uparrow \uparrow \uparrow$ представляет собой пентацию (повторяющуюся тетрацию) $${\begin{aligned}2\uparrow \uparrow \uparrow 4=H_{5}(2,4)=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 4)\\&=\underbrace {2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow \dots ))} \;=\;\underbrace {\;2^{2^{\cdots ^{2}}}} \\&\;\;\;\;\;2\uparrow \uparrow 4{\mbox{ copies of }}2\;\;\;\;\;{\mbox{65,536 2s}}\\\end{aligned}}$$

Общее определение обозначения стрелки вверх следующее (для $a\geq 0,n\geq 1,b\geq 0$): $$a\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(a,b)=a[n+2]b.$$Здесь, $\uparrow ^{n}$ означает n стрелок, например $$2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=2\uparrow ^{4}3.$$Квадратные скобки — еще одно обозначение гиперопераций.

Введение

Гипероперации сложения естественным образом расширяют арифметические операции умножения и . следующим образом Сложение на натуральное число определяется как итеративное приращение:

${\begin{matrix}H_{1}(a,b)=a+b=&a+\underbrace {1+1+\dots +1} \\&b{\mbox{ copies of }}1\end{matrix}}$

Умножение на натуральное число определяется как повторяющееся сложение :

${\begin{matrix}H_{2}(a,b)=a\times b=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}$

Например,

${\begin{matrix}4\times 3&=&\underbrace {4+4+4} &=&12\\&&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}$

Возведение в степень естественной степени $b$ определяется как повторяющееся умножение, которое Кнут обозначил одной стрелкой вверх:

${\begin{matrix}a\uparrow b=H_{3}(a,b)=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}$

Например,

${\begin{matrix}4\uparrow 3=4^{3}=&\underbrace {4\times 4\times 4} &=&64\\&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}$

Тетрация определяется как повторяющееся возведение в степень, которое Кнут обозначил «двойной стрелкой»:

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b=H_{4}(a,b)=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}$

Например,

${\begin{matrix}4\uparrow \uparrow 3=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}&\approx &1.34078079\times 10^{154}&\\&3{\mbox{ copies of }}4&&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}$

Выражения оцениваются справа налево, поскольку операторы определены как правоассоциативные .

Согласно этому определению,

$3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27$

$3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987$

$3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}\approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}$

$3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{3^{27}}}=3^{3^{7625597484987}}\approx 3^{1.2580143\times 10^{3638334640024}}$

и т. д.

Это уже приводит к довольно большим числам, но последовательность гипероператоров на этом не заканчивается.

Пентация , определяемая как повторяющаяся тетрация, представлена ​​«тройной стрелкой»:

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=H_{5}(a,b)=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}$

Гексация , определяемая как повторяющаяся пентация, представлена ​​«четверной стрелкой»:

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=H_{6}(a,b)=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}$

и так далее. Общее правило заключается в том, что $n$Оператор -стрелка разворачивается в правоассоциативный ряд ( $n-1$)-стрелочные операторы. Символически,

${\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n}\ b=\underbrace {a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (\dots \ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ a))} _{b{\text{ copies of }}a}\end{matrix}}$

Примеры:

$3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987$

${\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3^{3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}}}} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}$

Обозначения

В таких выражениях, как $a^{b}$, обозначение возведения в степень обычно заключается в записи показателя степени $b$ как верхний индекс к базовому числу $a$. Но многие среды, такие как языки программирования и обычная текстовая электронная почта , не поддерживают набор надстрочных индексов . Люди приняли линейную систему обозначений $a\uparrow b$ для таких сред; стрелка вверх предполагает «возведение в степень». Если набор символов не содержит стрелки вверх, курсор вместо нее используется (^).

Надстрочное обозначение $a^{b}$ не поддается обобщению, что объясняет, почему Кнут решил работать с использованием встроенной записи. $a\uparrow b$ вместо.

$a\uparrow ^{n}b$ — более короткое альтернативное обозначение для n стрелок. Таким образом $a\uparrow ^{4}b=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b$.

Запись обозначений со стрелкой вверх в терминах степеней

Попытка написать $a\uparrow \uparrow b$ использование знакомой надстрочной записи дает энергетическую башню .

Например: $a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^{a}}}$

Если b — переменная (или слишком большая), электробашню можно записать с помощью точек и примечания, указывающего высоту башни.

$a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{b}$

Продолжая эти обозначения, $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ можно было бы написать с помощью стопки таких силовых башен, каждая из которых описывает размер той, что находится над ней.

$a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a))=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}$

Опять же, если b — переменная или слишком велика, стек можно записать с помощью точек и примечания, указывающего его высоту.

$a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b$

Более того, $a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b$ может быть записано с использованием нескольких столбцов таких стопок энергетических башен, причем каждый столбец описывает количество энергетических башен в стопке слева от него:

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a))=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a$

И вообще:

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}$

Это может осуществляться на неопределенный срок для представления $a\uparrow ^{n}b$ как многократное возведение в степень повторного возведения в степень для любых a , n и b (хотя это явно становится довольно громоздким).

