Карл Фридрих Гаусс

«Гаусс» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Гаусс (значения) .

Карл Фридрих Гаусс
Портрет Кристиана Альбрехта Йенсена , 1840 г. (копия с Готлиба Бирмана, 1887 г.)
Рожденный	Иоганн Карл Фридрих Гаусс ( 1777-04-30 ) 30 апреля 1777 г. Брауншвейг , Княжество Брауншвейг-Вольфенбюттель , Священная Римская империя
Умер	23 февраля 1855 г. ) ( 1855-02-23 ) ( 77 лет Геттинген , Королевство Ганновер , Германская Конфедерация
Альма-матер	Кэролайн Колледж Геттингенский университет Университет Хельмштедта (доктор философии)
Известный	Полный список
Супруги	Йоханна Остхофф ( м. 1805; умер в 1809 г.) Минна Вальдек ( м. 1810; умер в 1831 г.)
Дети	6
Награды	Премия Лаланда (1809 г.) Медаль Копли (1838 г.)
Научная карьера
Поля	Математика, Астрономия, Геодезия, Магнетизм
Учреждения	Геттингенский университет
Диссертация	Новая демонстрация...   (1799)
Докторантура	Иоганн Фридрих Пфафф
Докторанты	показывать   Richard Dedekind Christian Ludwig Gerling Wilhelm Klinkerfues Johann Benedict Listing Bernhard Riemann August Ritter Karl von Staudt
Другие известные студенты	показывать   Gotthold Eisenstein Johann Franz Encke Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt Adolph Theodor Kupffer August Ferdinand Möbius Moritz Stern Georg Frederik Ursin Moritz Ludwig Wichmann
Подпись

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (нем. Gauß [kaʁl ˈfʁiːdʁɪç ˈɡaʊs] ; Латынь : Карол Фридерикус Гаусс ; 30 апреля 1777 — 23 февраля 1855) — немецкий математик , астроном , геодезист и физик, внесший вклад во многие области математики и естественных наук. Он был директором Геттингенской обсерватории и профессором астрономии почти полвека, с 1807 года до своей смерти в 1855 году.

Еще будучи студентом Геттингенского университета , он выдвинул несколько математических теорем . Гаусс завершил свои шедевры Disquisitiones Arithmeticae и Theoria motus corporum coelestium как частный ученый. Он дал второе и третье полные доказательства основной теоремы алгебры , внес вклад в теорию чисел и разработал теории бинарных и троичных квадратичных форм. Он считается одним из первооткрывателей неевклидовой геометрии наряду с Николаем Лобачевским и Яношем Бойяи и ввёл этот термин.

Гаусс сыграл важную роль в идентификации недавно открытой Цереры как карликовой планеты. Его работа по движению планетоидов, возмущенных большими планетами, привела к введению гравитационной постоянной Гаусса и метода наименьших квадратов , который он открыл до того, как Адриан-Мари Лежандр опубликовал его.

Гаусс отвечал за обширные геодезические исследования Ганноверского королевства вместе с проектом измерения дуги с 1820 по 1844 год, выполнил большую часть полевых работ и предоставил полную научную оценку. Кроме того, он был одним из основоположников геофизики при формулировании фундаментальных принципов магнетизма и проводил фундаментальные практические исследования в этой области. Плодами его практических работ стали изобретения гелиотропа в 1821 году, магнитометра в 1833 году и, вместе с Вильгельмом Эдуардом Вебером , первого электромагнитного телеграфа в 1833 году.

Гаусс был осторожным автором, который отказывался публиковать неполные работы, и хотя при жизни он много публиковался, он оставил после себя несколько работ, которые нужно было отредактировать посмертно . Он считал, что наибольшее удовольствие доставляет сам процесс обучения, а не обладание знаниями. Гаусс признался, что не любит преподавать, но некоторые из его учеников стали влиятельными математиками.

