Список неполных доказательств

Эта статья о математических доказательствах, которые в некотором роде неполны. Их не следует путать с математическими доказательствами, относящимися к теме неполноты, такими как теоремы Гёделя о неполноте и т. д.

На этой странице перечислены известные примеры неполных опубликованных математических доказательств . Большинство из них считались правильными в течение нескольких лет, но позже выяснилось, что они содержат пробелы. Есть оба примера, когда позднее было найдено полное доказательство и когда предполагаемый результат оказался ложным.

подтвердились

• Евклида Элементы . Доказательства Евклида по существу верны, но, строго говоря, иногда содержат пробелы, поскольку он молчаливо использует некоторые невысказанные предположения, такие как существование точек пересечения . В 1899 году Дэвид Гильберт дал полный набор аксиом ( второго порядка ) евклидовой геометрии, названный аксиомами Гильберта , а между 1926 и 1959 годами Тарский дал несколько полных наборов аксиом первого порядка , названных аксиомами Тарского .
• Изопериметрическое неравенство . Для трех измерений он утверждает, что форма, охватывающая максимальный объем для площади ее поверхности, является сферой. Она была сформулирована Архимедом , но строго доказана только в XIX веке Германом Шварцем .
• Бесконечно малые . В 18 веке в исчислении широко использовались бесконечно малые числа, хотя они не были четко определены. Исчисление было заложено на прочный фундамент в 19 веке, а Робинсон заложил строгую основу для бесконечно малых с введением нестандартного анализа в 20 веке.
• Основная теорема алгебры (см. Историю ). В XVIII веке было предпринято множество неполных или неверных попыток доказать эту теорему, в том числе Даламбером (1746 г.), Эйлером (1749 г.), де Фонсенексом (1759 г.), Лагранжем (1772 г.), Лапласом (1795 г.), Вудом (1798 г.). и Гаусс (1799). Первое строгое доказательство было опубликовано Арганом в 1806 году.
• Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях . В 1808 году Лежандр опубликовал попытку доказательства теоремы Дирихле, но, как указал Дюпре в 1859 году, одна из лемм, использованных Лежандром, неверна. Дирихле дал полное доказательство в 1837 году.
• Доказательства теоремы Кронекера-Вебера Кронекера Вебера (1853 г.) и ( 1886 г.) имели пробелы. Первое полное доказательство было дано Гильбертом в 1896 году.
• В 1879 году Альфред Кемпе опубликовал предполагаемое доказательство теоремы о четырёх цветах , чья достоверность в качестве доказательства признавалась в течение одиннадцати лет, прежде чем она была опровергнута Перси Хивудом . Питер Гатри Тейт дал еще одно неверное доказательство в 1880 году, ошибочность которого была показана Юлиусом Петерсеном в 1891 году. Однако доказательства Кемпе было достаточно, чтобы показать более слабую теорему о пяти цветах . Теорема о четырех цветах была доказана Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном в 1976 году.
• Теорема Шредера–Бернштейна . В 1896 году Шредер опубликовал эскиз доказательства. который, однако, был признан ошибочным Алвином Рейнхольдом Корсельтом в 1911 году. (подтверждено Шредером).
• Теорема Жордана о кривой . Были некоторые разногласия по поводу того, содержит ли первоначальное доказательство Джордана этого в 1887 году пробелы. Освальд Веблен в 1905 году утверждал, что доказательство Джордана неполное, но в 2007 году Хейлз сказал, что пробелы незначительны и что доказательство Джордана по существу завершено.
