Список неполных доказательств

Эта статья о математических доказательствах, которые в некотором роде неполны. Их не следует путать с математическими доказательствами, относящимися к теме неполноты, такими как теоремы Гёделя о неполноте и т. д.

На этой странице перечислены известные примеры неполных опубликованных математических доказательств . Большинство из них считались правильными в течение нескольких лет, но позже выяснилось, что они содержат пробелы. Есть оба примера, когда позднее было найдено полное доказательство и когда предполагаемый результат оказался ложным.

подтвердились

• Евклида Элементы . Доказательства Евклида по существу верны, но, строго говоря, иногда содержат пробелы, поскольку он молчаливо использует некоторые невысказанные предположения, такие как существование точек пересечения . В 1899 году Дэвид Гильберт дал полный набор аксиом ( второго порядка ) евклидовой геометрии, названный аксиомами Гильберта , а между 1926 и 1959 годами Тарский дал несколько полных наборов аксиом первого порядка , названных аксиомами Тарского .
• Изопериметрическое неравенство . Для трех измерений он утверждает, что форма, охватывающая максимальный объем площади поверхности, является сферой. Она была сформулирована Архимедом , но строго доказана только в XIX веке Германом Шварцем .
• Бесконечно малые . В 18 веке в исчислении широко использовались бесконечно малые числа, хотя они не были четко определены. Исчисление было заложено на прочную основу в 19 веке, а Робинсон заложил строгую основу для бесконечно малых с введением нестандартного анализа в 20 веке.
• Основная теорема алгебры (см. Историю ). В XVIII веке было предпринято множество неполных или неверных попыток доказать эту теорему, в том числе Даламбером (1746 г.), Эйлером (1749 г.), де Фонсенексом (1759 г.), Лагранжем (1772 г.), Лапласом (1795 г.), Вудом (1798 г.). и Гаусс (1799). Первое строгое доказательство было опубликовано Арганом в 1806 году.
• Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях . В 1808 году Лежандр опубликовал попытку доказательства теоремы Дирихле, но, как указал Дюпре в 1859 году, одна из лемм, использованных Лежандром, неверна. Дирихле дал полное доказательство в 1837 году.
• Доказательства теоремы Кронекера-Вебера Кронекера (1886 г. (1853 г.) и Вебера ) имели пробелы. Первое полное доказательство было дано Гильбертом в 1896 году.
• В 1879 году Альфред Кемпе опубликовал предполагаемое доказательство теоремы о четырёх цветах , чья достоверность в качестве доказательства признавалась в течение одиннадцати лет, прежде чем она была опровергнута Перси Хивудом . Питер Гатри Тейт дал еще одно неверное доказательство в 1880 году, ошибочность которого была показана Юлиусом Петерсеном в 1891 году. Однако доказательства Кемпе было достаточно, чтобы показать более слабую теорему о пяти цветах . Теорема о четырех цветах была доказана Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном в 1976 году.
• Теорема Шредера–Бернштейна . В 1896 году Шредер опубликовал эскиз доказательства. который, однако, был признан ошибочным Алвином Рейнхольдом Корсельтом в 1911 году. (подтверждено Шредером).
• Теорема Жордана о кривой . Были некоторые разногласия по поводу того, содержит ли первоначальное доказательство Джордана этого в 1887 году пробелы. Освальд Веблен в 1905 году утверждал, что доказательство Джордана неполное, но в 2007 году Хейлз сказал, что пробелы незначительны и что доказательство Джордана по существу завершено.