Биография

Молодежь и образование

Дом рождения в Брансуике (разрушен во время Второй мировой войны)

Дом студента Гаусса в Геттингене.

Иоганн Карл Фридрих Гаусс родился 30 апреля 1777 года в Брауншвейге (Брауншвейг) в герцогстве Брауншвейг-Вольфенбюттель (ныне часть федеральной земли Германии Нижняя Саксония ) в семье с более низким социальным статусом. Его отец Гебхард Дитрих Гаусс (1744–1808) работал на нескольких должностях: мясником, каменщиком, садовником и казначеем фонда пособий по случаю смерти. Гаусс охарактеризовал своего отца как благородного и уважаемого человека, но грубого и властного дома. Он имел опыт письма и вычислений, тогда как его вторая жена Доротея (1743–1839), мать Карла Фридриха, была почти неграмотной. У него был старший брат от первого брака отца.

Гаусс был вундеркиндом в области математики. Когда учителя начальной школы заметили его интеллектуальные способности, они привлекли к нему внимание герцога Брауншвейгского , который отправил его в местный Коллегиум Каролинум . который он посещал с 1792 по 1795 год вместе с Эберхардом Августом Вильгельмом фон Циммерманном в качестве одного из своих учителей. . После этого герцог предоставил ему ресурсы для изучения математики, естественных наук и классических языков в Ганноверском университете Геттингена до 1798 года. Его профессором по математике был Авраам Готхельф Кестнер , которого Гаусс называл «ведущим математиком среди поэтов и ведущим поэтом среди математиков» из-за его эпиграмм . Астрономию преподавал Карл Феликс Зейффер , с которым Гаусс продолжал переписку после окончания учебы; Ольберс и Гаусс высмеивали его в своей переписке. С другой стороны, он высоко ценил Георга Кристофа Лихтенберга , своего учителя физики, и Кристиана Готлоба Хейне , лекции которого по классике Гаусс посещал с удовольствием. Сокурсниками этого времени были Иоганн Фридрих Бензенберг , Фаркас Боляи и Генрих Вильгельм Брандес .

Вероятно, он был студентом-самоучкой по математике, поскольку самостоятельно заново открыл несколько теорем. Он решил геометрическую задачу, занимавшую математиков со времен древних греков , когда в 1796 году определил, какие правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки . Это открытие стало темой его первой публикации и в конечном итоге привело Гаусса к выбору математики вместо филологии . карьеры Математический дневник Гаусса, сборник коротких заметок о его результатах за период с 1796 по 1814 год, показывает, что многие идеи его математического великого труда Disquisitiones Arithmeticae (1801) относятся к этому времени.

Частный ученый

Гаусс получил степень доктора философии в 1799 году. Он не окончил Геттинген, как иногда утверждают, а, скорее, по специальному запросу герцога Брауншвейгского, из Хельмштедтского университета, единственного государственного университета герцогства. Там Иоганн Фридрих Пфафф защитил докторскую диссертацию, а Гаусс получил степень заочно, без дальнейшего устного экзамена. Затем герцог предоставил ему возможность жить частным ученым в Брауншвейге. Впоследствии Гаусс отказался от звонков из Российской академии наук в Санкт-Петербурге и Ландсхутского университета . Позже герцог пообещал ему основать обсерваторию в Брауншвейге в 1804 году. Архитектор Петер Йозеф Краэ разработал предварительные проекты, но одна из войн Наполеона отменила эти планы: Герцог был убит в битве при Йене в 1806 году. В следующем году герцогство было упразднено, и финансовая поддержка Гаусса прекратилась.

Когда Гаусс рассчитывал орбиты астероидов в первые годы века, он установил контакт с астрономическим сообществом Бремена и Лилиенталя , особенно с Вильгельмом Ольберсом , Карлом Людвигом Гардингом и Фридрихом Вильгельмом Бесселем , как часть неформальной группы астрономов, известной как Небесная полиция . Одной из их целей было открытие новых планет, и они собрали данные об астероидах и кометах в качестве основы для исследований Гаусса их орбит, которые он позже опубликовал в своем астрономическом выдающемся труде Theoria motus corporum coelestium (1809 г.).