• В 1905 году Лебег попытался доказать (правильный) результат о том, что функция, неявно определенная функцией Бэра, является функцией Бэра, но его доказательство ошибочно предполагало, что проекция борелевского множества является борелевской. Суслин указал на ошибку и вдохновился ею на определение аналитических множеств как непрерывных изображений борелевских множеств.
• Лемма Дена . Ден опубликовал попытку доказательства в 1910 году, но Кнезер обнаружил пробел в 1929 году. Окончательно оно было доказано в 1956 году Христосом Папакириакопулосом .
• Шестнадцатая проблема Гильберта о конечности числа предельных циклов плоского полиномиального векторного поля. Анри Дюлак опубликовал частичное решение этой проблемы в 1923 году, но примерно в 1980 году Экаль и Ильяшенко независимо друг от друга обнаружили серьезный пробел и исправили его примерно в 1991 году.
• В 1929 году Лазарь Люстерник и Лев Шнирельман опубликовали доказательство теоремы о трёх геодезических , которое позже оказалось ошибочным. Доказательство было завершено Вернером Баллманом примерно 50 лет спустя.
• Правило Литтлвуда-Ричардсона . Робинсон опубликовал неполное доказательство в 1938 году, хотя в течение многих лет пробелы не замечались. Первые полные доказательства были даны Марселем-Полем Шютценбергером в 1977 году и Томасом в 1974 году.
• Числа классов мнимых квадратичных полей . В 1952 году Хигнер опубликовал решение этой проблемы. Его статья не была принята как полное доказательство, поскольку в ней содержался пробел, а первые полные доказательства были даны примерно в 1967 году Бейкером и Старком . В 1969 году Старк показал, как заполнить пробел в статье Хигнера.
• В 1954 году Игорь Шафаревич опубликовал доказательство того, что каждая конечная разрешимая группа является группой Галуа над рациональными числами . Однако Шмидт указал на пробел в рассуждении в простом числе 2, который Шафаревич зафиксировал в 1989 году.
• Проблема реализации Нильсена . Кравец утверждал, что решил эту проблему в 1959 году, впервые показав, что пространство Тейхмюллера отрицательно искривлено, но в 1974 году Мазур показал, что оно не искривлено отрицательно. Проблема реализации Нильсена была окончательно решена в 1980 году Керкхоффом .
• Проблема Ямабе . Ямабе заявил о своем решении в 1960 году, но Трудингер обнаружил пробел в 1968 году, а полное доказательство было дано только в 1984 году.
• Гипотеза Морделла о функциональных полях . Манин опубликовал доказательство в 1963 году, но Коулман (1990) нашел и исправил пробел в доказательстве.
• В 1973 году Бриттон опубликовал 282-страничную попытку решения проблемы Бернсайда . В своем доказательстве он предполагал существование набора параметров, удовлетворяющих некоторым неравенствам, но Адян указал, что эти неравенства противоречивы. Новиков и Адян ранее нашли правильное решение примерно в 1968 году.
• Классификация конечных простых групп . В 1983 году Горенштейн объявил, что доказательство классификации завершено, однако его дезинформировали о статусе доказательства классификации квазитонких групп , имевшего в себе серьезный пробел. Полное доказательство этого случая было опубликовано Ашбахером и Смитом в 2004 году.
• Гипотеза Кеплера . Сян опубликовал неполное доказательство этого в 1993 году. В 1998 году Хейлз опубликовал доказательство, основанное на длительных компьютерных вычислениях.