• В 1905 году Лебег попытался доказать (правильный) результат о том, что функция, неявно определенная функцией Бэра, является функцией Бэра, но его доказательство ошибочно предполагало, что проекция является борелевского множества борелевской. Суслин указал на ошибку и вдохновился ею на определение аналитических множеств как непрерывных изображений борелевских множеств.
• Лемма Дена . Ден опубликовал попытку доказательства в 1910 году, но Кнезер обнаружил пробел в 1929 году. Окончательно оно было доказано в 1956 году Христосом Папакириакопулосом .
• Шестнадцатая проблема Гильберта о конечности числа предельных циклов плоского полиномиального векторного поля. Анри Дюлак опубликовал частичное решение этой проблемы в 1923 году, но примерно в 1980 году Экаль и Ильяшенко независимо друг от друга обнаружили серьезный пробел и исправили его примерно в 1991 году.
• В 1929 году Лазарь Люстерник и Лев Шнирельман опубликовали доказательство теоремы о трёх геодезических , которое позже оказалось ошибочным. Доказательство было завершено Вернером Баллманом примерно 50 лет спустя.
• Правило Литтлвуда-Ричардсона . Робинсон опубликовал неполное доказательство в 1938 году, хотя в течение многих лет пробелы не замечались. Первые полные доказательства были даны Марселем-Полем Шютценбергером в 1977 году и Томасом в 1974 году.
• Числа классов мнимых квадратичных полей . В 1952 году Хигнер опубликовал решение этой проблемы. Его статья не была принята как полное доказательство, поскольку в ней содержался пробел, а первые полные доказательства были даны примерно в 1967 году Бейкером и Старком . В 1969 году Старк показал, как заполнить пробел в статье Хигнера.
• В 1954 году Игорь Шафаревич опубликовал доказательство того, что каждая конечная разрешимая группа является группой Галуа над рациональными числами . Однако Шмидт указал на пробел в рассуждении в простом числе 2, который Шафаревич зафиксировал в 1989 году.
• Проблема реализации Нильсена . Кравец утверждал, что решил эту проблему в 1959 году, впервые показав, что пространство Тейхмюллера отрицательно искривлено, но в 1974 году Мазур показал, что оно не искривлено отрицательно. Проблема реализации Нильсена была окончательно решена в 1980 году Керкхоффом .
• Проблема Ямабе . Ямабе заявил о своем решении в 1960 году, но Трудингер обнаружил пробел в 1968 году, а полное доказательство было дано только в 1984 году.
• Гипотеза Морделла о функциональных полях . Манин опубликовал доказательство в 1963 году, но Коулман (1990) нашел и исправил пробел в доказательстве.
• В 1973 году Бриттон опубликовал 282-страничную попытку решения проблемы Бернсайда . В своем доказательстве он предполагал существование набора параметров, удовлетворяющих некоторым неравенствам, но Адян указал, что эти неравенства противоречивы. Новиков и Адян ранее нашли правильное решение примерно в 1968 году.
• Классификация конечных простых групп . В 1983 году Горенштейн объявил, что доказательство классификации завершено, однако его дезинформировали о статусе доказательства классификации квазитонких групп , имевшего в себе серьезный пробел. Полное доказательство этого случая было опубликовано Ашбахером и Смитом в 2004 году.
• Гипотеза Кеплера . Сян опубликовал неполное доказательство этого в 1993 году. В 1998 году Хейлз опубликовал доказательство, основанное на длительных компьютерных вычислениях.