Профессор в Гёттингене

Старая Геттингенская обсерватория, ок. 1800 г.

В ноябре 1807 года Гаусс был призван в Геттингенский университет , учреждение недавно основанного Вестфальского королевства под руководством Жерома Бонапарта , в качестве профессора и директора астрономической обсерватории . и занимал этот пост до своей смерти в 1855 году. Вскоре он столкнулся с требованием двух тысяч франков от вестфальского правительства в качестве военного вклада, который он не мог позволить себе выплатить. И Ольберс, и Лаплас хотели помочь ему с оплатой, но Гаусс отказался от их помощи. Наконец, анонимный человек из Франкфурта , позже выяснилось, что это принц-примат Дальберг . заплатил сумму.

Гаусс взял на себя управление 60-летней обсерваторией, основанной в 1748 году курфюрстом Георгом II и построенной на переоборудованной крепостной башне, с пригодными к использованию, но частично устаревшими инструментами. Строительство новой обсерватории было принципиально одобрено курфюрстом Георгом III с 1802 года, и Вестфальское правительство продолжило планирование. но Гаусс не мог переехать на новое место работы до сентября 1816 года. Он получил новые современные инструменты, в том числе два меридианных круга от Repsold. и Райхенбах , и гелиометр Фраунгофера ​ .

Научную деятельность Гаусса, помимо чистой математики, можно условно разделить на три периода: в первые два десятилетия XIX века главным направлением была астрономия, в третьем десятилетии - геодезия, в четвертом десятилетии - физика, главным образом магнетизм.

Гаусс не скрывал своего отвращения к академическим лекциям. Но с самого начала своей академической карьеры в Геттингене он непрерывно читал лекции до 1854 года. Он часто жаловался на бремя преподавания, считая, что это пустая трата его времени. С другой стороны, он иногда называл некоторых студентов талантливыми. Большинство его лекций было посвящено астрономии, геодезии и прикладной математике . и всего три лекции по предметам чистой математики. Некоторые из учеников Гаусса впоследствии стали известными математиками, физиками и астрономами: Мориц Кантор , Дедекинд , Дирксен , Энке , Гульд , Гейне , Клинкерфюс , Купфер , Листинг , Мёбиус , Николай , Риман , Риттер , Шеринг , Шерк , Шумахер , фон Штаудт , Штерн , Урсин ; как ученые-геологи Сарториус фон Вальтерсхаузен и Ваппеус .

Гаусс не написал ни одного учебника и не любил популяризацию научных вопросов. Единственными его попытками популяризации были его работы, посвященные дате Пасхи. и эссе «Земной магнетизм и магнитометр» 1836 года. Гаусс публиковал свои статьи и книги исключительно на латыни или немецком языке . Он писал на латыни в чисто классическом стиле, но использовал некоторые обычные модификации, предложенные современными математиками.

Новая Гёттингенская обсерватория 1816 года; Гостиные Гаусса находились в западном крыле (справа).

Вильгельм Вебер и Генрих Эвальд (первый ряд) как члены Гёттингенской семерки

Гаусс на смертном одре (1855 г.) (дагерротип Филиппа Петри)

В своей вступительной лекции в Геттингенском университете в 1808 году Гаусс заявил, что надежные наблюдения и результаты, полученные только с помощью сильных вычислений, являются единственными задачами астрономии. В университете его сопровождал штат других преподавателей его дисциплин, завершивших образовательную программу: например, математик Тибо с его лекциями, физик Майер , известный своими учебниками, его преемник Вебер с 1831 года, и в обсерватории Гардинг , читавший основную часть лекций по практической астрономии. Когда обсерватория была завершена, Гаусс поселился в западном крыле новой обсерватории, а Хардинг — в восточном. Когда-то они были в дружеских отношениях друг с другом, но со временем отдалились друг от друга, возможно – как предполагают некоторые биографы – потому, что Гаусс желал, чтобы Хардинг, равный ему по рангу, был не более чем его помощником или наблюдателем. Гаусс использовал почти исключительно новые меридианные круги и держал их подальше от Хардинга, за исключением некоторых очень редких совместных наблюдений.

