Проблема Буземана – Петти

В математической области выпуклой геометрии , проблема Буземана-Петти представленная Гербертом Буземаном и Клинтоном Майерсом Петти ( 1956 , проблема 1), спрашивает, верно ли, что симметричное выпуклое тело с большими центральными гиперплоскими сечениями имеет больший объем. Точнее, если K , T — симметричные выпуклые тела в R ^н такой, что

$\mathrm {Vol} _{n-1}\,(K\cap A)\leq \mathrm {Vol} _{n-1}\,(T\cap A)$

для каждой гиперплоскости A, проходящей через начало координат, верно ли, что Vol _n   K ≤ Vol _n   T ?

Буземан и Петти показали, что ответ положительный, если K — шар. В общем случае ответ положительный для измерений не более 4 и отрицательный для измерений не менее 5.

История

Неожиданно для того времени Ларман и Клод Амброуз Роджерс ( 1975 ) показали, что проблема Буземана–Петти имеет отрицательное решение в размерностях не менее 12, и несколько других авторов сократили эту границу до размерностей не менее 5. Болл (1988) указал на особенно простой контрпример: все сечения куба единичного объема имеют размер не более √ 2 , в то время как в размерностях не менее 10 все центральные сечения шара единичного объема имеют размер не менее √ 2 . Лютвак ( 1988 ) ввел тела пересечения и показал, что проблема Буземана–Петти имеет положительное решение в данном измерении тогда и только тогда, когда каждое симметричное выпуклое тело является телом пересечения. Тело пересечения — это звездообразное тело, радиальная функция которого в заданном направлении u равна объему гиперплоского сечения u. ^⊥ ∩ K для некоторого неподвижного звездного тела K . Гарднер (1994) использовал результат Лютвака, чтобы показать, что проблема Буземана – Петти имеет положительное решение, если размерность равна 3. Чжан (1994) ошибочно утверждал, что единичный куб в R ⁴ не является телом пересечения, что означало бы, что проблема Буземана–Петти имеет отрицательное решение, если размерность не менее 4. Однако Колдобский (1998a) показал, что центрально-симметричное тело звездообразной формы является телом пересечения тогда и только тогда, когда функция 1/|| х || — положительно определенное распределение, где ||x|| — однородная функция степени 1, равная 1 на границе тела, и Колдобский (1998b) использовал ее, чтобы показать, что единичные шары l ^п
_n , 1 < p ≤ ∞ в n -мерном пространстве с l ^п норма являются телами пересечения для n = 4, но не являются телами пересечения для n ≥ 5, что показывает, что результат Чжана был неверным. Затем Чжан ( 1999 ) показал, что проблема Буземана–Петти имеет положительное решение в размерности 4. Ричард Дж. Гарднер, А. Колдобски и Т. Шлумпрехт ( 1999 ) дали единое решение для всех измерений.

См. также

• Проблема Шепарда

Ссылки

• Болл, Кейт (1988), «Некоторые замечания по геометрии выпуклых множеств», Геометрические аспекты функционального анализа (1986/87) , Конспекты лекций по математике, том. 1317, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 224–231, doi : 10.1007/BFb0081743 , ISBN.  978-3-540-19353-1 , МР   0950983
• Буземанн, Герберт; Петти, Клинтон Майерс (1956), «Проблемы с выпуклыми телами» , Mathematica Scandinavica , 4 : 88–94, doi : 10.7146/math.scand.a-10457 , ISSN   0025-5521 , MR   0084791 , заархивировано из оригинала на 25 августа 2011 г.
• Гарднер, Ричард Дж. (1994), «Положительный ответ на проблему Буземана-Петти в трех измерениях», Annals of Mathematics , Second Series, 140 (2): 435–447, doi : 10.2307/2118606 , ISSN   0003-486X , АЭСТОР   2118606 , МР   1298719
• Гарднер, Ричард Дж.; Колдобский А.; Шлумпрехт, Томас Б. (1999), «Аналитическое решение проблемы Буземана-Петти о сечениях выпуклых тел», Annals of Mathematics , Second Series, 149 (2): 691–703, arXiv : math/9903200 , doi : 10.2307/120978 , ISSN   0003-486X , JSTOR   120978 , MR   1689343
• Колдобский, Александр (1998a), «Тела пересечения, положительно определенные распределения и проблема Буземана-Петти», American Journal of Mathematics , 120 (4): 827–840, CiteSeerX   10.1.1.610.5349 , doi : 10.1353/ajm. 1998.0030 , ISSN   0002-9327 , МР   1637955
• Колдобский, Александр (1998b), «Тела пересечения в R⁴», Успехи в математике , 136 (1): 1–14, doi : 10.1006/aima.1998.1718 , ISSN   0001-8708 , MR   1623669
• Колдобский, Александр (2005), Анализ Фурье в выпуклой геометрии , Математические обзоры и монографии, том. 116, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3787-0 , МР   2132704
• Ларман, генеральный директор; Роджерс, Калифорния (1975), «Существование центрально-симметричного выпуклого тела с неожиданно малыми центральными секциями», Mathematika , 22 (2): 164–175, doi : 10.1112/S0025579300006033 , ISSN   0025-5793 , MR   0390914
• Лутвак, Эрвин (1988), «Тела пересечения и двойные смешанные объемы», Успехи в математике , 71 (2): 232–261, doi : 10.1016/0001-8708(88)90077-1 , ISSN   0001-8708 , MR   0963487
• Чжан, Гао Юн (1994), «Тела пересечения и неравенства Буземана-Петти в R⁴», Annals of Mathematics , Second Series, 140 (2): 331–346, doi : 10.2307/2118603 , ISSN   0003-486X , JSTOR   2118603 , МИСТЕР   1298716 , Результат в этой статье неверный; см. поправку автора 1999 г.
• Чжан, Гаойонг (1999), «Положительное решение проблемы Буземана-Петти в R⁴», Annals of Mathematics , Second Series, 149 (2): 535–543, doi : 10.2307/120974 , ISSN   0003-486X , JSTOR   120974 , МР   1689339