Неправильные результаты

• не существует закрытых ходов коня , но в 1917 году Эрнест Бергхольт обнаружил обходы на досках 3 по 10 и 3 по 12. В 1759 году Эйлер утверждал, что на шахматной доске с тремя рядами
• Гипотеза Эйлера о греко-латинских квадратах . В 1780-х годах Эйлер предположил, что таких квадратов не существует ни для какого нечетно четного числа n ≡ 2 (mod 4). В 1959 году Р. К. Бозе и С. С. Шриханде построили контрпримеры 22-го порядка. Затем Э. Т. Паркер нашел контрпример 10-го порядка с помощью одночасового компьютерного поиска. Наконец Паркер, Бозе и Шрикханде доказали, что эта гипотеза неверна для всех n ≥ 10.
• В 1798 году А. М. Лежандр утверждал, что 6 не является суммой двух рациональных кубов. что, как Ламе в 1865 году, неверно, поскольку 6 = (37/21) указал ³  + (17/21) ³ .
• В 1803 году Джан Франческо Мальфатти заявил, что доказал, что определенное расположение трех кругов покрывает максимально возможную площадь внутри прямоугольного треугольника. Однако для этого он сделал некоторые необоснованные предположения о конфигурации кругов. В 1930 году было показано, что круги другой конфигурации могут покрывать большую площадь, а в 1967 году было показано, что конфигурация Малфатти никогда не была оптимальной. См. круги Малфатти .
• В 1806 году Андре-Мари Ампер заявил, что доказал, что функция дифференцируема непрерывная в большинстве точек (хотя не совсем ясно, что он утверждал, поскольку он не дал точного определения функции). Однако в 1872 году Вейерштрасс привел пример непрерывной функции, которая нигде не была дифференцируемой: Функция Вейерштрасса .
• Теория пересечений . В 1848 году Штейнер утверждал, что число коник, касающихся 5 данных коник, равно 7776 = 6. ⁵ , но позже понял, что это было неправильно. Правильное число 3264 было найдено Бернером в 1865 году, Эрнестом де Жонкьером около 1859 года и Шалем в 1864 году с использованием его теории характеристик. Однако эти результаты, как и многие другие результаты классической теории пересечений, похоже, не получили полных доказательств до работы Фултона и Макферсона примерно в 1978 году.
• Принцип Дирихле . Это использовал Риман в 1851 году, но Вейерштрасс нашел контрпример одной версии этого принципа в 1870 году, а Гильберт сформулировал и доказал правильную версию в 1900 году.
• Кэли ( 1878 ) ошибочно утверждал, что существует три различные группы порядка 6. Эта ошибка странна, поскольку в более ранней статье 1854 года он правильно заявил, что таких групп всего две.
• в Фреге Основы математики его книге «Begriffsschrift» 1879 года оказались противоречивыми из-за парадокса Рассела , обнаруженного в 1901 году.
• В 1885 году Евграф Федоров классифицировал выпуклые многогранники с равными ромбическими гранями, но упустил один случай. Станко Билински в 1960 году заново открыл додекаэдр Билинского (забытый после его предыдущей публикации в 1752 году) и доказал, что с добавлением этой формы классификация была завершена.
• Вронскианцы . В 1887 году Мэншн утверждал в своем учебнике, что если вронскиан некоторых функций повсюду исчезает, то эти функции линейно зависимы. В 1889 году Пеано указал на контрпример x. ² и х | х |. Результат верен, если функции аналитические .
• Вален ( 1891 ) опубликовал предполагаемый пример алгебраической кривой в трехмерном проективном пространстве , которую нельзя было определить как нули трех полиномов, но в 1941 году Перрон нашел три уравнения, определяющие кривую Валена. В 1961 году Кнезер показал, что любая алгебраическая кривая в проективном 3-мерном пространстве может быть задана как нули трех полиномов.
• В 1898 году Миллер опубликовал статью, в которой ошибочно утверждалось, что группа Матье M ₂₄ не существует, хотя в 1900 году он указал, что его доказательство неверно.
• Литтл В 1900 году заявил, что изгиб диаграммы приведенного узла является инвариантом. Однако в 1974 году Перко обнаружил контрпример, названный парой Перко , парой узлов, которые в течение многих лет числились в таблицах как отдельные, но на самом деле являются одним и тем же.
• Двадцать первая проблема Гильберта . В 1908 году Племель заявил, что доказал существование фуксовых дифференциальных уравнений с любой заданной группой монодромии , но в 1989 году Болибрух обнаружил контрпример.
• В 1925 году Акерманн опубликовал доказательство того, что слабая система может доказать непротиворечивость той или иной версии анализа, но фон Нейман несколько лет спустя обнаружил в нем явную ошибку. Теоремы Гёделя о неполноте показали, что невозможно доказать непротиворечивость анализа, используя более слабые системы.
• Группы порядка 64. В 1930 году Миллер опубликовал статью, в которой утверждалось, что существует 294 группы порядка 64. Холл и Сениор показали в 1964 году, что правильное число — 267.