Брендель подразделяет астрономическую деятельность Гаусса в хронологическом порядке на семь периодов, из которых годы после 1820 года принимаются как «период низшей астрономической деятельности». Новая, хорошо оборудованная обсерватория работала не так эффективно, как другие; Астрономические исследования Гаусса имели характер единоличного предприятия без длительной программы наблюдений, и место для ассистента в университете открылось только после смерти Гардинга в 1834 году.

Тем не менее Гаусс дважды отказывался от возможности решить задачу, приняв предложения из Берлина в 1810 и 1825 годах стать полноправным членом Прусской академии, не обременяя лекторскими обязанностями, а также от Лейпцигского университета в 1810 году и от Венского университета в 1842 году, возможно, из-за тяжелого положения семьи. Зарплата Гаусса была повышена с 1000 рейхсталеров в 1810 году до 2400 рейхсталеров в 1824 году. а в последние годы своей жизни он был одним из самых высокооплачиваемых профессоров университета.

Когда в 1810 году Гаусса попросил о помощи его коллега и друг Фридрих Вильгельм Бессель , у которого были проблемы в Кенигсбергском университете из-за отсутствия у него ученого звания, Гаусс в марте 1811 года предоставил доктора Бесселю степень почетного философского факультета Геттингена. . еще одну рекомендацию на почетную степень, Гаусс дал Софи Жермен но незадолго до ее смерти, поэтому она ее так и не получила. Он также оказал успешную поддержку математику Готхольду Эйзенштейну в Берлине.

Гаусс был верен Ганноверскому дому . После смерти короля Вильгельма IV в 1837 году личный союз между королевствами Великобритании и Ирландии и Ганновером прекратился. В том же году новый ганноверский король Эрнест Август отменил конституцию 1833 года. Против этого протестовали семь профессоров, позже известных как « Гёттингенская семерка », в том числе его друг и соратник Вильгельм Вебер и зять Гаусса Генрих Эвальд. Все они были уволены, трое исключены, но Эвальд и Вебер могли остаться в Геттингене. Гаусс был глубоко потрясен этой ссорой, но не видел возможности им помочь.

Гаусс принимал участие в академическом управлении: трижды избирался деканом философского факультета. Будучи доверенным вдовьим пенсионным фондом университета, он занимался актуарной наукой и написал доклад о стратегии стабилизации пособий. Он был назначен директором Королевской академии наук в Геттингене на девять лет, даже в последний год своей жизни.

Гаусс оставался умственно активным до самой старости, даже страдая от подагры и общего несчастья. 23 февраля 1855 года он умер от сердечного приступа в Геттингене; и был похоронен там на кладбище Альбани . Генрих Эвальд , зять Гаусса, и Вольфганг Сарториус фон Вальтерсхаузен , близкий друг и биограф Гаусса, произнесли хвалебные речи на его похоронах.

Гаусс был успешным инвестором и накопил значительное состояние с помощью акций и ценных бумаг, стоимость которого в конечном итоге превысила 150 тысяч талеров; после его смерти в его покоях было найдено спрятано около 18 тысяч талеров.

Мозг Гаусса

На следующий день после смерти Гаусса его мозг был удален, сохранен и изучен Рудольфом Вагнером , который обнаружил, что его масса немного выше среднего — 1492 грамма (52,6 унции). Площадь головного мозга была определена сыном Вагнера Германом в его докторской диссертации как 219 588 квадратных миллиметров (340,362 квадратных дюйма). Были также обнаружены высокоразвитые извилины, которые в начале 20 века были предложены как объяснение его гениальности. После различных предыдущих исследований магнитно-резонансное исследование 1998 года, проведенное в Институте биофизической химии Макса Планка в Геттингене, не дало результатов, которые можно было бы использовать для объяснения его математических способностей.