Использование тетрации

Обозначение Руди Ракера $^{b}a$ поскольку тетрация позволяет нам сделать эти диаграммы немного проще, сохраняя при этом геометрическое представление (мы могли бы назвать эти башни тетрации ).

$a\uparrow \uparrow b={}^{b}a$

$a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{b}$

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b$

Наконец, в качестве примера можно привести четвертое число Аккермана. $4\uparrow ^{4}4$ может быть представлено как:

$\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{4}}}=\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{^{^{^{4}4}4}4}}$

Обобщения

Некоторые числа настолько велики, что несколько стрелок в обозначении Кнута, направленном вверх, становятся слишком громоздкими; затем оператор n -стрелка $\uparrow ^{n}$ полезен (а также для описаний с переменным количеством стрелок) или, что то же самое, гипероператоров .

Некоторые числа настолько велики, что даже этого обозначения недостаточно. Затем можно использовать обозначение цепочки стрелок Конвея : цепочка из трех элементов эквивалентна другим обозначениям, но цепочка из четырех или более элементов еще более эффективна.

${\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&a[n+2]b&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&{\mbox{(hyperoperation)}}&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}$

$6\uparrow \uparrow 4$ = $\underbrace {6^{6^{.^{.^{.^{6}}}}}} _{4}$, С $6\uparrow \uparrow 4$ = $6^{6^{6^{6}}}$ = $6^{6^{46,656}}$, Таким образом, результат получается $\underbrace {6^{6^{.^{.^{.^{6}}}}}} _{4}$

$10\uparrow (3\times 10\uparrow (3\times 10\uparrow 15)+3)$ = $\underbrace {100000...000} _{\underbrace {300000...003} _{\underbrace {300000...000} _{15}}}$ или $10^{3\times 10^{3\times 10^{15}}+3}$ (Петийон)

Даже быстрорастущие функции можно классифицировать с помощью порядкового анализа, называемого быстрорастущей иерархией . Быстрорастущая иерархия использует последовательную итерацию функций и диагонализацию для систематического создания быстрорастущих функций из некоторой базовой функции. $f(x)$. Для стандартной быстрорастущей иерархии с использованием $f_{0}(x)=x+1$, $f_{2}(x)$ уже демонстрирует экспоненциальный рост, $f_{3}(x)$ сравним с тетрационным ростом и ограничен сверху функцией, включающей первые четыре гипероператора; Затем, $f_{\omega }(x)$ сравнима с функцией Аккермана , $f_{\omega +1}(x)$ уже находится за пределами досягаемости индексированных стрелок, но может быть использован для аппроксимации числа Грэма и $f_{\omega ^{2}}(x)$ сравнимо с обозначением цепочки стрел Конвея произвольной длины.

Все эти функции вычислимы. Даже более быстрые вычислимые функции, такие как последовательность Гудштейна и последовательность TREE , требуют использования больших порядковых номеров и могут встречаться в определенных комбинаторных и теоретико-доказательных контекстах. Существуют функции, которые растут невычислимо быстро, такие как Busy Beaver , сама природа которых будет совершенно недоступна для любого анализа, направленного вверх, или даже для любого порядкового анализа.

Определение

Без ссылки на гипероперацию операторы со стрелкой вверх могут быть формально определены как

$a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a^{b},&{\text{if }}n=1;\\1,&{\text{if }}n>1{\text{ and }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{otherwise }}\end{cases}}$

для всех целых чисел $a,b,n$ с $a\geq 0,n\geq 1,b\geq 0$.

В этом определении используется возведение в степень $(a\uparrow ^{1}b=a\uparrow b=a^{b})$ как базовый вариант, и тетрация $(a\uparrow ^{2}b=a\uparrow \uparrow b)$ как многократное возведение в степень. Это эквивалентно последовательности гиперопераций, за исключением того, что в ней отсутствуют три основные операции: последовательность , сложение и умножение .

Альтернативно можно выбрать умножение $(a\uparrow ^{0}b=a\times b)$ в качестве базового случая и выполнять итерацию оттуда. Тогда возведение в степень становится повторным умножением. Формальное определение будет

$a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a\times b,&{\text{if }}n=0;\\1,&{\text{if }}n>0{\text{ and }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{otherwise }}\end{cases}}$

для всех целых чисел $a,b,n$ с $a\geq 0,n\geq 0,b\geq 0$.

Обратите внимание, однако, что Кнут не давал определения «стреле нуля» ( $\uparrow ^{0}$). Можно было бы расширить обозначение до отрицательных индексов (n ≥ -2) таким образом, чтобы согласовать всю последовательность гиперопераций, за исключением задержки индексации:

$H_{n}(a,b)=a[n]b=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 0.$

Операция «стрелка вверх» является правоассоциативной операцией , т. е. $a\uparrow b\uparrow c$ понимается как $a\uparrow (b\uparrow c)$, вместо $(a\uparrow b)\uparrow c$. Если двусмысленность не является проблемой, круглые скобки иногда опускаются.