Неправильные результаты

• не существует закрытых ходов коня , но в 1917 году Эрнест Бергхольт обнаружил обходы на досках 3 по 10 и 3 по 12. В 1759 году Эйлер утверждал, что на шахматной доске с тремя рядами
• Гипотеза Эйлера о греко-латинских квадратах . В 1780-х годах Эйлер предположил, что таких квадратов не существует ни для какого нечетно четного числа n ≡ 2 (mod 4). В 1959 году Р. К. Бозе и С. С. Шриханде построили контрпримеры 22-го порядка. Затем Э. Т. Паркер нашел контрпример 10-го порядка с помощью одночасового компьютерного поиска. Наконец Паркер, Бозе и Шрикханде доказали, что эта гипотеза неверна для всех n ≥ 10.
• В 1798 году А. М. Лежандр утверждал, что 6 не является суммой двух рациональных кубов. что, как указал Ламе в 1865 году, неверно, поскольку 6 = (37/21) ³  + (17/21) ³ .
• В 1803 году Джан Франческо Мальфатти заявил, что доказал, что определенное расположение трех кругов покрывает максимально возможную площадь внутри прямоугольного треугольника. Однако для этого он сделал некоторые необоснованные предположения о конфигурации кругов. В 1930 году было показано, что круги другой конфигурации могут покрывать большую площадь, а в 1967 году было показано, что конфигурация Малфатти никогда не была оптимальной. См. круги Малфатти .
• В 1806 году Андре-Мари Ампер заявил, что доказал, что функция дифференцируема непрерывная в большинстве точек (хотя не совсем ясно, что он утверждал, поскольку он не дал точного определения функции). Однако в 1872 году Вейерштрасс привел пример непрерывной функции, которая нигде не была дифференцируемой: Функция Вейерштрасса .
• Теория пересечений . В 1848 году Штейнер утверждал, что число коник, касающихся 5 данных коник, равно 7776 = 6. ⁵ , но позже понял, что это было неправильно. Правильное число 3264 было найдено Бернером в 1865 году, Эрнестом де Жонкьером около 1859 года и Шалем в 1864 году с использованием его теории характеристик. Однако эти результаты, как и многие другие результаты классической теории пересечений, похоже, не получили полных доказательств до работы Фултона и Макферсона примерно в 1978 году.
• Принцип Дирихле . Это использовал Риман в 1851 году, но Вейерштрасс нашел контрпример одной версии этого принципа в 1870 году, а Гильберт сформулировал и доказал правильную версию в 1900 году.
• Кэли ( 1878 ) ошибочно утверждал, что существует три различные группы порядка . 6. Эта ошибка странна, поскольку в более ранней статье 1854 года он правильно заявил, что таких групп всего две
• в Фреге Основы математики его книге «Begriffsschrift» 1879 года оказались противоречивыми из-за парадокса Рассела , обнаруженного в 1901 году.
• В 1885 году Евграф Федоров классифицировал выпуклые многогранники с равными ромбическими гранями, но упустил один случай. Станко Билинский в 1960 году заново открыл додекаэдр Билинского (забытый после его предыдущей публикации в 1752 году) и доказал, что с добавлением этой формы классификация была завершена.
• Вронскианцы . В 1887 году Мэншн утверждал в своем учебнике, что если вронскиан некоторых функций повсюду исчезает, то эти функции линейно зависимы. В 1889 году Пеано указал на контрпример x. ² и х | х |. Результат верен, если функции аналитические .
• Вален ( 1891 ) опубликовал предполагаемый пример алгебраической кривой в трехмерном проективном пространстве , которую нельзя было определить как нули трех полиномов, но в 1941 году Перрон нашел три уравнения, определяющие кривую Валена. В 1961 году Кнезер показал, что любая алгебраическая кривая в проективном 3-мерном пространстве может быть задана как нули трех полиномов.
• В 1898 году Миллер опубликовал статью, в которой ошибочно утверждалось, что группа Матье M ₂₄ не существует, хотя в 1900 году он указал, что его доказательство неверно.
• Литтл В 1900 году заявил, что изгиб диаграммы приведенного узла является инвариантом. Однако в 1974 году Перко обнаружил контрпример, названный парой Перко , парой узлов, которые в течение многих лет числились в таблицах как отдельные, но на самом деле являются одним и тем же.
• Двадцать первая проблема Гильберта . В 1908 году Племель заявил, что доказал существование фуксовых дифференциальных уравнений с любой заданной группой монодромии , но в 1989 году Болибрух обнаружил контрпример.
• В 1925 году Акерман опубликовал доказательство того, что слабая система может доказать непротиворечивость той или иной версии анализа, но фон Нейман несколько лет спустя обнаружил в нем явную ошибку. Теоремы Гёделя о неполноте показали, что невозможно доказать непротиворечивость анализа, используя более слабые системы.
• Группы порядка 64. В 1930 году Миллер опубликовал статью, в которой утверждалось, что существует 294 группы порядка 64. Холл и Сениор показали в 1964 году, что правильное число — 267.