• Первоначальная опубликованная попытка Чёрча в 1932 году определить формальную систему была непоследовательной, как и его исправление в 1933 году. Непротиворечивой частью его системы позже стало лямбда-исчисление .
• Курт Гёдель доказал в 1933 году истинность некоторого класса предложений арифметики первого порядка , известного в литературе как [∃ ^* ∀ ² ∃ ^* , все , (0)], было разрешимо . То есть существовал метод правильного решения, истинно ли какое-либо утверждение такой формы. В последнем предложении этой статьи он утверждал, что то же доказательство будет работать для разрешимости большего класса [∃ ^* ∀ ² ∃ ^* , all , (0)] ₌ , что также включает формулы, содержащие предикат равенства. Однако в середине 1960-х годов Стол Андераа показал, что доказательство Гёделя не пройдет для более широкого класса, а в 1982 году Уоррен Гольдфарб показал, что достоверность формул более широкого класса фактически неразрешима.
• Теорема Грюнвальда–Ванга . Вильгельм Грюнвальд опубликовал в 1933 году неверное доказательство неверной теоремы, а Джордж Уэплс позже опубликовал еще одно неверное доказательство. Шианхао Ван нашел контрпример в 1948 году и опубликовал исправленную версию теоремы в 1950 году.
• В 1934 году Севери заявил, что пространство классов рациональной эквивалентности циклов на алгебраической поверхности конечномерно, но Мамфорд (1968) показал, что это неверно для поверхностей положительного геометрического рода.
• Куайн опубликовал свое первоначальное описание системы «Математическая логика» в 1940 году, но в 1942 году Россер показал ее противоречивость. Ван нашел исправление в 1950 году; последовательность этой пересмотренной системы все еще неясна.
• Один из многих примеров из алгебраической геометрии первой половины 20-го века: Севери (1946) утверждал, что поверхность степени n в трехмерном проективном пространстве имеет не более ( ^{п +2}
  ₃ )−4 узла, Б. Сегре указывал, что это неверно; например, для степени 6 максимальное количество узлов составляет 65, что достигается секстиком Барта , что больше, чем максимум в 52, заявленный Севери.
• Инвариант Рохлина . В 1951 году Рохлин ошибочно утверждал, что третий стабильный стебель гомотопических групп сфер имеет порядок 12. В 1952 году он обнаружил свою ошибку: на самом деле он цикличен 24-го порядка. Разница имеет решающее значение, поскольку приводит к существованию инвариант, фундаментальный инструмент в теории 3- и 4-мерных многообразий .
• В 1961 году Ян-Эрик Роос опубликовал неверную теорему об обращении в нуль первого производного функтора обратного предельного функтора при определенных общих условиях. Однако в 2002 году Амнон Ниман построил контрпример. В 2006 году Роос показал, что теорема верна, если добавить предположение, что категория имеет набор образующих .
• Множитель Шура группы Матье M ₂₂ особенно известен, поскольку в его расчетах неоднократно допускались ошибки: Бургойн и Фонг (1966) сначала утверждали, что он имеет порядок 3, затем в исправлении 1968 года заявили, что он имеет порядок 6; ее порядок на самом деле (в настоящее время считается) 12. Это вызвало ошибку в названии Янко статьи . Новая конечная простая группа порядка 86 775 570 046 077 562 880, которая обладает M ₂₄ и полной накрывающей группой M ₂₂ в качестве подгруппы на J4 : у него нет полной покрывающей группы в качестве подгруппы, поскольку полная покрывающая группа больше, чем предполагалось в то время.
• В первоначальном утверждении классификации N-групп Томпсона в 1968 году случайно была опущена группа Титса , хотя вскоре он это исправил.
• В 1967 году Рейнхардт предложил кардиналов Рейнхардта , которые, как показал Кунен , несовместимы с ZFC в 1971 году, хотя неизвестно, что они несовместимы с ZF .
• Пера Мартина-Лёфа Первоначальная версия интуиционистской теории типов в 1972 году как несостоятельная , предложенная в 1971 году, была показана Жан-Ивом Жираром и была заменена исправленной версией.
• В 1975 году Лейтцель, Мадан и Куин ошибочно заявили, что существует только 7 функциональных полей над конечными полями с родом > 0 и номером класса 1, но в 2013 году Стирп нашел еще одно; на самом деле их ровно 8.
• Задача Буземана–Петти . Чжан опубликовал две статьи в Annals of Mathematics в 1994 и 1999 годах, в первой из которых он доказал, что проблема Буземана – Петти в R ⁴ имеет отрицательное решение, а во втором из них он доказал, что она имеет положительное решение.
• Алгебраические стеки . В книге Laumon & Moret-Bailly (2000) об алгебраических стеках ошибочно утверждается, что морфизмы алгебраических стеков индуцируют морфизмы lisse-этальных топосов . Результаты, зависящие от этого, были исправлены Олссоном (2007) .