Таблицы значений

Вычисление 0↑ ^н  б

Вычисление $0\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(0,b)=0[n+2]b$ приводит к

0, когда n = 0

1, когда n = 1 и b = 0

0, когда n = 1 и b > 0

1, когда n > 1 и b четно (включая 0)

0, когда n > 1 и b нечетно

Вычисления 2↑ ^н  б

Вычисление $2\uparrow ^{n}b$ можно переформулировать в терминах бесконечной таблицы. Расставляем цифры $2^{b}$ в верхней строке и заполните левый столбец значениями 2. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу слева, затем найдите нужное число в предыдущей строке, в позиции, заданной только что взятым числом. .

Ценности $2\uparrow ^{n}b$ = $H_{n+2}(2,b)$ = $2[n+2]b$ = 2 → б → п

б ⁿ	1	2	3	4	5	6	формула
1	2	4	8	16	32	64	$2^{b}$
2	2	4	16	65536	$2^{65{,}536}\approx 2.0\times 10^{19{,}728}$	$2^{2^{65{,}536}}\approx 10^{6.0\times 10^{19{,}727}}$	$2\uparrow \uparrow b$
3	2	4	65536	${\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65{,}536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65{,}536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65{,}536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}$	$2\uparrow \uparrow \uparrow b$
4	2	4	${\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65{,}536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65{,}536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65{,}536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65{,}536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}$	$2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b$

Таблица такая же, как и у функции Аккермана , за исключением смещения $n$ и $b$и добавление 3 ко всем значениям.

Вычисления 3↑ ^н  б

Расставляем цифры $3^{b}$ в верхней строке и заполните левый столбец значениями 3. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу слева, затем найдите нужное число в предыдущей строке, в позиции, заданной только что взятым числом. .

Ценности $3\uparrow ^{n}b$ = $H_{n+2}(3,b)$ = $3[n+2]b$ = 3 → б → п

б ⁿ	1	2	3	4	5	формула
1	3	9	27	81	243	$3^{b}$
2	3	27	7,625,597,484,987	$3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}\approx 1.3\times 10^{3{,}638{,}334{,}640{,}024}$	$3^{3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}}$	$3\uparrow \uparrow b$
3	3	7,625,597,484,987	${\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}$	$3\uparrow \uparrow \uparrow b$
4	3	${\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}$	$3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b$

Вычисления 4↑ ^н  б

Расставляем цифры $4^{b}$ в верхней строке и заполните левый столбец значениями 4. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу слева, затем найдите нужное число в предыдущей строке, в позиции, заданной только что взятым числом. .

Ценности $4\uparrow ^{n}b$ = $H_{n+2}(4,b)$ = $4[n+2]b$ = 4 → б → п

б ⁿ	1	2	3	4	5	формула
1	4	16	64	256	1024	$4^{b}$
2	4	256	$4^{256}\approx 1.34\times 10^{154}$	$4^{4^{256}}\approx 10^{8.0\times 10^{153}}$	$4^{4^{4^{256}}}$	$4\uparrow \uparrow b$
3	4	$4^{4^{256}}\approx 10^{8.0\times 10^{153}}$	${\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{4^{256}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{4^{256}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{4^{256}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}$	$4\uparrow \uparrow \uparrow b$
4	4	${\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{4^{256}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{4^{256}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{4^{256}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{4^{256}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}$	$4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b$

Вычисления 10↑ ^н  б

Расставляем цифры $10^{b}$ в верхней строке и заполните левый столбец значениями 10. Чтобы определить число в таблице, возьмите число сразу слева, затем найдите нужное число в предыдущей строке, в позиции, заданной только что взятым числом. .

Ценности $10\uparrow ^{n}b$ = $H_{n+2}(10,b)$ = $10[n+2]b$ = 10 → б → п

б ⁿ	1	2	3	4	5	формула
1	10	100	1,000	10,000	100,000	$10^{b}$
2	10	10,000,000,000	$10^{10,000,000,000}$	$10^{10^{10,000,000,000}}$	$10^{10^{10^{10,000,000,000}}}$	$10\uparrow \uparrow b$
3	10	${\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}$	$10\uparrow \uparrow \uparrow b$
4	10	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}$	$10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b$

При 2 ≤ b ≤ 9 порядок чисел $10\uparrow ^{n}b$ - это лексикографический порядок , где n является наиболее значимым числом, поэтому для номеров этих 8 столбцов нумерационный порядок является просто построчным. То же самое относится и к числам в 97 столбцах с 3 ≤ b ≤ 99, и если мы начнем с n = 1, даже для 3 ≤ b ≤ 9 999 999 999.

См. также

• Примитивная рекурсия
• Гипероперация
• Занятой бобер
• Обозначение полосы Катлера
• Тетрация
• Пентация
• функция Аккермана
• номер Грэма
• Обозначения Штейнгауза – Мозера

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Обозначение Кнута со стрелкой вверх» . Математический мир .
• Роберт Мунафо, Большие числа: высшие гипероператоры