• Первоначальная опубликованная попытка Чёрча в 1932 году определить формальную систему была непоследовательной, как и его исправление в 1933 году. Непротиворечивой частью его системы позже стало лямбда -исчисление .
• Курт Гёдель доказал в 1933 году истинность некоторого класса предложений арифметики первого порядка , известного в литературе как [∃ ^* ∀ ² ∃ ^* , все , (0)], было разрешимо . То есть существовал метод правильного решения, истинно ли какое-либо утверждение такой формы. В последнем предложении этой статьи он утверждал, что то же доказательство будет работать для разрешимости большего класса [∃ ^* ∀ ² ∃ ^* , all , (0)] ₌ , что также включает формулы, содержащие предикат равенства. Однако в середине 1960-х годов Стол Андераа показал, что доказательство Гёделя не пройдет для более широкого класса, а в 1982 году Уоррен Гольдфарб показал, что достоверность формул более широкого класса фактически неразрешима.
• Теорема Грюнвальда–Ванга . Вильгельм Грюнвальд опубликовал в 1933 году неверное доказательство неверной теоремы, а Джордж Уэплс позже опубликовал еще одно неверное доказательство. Шианхао Ван нашел контрпример в 1948 году и опубликовал исправленную версию теоремы в 1950 году.
• В 1934 году Севери заявил, что пространство классов рациональной эквивалентности циклов на алгебраической поверхности конечномерно, но Мамфорд (1968) показал, что это неверно для поверхностей положительного геометрического рода.
• Куайн опубликовал свое первоначальное описание системы «Математическая логика» в 1940 году, но в 1942 году Россер показал ее противоречивость. Ван нашел исправление в 1950 году; последовательность этой пересмотренной системы все еще неясна.
• Один из многих примеров из алгебраической геометрии первой половины 20-го века: Севери (1946) утверждал, что поверхность степени n в трехмерном проективном пространстве имеет не более ( ^{п +2}
  ₃ )−4 узла, Б. Сегре указывал, что это неверно; например, для степени 6 максимальное количество узлов составляет 65, что достигается секстиком Барта , что больше, чем максимум в 52, заявленный Севери.
• Инвариант Рохлина . В 1951 году Рохлин ошибочно утверждал, что третий устойчивый стебель гомотопических групп сфер имеет порядок 12. В 1952 году он обнаружил свою ошибку: на самом деле он цикличен 24-го порядка. Это различие имеет решающее значение, поскольку оно приводит к существованию инвариант, фундаментальный инструмент в теории 3- и 4-мерных многообразий .
• В 1961 году Ян-Эрик Роос опубликовал неверную теорему об обращении в нуль первого производного функтора обратного предельного функтора при некоторых общих условиях. Однако в 2002 году Амнон Ниман построил контрпример. В 2006 году Роос показал, что теорема верна, если добавить предположение, что категория имеет набор образующих .
• Множитель Шура группы Матье M ₂₂ особенно известен, поскольку в его расчетах неоднократно допускались ошибки: Бургойн и Фонг (1966) сначала утверждали, что он имеет порядок 3, затем в исправлении 1968 года заявили, что он имеет порядок 6; ее порядок на самом деле равен (в настоящее время считается) 12. Это вызвало ошибку в названии Новая статьи Янко. конечная простая группа порядка 86 775 570 046 077 562 880, которая обладает M ₂₄ и полной накрывающей группой M ₂₂ в качестве подгруппы на J4 : у него нет полной покрывающей группы в качестве подгруппы, поскольку полная покрывающая группа больше, чем предполагалось в то время.
• В первоначальном утверждении классификации N-групп Томпсона , в 1968 году группа Титса случайно была опущена хотя вскоре он это исправил.
• В 1967 году Рейнхардт предложил кардиналов Рейнхардта , которые, как показал Кунен , несовместимы с ZFC в 1971 году, хотя неизвестно, что они несовместимы с ZF .
• Пера Мартина-Лёфа, Первоначальная версия интуиционистской теории типов в 1972 году как несостоятельная предложенная в 1971 году, была показана Жан-Ивом Жираром и была заменена исправленной версией.
• В 1975 году Лейтцель, Мадан и Куин ошибочно заявили, что существует только 7 функциональных полей над конечными полями с родом > 0 и номером класса 1, но в 2013 году Стирп нашел еще одно; на самом деле их ровно 8.
• Задача Буземана–Петти . Чжан опубликовал две статьи в Annals of Mathematics в 1994 и 1999 годах, в первой из которых он доказал, что проблема Буземана – Петти в R ⁴ имеет отрицательное решение, а во втором из них он доказал, что она имеет положительное решение.
• Алгебраические стеки . В книге Laumon & Moret-Bailly (2000) об алгебраических стеках ошибочно утверждается, что морфизмы алгебраических стеков индуцируют морфизмы lisse-этальных топосов . Результаты, зависящие от этого, были исправлены Олссоном (2007) .