Статус неясен

• Равномерная сходимость . В своем «Курсе анализа» 1821 года Коши «доказал», что если сумма непрерывных функций сходится поточечно , то ее предел также непрерывен. Однако три года спустя Абель заметил, что это не так. Чтобы вывод был справедливым, «поточечную сходимость» необходимо заменить на « равномерную сходимость ». Не совсем ясно, был ли первоначальный результат Коши неверным, поскольку его определение поточечной сходимости было немного расплывчатым и, возможно, было более сильным, чем то, которое используется в настоящее время, и есть способы интерпретировать его результат так, чтобы он был правильным. Существует множество контрпримеров, использующих стандартное определение поточечной сходимости. Например, ряд Фурье функций синуса и косинуса , все непрерывные, может сходиться поточечно к разрывной функции, такой как ступенчатая функция .
• Гипотеза Кармайкла о полной функции была сформулирована как теорема Робертом Дэниелом Кармайклом в 1907 году, но в 1922 году он указал, что его доказательство было неполным. По состоянию на 2016 год проблема все еще открыта.
• Итальянская школа алгебраической геометрии . Большинство пробелов в доказательствах вызвано либо тонким техническим недосмотром, либо до 20 века отсутствием точных определений. Серьезным исключением из этого правила является итальянская школа алгебраической геометрии первой половины 20-го века, где постепенно стали приемлемыми более низкие стандарты строгости. В результате появилось множество работ в этой области, в которых доказательства неполны или теоремы сформулированы неточно. В этом списке есть несколько показательных примеров, где результат был не только не полностью доказан, но и безнадежно ошибочен.
• В 1933 году Джордж Дэвид Биркгоф и Вальдемар Джозеф Трицинский опубликовали очень общую теорему. об асимптотике последовательностей, удовлетворяющих линейным рекуррентам. Теорема была популяризирована Джетом Вимпом и Дороном Зейлбергером в 1985 году. Однако, хотя результат, вероятно, верен, на данный момент (2021 г.) доказательство Биркгофа и Трицинского не является общепринятым среди экспертов, и теорема (признанно) доказывается только в особых случаях.
• Якобианская гипотеза . Келлер задал этот вопрос как вопрос в 1939 г., и в последующие несколько лет было опубликовано несколько неполных доказательств, в том числе 3 Б. Сегре, но во многих из них Витушкин нашел пробелы. Гипотеза о якобиане (по состоянию на 2016 год) является открытой проблемой, и регулярно объявляются новые неполные доказательства. Хайман Басс, Эдвин Х. Коннелл и Дэвид Райт ( 1982 ) обсуждают ошибки в некоторых из этих неполных доказательств.
• Усиление шестнадцатой проблемы Гильберта , спрашивающей, существует ли равномерная конечная верхняя оценка числа предельных циклов плоских полиномиальных векторных полей заданной степени n . В 1950-х годах Евгений Ландис и Иван Петровский опубликовали предполагаемое решение, но в начале 1960-х оно оказалось ошибочным.
• В 1954 году Заранкевич утверждал, что решил задачу Турана о кирпичном заводе о количестве пересечений полных двудольных графов , но Кайнен и Рингель позже заметили пробел в его доказательстве.
• Сложные структуры на 6-сфере. статью, В 1969 году Альфред Адлер опубликовал в Американском журнале математики в которой утверждалось, что 6-сфера не имеет сложной структуры. Его аргументы были неполными, и это (по состоянию на 2016 год) все еще остается серьезной открытой проблемой.
• Закрытая геодезия . В 1978 году Вильгельм Клингенберг опубликовал доказательство того, что гладкие компактные многообразия без края имеют бесконечное количество замкнутых геодезических. Его доказательство было спорным, и в настоящее время (по состоянию на 2016 год) нет единого мнения о том, является ли его доказательство полным.
• Гипотеза о телескопе . Равенел заявил об опровержении этого в 1992 году, но позже отозвал его, и гипотеза до сих пор остается открытой.
• Пакеты Матроидов. В 2003 году Дэниел Бисс опубликовал в журнале Annals of Mathematics статью, в которой утверждалось, что расслоения матроидов эквивалентны реальным векторным расслоениям, но в 2009 году опубликовал поправку, указывающую на серьезный пробел в доказательстве. Его исправление было основано на статье Мнева 2007 года.
• В 2012 году японский математик Синити Мотидзуки опубликовал в Интернете серию статей, в которых он утверждает, что доказал гипотезу abc . Несмотря на более позднюю публикацию в рецензируемом журнале, его доказательство не было признано правильным в основном математическом сообществе.

См. также

• Список длинных математических доказательств
• Список опровергнутых математических идей

Ссылки

• Басс, Хайман ; Коннелл, Эдвин Х.; Райт, Дэвид (1982), «Гипотеза Якобиана: понижение степени и формальное расширение обратной», Бюллетень Американского математического общества , New Series, 7 (2): 287–330, doi : 10.1090/S0273-0979- 1982-15032-7 , ISBN  978-1-982150-32-7 , МР   0663785
• Бургойн, Н.; Фонг, Пол (1966), «Множители Шура групп Матье», Nagoya Mathematical Journal , 27 (2): 733–745, doi : 10.1017/S0027763000026519 , ISSN   0027-7630 , MR   0197542
• Кэли, А. (1878), «Желания и предложения: № 1. Теория групп», Am. Дж. Математика. , 1 (1): 50–52, номер документа : 10.2307/2369433 , JSTOR   2369433.
• Коулман, Роберт Ф. (1990), «Доказательство Манина гипотезы Морделла о функциональных полях», L'Enseignement Mathématique , 2e Série, 36 (3): 393–427, ISSN   0013-8584 , MR   1096426
• Лаумон, Жерар ; Море-Байи, Лоран (2000), Алгебрические поля , результаты математики и ее границы. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 39, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-65761-3 , МР   1771927
• Мамфорд, Дэвид (1968), «Рациональная эквивалентность 0-циклов на поверхностях», Журнал математики Киотского университета , 9 (2): 195–204, doi : 10.1215/kjm/1250523940 , ISSN   0023-608X , MR   0249428
• Олссон, Мартин (2007), «Пучки на стопках Артина», Журнал чистой и прикладной математики , 2007 (603): 55–112, doi : 10.1515/CRELLE.2007.012 , ISSN   0075-4102 , MR   2312554 , S2CID   15445962
• Рохлин В. А. (1951), "Классификация отображений (n+3)-мерной сферы в n-мерную", Доклады АН СССР , Новая серия, 81 : 19–22, МР   0046043
• Севери, Франческо (1946), «О максимальном количестве узлов поверхности заданного порядка обычного пространства или формы оперпространства», Annali di Matematica Pura ed Applicata , Series 4, 25 : 1–41, doi : 10.1007/bf02418077 , ISSN   0003-4622 , S2CID   122620694
• Вален, К.Т. (1891), «Замечание о полном представлении кривых алгебраического пространства» , Дж. Рейн Ангью. Матем. , 108 : 346–347.

Дальнейшее чтение

Лекат, Морис (1935), Ошибки математиков от истоков до наших дней , Брюссель — Лувен: Librairie Castaigne — Ém. Десбаракс — перечисляет более ста страниц (в основном тривиальных) опубликованных ошибок, допущенных математиками.

Внешние ссылки

• Письмо Дэвида Мамфорда об ошибках итальянской школы алгебраической геометрии под руководством Севери
• На первых девяти страницах [1] упоминаются примеры неверных результатов в теории гомотопий.

Вопросы MathOverflow

• Илья Никокошев, Самая интересная математическая ошибка?
• Кевин Баззард, какие ошибки на самом деле допустили итальянские алгебраические геометры?
• Уилл Джаги, Широко признанные математические результаты, которые позже оказались ошибочными?
• Джон Стиллвелл. Какие правильные результаты были получены при неверных (или без) доказательствах?
• Мориц. Теоремы снова понижены до уровня гипотез
• Мэй Чжан, доказательства оказались неверными после формализации с помощником по доказательству

Вопросы по StackExchange

• Стивен-Оуэн, Была ли когда-нибудь в истории математики ошибка?