Статус неясен

• Равномерная сходимость . В своем «Курсе анализа» 1821 года Коши «доказал», что если сумма непрерывных функций сходится поточечно , то ее предел также непрерывен. Однако три года спустя Абель заметил, что это не так. Чтобы вывод был верным, «поточечную сходимость» необходимо заменить на « равномерную сходимость ». Не совсем ясно, был ли первоначальный результат Коши неверным, поскольку его определение поточечной сходимости было немного расплывчатым и, возможно, было более сильным, чем то, которое используется в настоящее время, и существуют способы интерпретировать его результат так, чтобы он был правильным. Существует множество контрпримеров, использующих стандартное определение поточечной сходимости. Например, ряд Фурье функций синуса и косинуса , все непрерывные, может сходиться поточечно к разрывной функции, такой как ступенчатая функция .
• Гипотеза Кармайкла о полной функции была сформулирована как теорема Робертом Дэниелом Кармайклом в 1907 году, но в 1922 году он указал, что его доказательство было неполным. По состоянию на 2016 год проблема все еще открыта.
• Итальянская школа алгебраической геометрии . Большинство пробелов в доказательствах вызвано либо тонким техническим недосмотром, либо до 20 века отсутствием точных определений. Серьезным исключением из этого правила является итальянская школа алгебраической геометрии первой половины 20 века, где постепенно стали приемлемыми более низкие стандарты строгости. В результате появилось множество работ в этой области, в которых доказательства неполны или теоремы сформулированы неточно. В этом списке есть несколько показательных примеров, где результат был не только не полностью доказан, но и безнадежно ошибочен.
• В 1933 году Джордж Дэвид Биркгоф и Вальдемар Джозеф Трицинский опубликовали очень общую теорему. об асимптотике последовательностей, удовлетворяющих линейным рекуррентам. Теорема была популяризирована Джетом Вимпом и Дороном Зейлбергером в 1985 году. Однако, хотя результат, вероятно, верен, на данный момент (2021 г.) доказательство Биркгофа и Трицинского не является общепринятым среди экспертов, и теорема (признанно) доказывается только в особых случаях.
• Якобианская гипотеза . Келлер задал этот вопрос как вопрос в 1939 г., и в последующие несколько лет было опубликовано несколько неполных доказательств, в том числе 3 Б. Сегре, но Витушкин во многих из них нашел пробелы. Гипотеза о якобиане (по состоянию на 2016 год) является открытой проблемой, и регулярно объявляются новые неполные доказательства. Хайман Басс, Эдвин Х. Коннелл и Дэвид Райт ( 1982 ) обсуждают ошибки в некоторых из этих неполных доказательств.
• Усиление шестнадцатой проблемы Гильберта , спрашивающей, существует ли равномерная конечная верхняя оценка числа предельных циклов плоских полиномиальных векторных полей заданной степени n . В 1950-х годах Евгений Ландис и Иван Петровский опубликовали предполагаемое решение, но в начале 1960-х годов оно оказалось ошибочным.
• В 1954 году Заранкевич утверждал, что решил задачу Турана о кирпичном заводе о количестве пересечений полных двудольных графов , но Кайнен и Рингель позже заметили пробел в его доказательстве.
• Сложные структуры на 6-сфере. статью, В 1969 году Альфред Адлер опубликовал в Американском журнале математики в которой утверждалось, что 6-сфера не имеет сложной структуры. Его аргументы были неполными, и это (по состоянию на 2016 год) все еще остается серьезной открытой проблемой.
• Закрытая геодезия . В 1978 году Вильгельм Клингенберг опубликовал доказательство того, что гладкие компактные многообразия без края имеют бесконечное количество замкнутых геодезических. Его доказательство было спорным, и в настоящее время (по состоянию на 2016 год) нет единого мнения о том, является ли его доказательство полным.
• Гипотеза о телескопе . Равенел заявил об опровержении этого утверждения в 1992 году, но позже отозвал его, и гипотеза до сих пор остается открытой.
• Пакеты Матроидов. В 2003 году Дэниел Бисс опубликовал в журнале Annals of Mathematics статью, в которой утверждалось, что расслоения матроидов эквивалентны реальным векторным расслоениям, но в 2009 году опубликовал поправку, указывающую на серьезный пробел в доказательстве. Его исправление было основано на статье Мнева 2007 года.
• В 2012 году японский математик Синити Мотидзуки опубликовал в Интернете серию статей, в которых он утверждает, что доказал гипотезу abc . Несмотря на более позднюю публикацию в рецензируемом журнале, его доказательство не было признано правильным в основном математическом сообществе.

См. также

• Список длинных математических доказательств
• Список опровергнутых математических идей

Ссылки

• Басс, Хайман ; Коннелл, Эдвин Х.; Райт, Дэвид (1982), «Гипотеза Якобиана: понижение степени и формальное расширение обратной», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 7 (2): 287–330, doi : 10.1090/S0273-0979- 1982-15032-7 , ISBN  978-1-982150-32-7 , МР   0663785
• Бургойн, Н.; Фонг, Пол (1966), «Множители Шура групп Матье», Nagoya Mathematical Journal , 27 (2): 733–745, doi : 10.1017/S0027763000026519 , ISSN   0027-7630 , MR   0197542
• Кэли, А. (1878), «Желания и предложения: № 1. Теория групп», Am. Дж. Математика. , 1 (1): 50–52, номер документа : 10.2307/2369433 , JSTOR   2369433.
• Коулман, Роберт Ф. (1990), «Доказательство Манина гипотезы Морделла о функциональных полях», L'Enseignement Mathématique , 2e Série, 36 (3): 393–427, ISSN   0013-8584 , MR   1096426
• Лаумон, Жерар ; Море-Байи, Лоран (2000), Алгебрические поля , результаты математики и ее границы. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 39, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-65761-3 , МР   1771927
• Мамфорд, Дэвид (1968), «Рациональная эквивалентность 0-циклов на поверхностях», Журнал математики Киотского университета , 9 (2): 195–204, doi : 10.1215/kjm/1250523940 , ISSN   0023-608X , MR   0249428
• Олссон, Мартин (2007), «Пучки на стопках Артина», Журнал чистой и прикладной математики , 2007 (603): 55–112, doi : 10.1515/CRELLE.2007.012 , ISSN   0075-4102 , MR   2312554 , S2CID   15445962
• Рохлин В. А. (1951), "Классификация отображений (n+3)-мерной сферы в n-мерную", Доклады АН СССР , Новая серия, 81 : 19–22, МР   0046043
• Севери, Франческо (1946), «О максимальном количестве узлов поверхности данного порядка обычного пространства или формы оперпространства», Annali di Matematica Pura ed Applicata , Series 4, 25 : 1–41, doi : 10.1007/bf02418077 , ISSN   0003-4622 , S2CID   122620694
• Вален, К.Т. (1891), «Замечание о полном представлении кривых алгебраического пространства» , Дж. Рейн Ангью. Матем. , 108 : 346–347.

Дальнейшее чтение

Лека, Морис (1935), Ошибки математиков от истоков до наших дней , Брюссель — Лувен: Librairie Castaigne — Ém. Десбаракс — перечисляет более ста страниц (в основном тривиальных) опубликованных ошибок, допущенных математиками.

Внешние ссылки

• Письмо Дэвида Мамфорда об ошибках итальянской школы алгебраической геометрии под руководством Севери
• На первых девяти страницах [1] упоминаются примеры неверных результатов в теории гомотопий.

Вопросы MathOverflow

• Илья Никокошев, Самая интересная математическая ошибка?
• Кевин Баззард, какие ошибки на самом деле допустили итальянские алгебраические геометры?
• Уилл Джаги, Широко признанные математические результаты, которые позже оказались ошибочными?
• Джон Стиллвелл. Какие правильные результаты были получены при неверных (или без) доказательствах?
• Мориц. Теоремы снова понижены до уровня гипотез
• Мэй Чжан, доказательства оказались неверными после формализации с помощником по доказательству

Вопросы по StackExchange

• Стивен-Оуэн, Была ли когда-нибудь в истории математики ошибка?