В 2013 году нейробиолог из того же института обнаружил, что из-за неправильной маркировки мозг Гаусса был перепутан с мозгом врача Конрада Генриха Фукса , который умер в Геттингене через несколько месяцев после Гаусса. Дальнейшее исследование не выявило каких-либо заметных аномалий в мозге обоих людей. Таким образом, все исследования мозга Гаусса до 1998 года, за исключением первых исследований Рудольфа и Германа Вагнера, фактически относятся к мозгу Фукса.

Семья

Вторая жена Гаусса Вильгельмина Вальдек

Гаусс женился на Йоханне Остхофф (1780–1809) 9 октября 1805 года в церкви Святой Екатерины в Брауншвейге. У них было два сына и одна дочь: Джозеф (1806–1873), Вильгельмина (1808–1840) и Луи (1809–1810). Джоанна умерла 11 октября 1809 года, через месяц после рождения Людовика, который сам умер несколько месяцев спустя. Гаусс выбрал имена своих детей в честь Джузеппе Пьяцци , Вильгельма Ольберса и Карла Людвига Гардинга, первооткрывателей первых астероидов.

4 августа 1810 года вдовец женился на Вильгельмине (Минне) Вальдек (1788–1831), подруге своей первой жены, от которой у него родилось еще трое детей: Ойген (позже: Евгений) (1811–1896), Вильгельм (позже: Уильям) (1813–1879) и Тереза ​​(1816–1864). Минна Гаусс умерла 12 сентября 1831 года после более чем десятилетней серьезной болезни. Затем Тереза ​​взяла на себя домашнее хозяйство и заботилась о Гауссе до конца его жизни; после смерти отца она вышла замуж за актера Константина Штауфенау. Ее сестра Вильгельмина вышла замуж за востоковеда Генриха Эвальда . Мать Гаусса Доротея жила в его доме с 1817 года до своей смерти в 1839 году.

Старший сын Йозеф, еще школьником, помогал отцу в качестве помощника во время геодезической кампании летом 1821 года. После непродолжительного обучения в университете в 1824 году Йозеф присоединился к ганноверской армии и снова помогал в геодезических работах в 1829 году. В 1830-х годах он отвечал за расширение исследовательской сети на западные части королевства. Имея геодезическую квалификацию, он оставил службу и занялся строительством железнодорожной сети в должности директора Королевских Ганноверских государственных железных дорог . В 1836 году он несколько месяцев изучал железнодорожную систему США.

Ойген покинул Геттинген в сентябре 1830 года и эмигрировал в США, где служил в армии на пять лет. Затем он работал в Американской меховой компании на Среднем Западе. Позже он переехал в Миссури и стал успешным бизнесменом. Вильгельм женился на племяннице астронома Бесселя ; разбогател на обувном бизнесе в Сент-Луисе . затем переехал в Миссури, тоже начинал как фермер, а в последующие годы У Юджина и Уильяма множество потомков в Америке, но все потомки Гаусса, оставшиеся в Германии, происходят от Джозефа, поскольку у дочерей не было детей.

• 
  Йозеф Гаусс
  (1806–1873)
• 
  Софи Гаусс, урожденная Эритропель
  (1818–1883)
  жена Джозефа
• 
  Вильгельмина Гаусс
  (1808–1840)
• 
  Генрих Эвальд
  (1803–1875)
  муж Вильгельмины
• 
  Юджин (Юджин) Гаусс
  (1811–1896)
• 
  Генриетта Гаусс, урожденная Фосетт
  (1817–1909)
  Жена Евгения
• 
  Вильгельм (Чарльз Уильям) Гаусс
  (1813–1879)
• 
  Луиза Алетта Гаусс, урожденная Фалленштейн
  (1813–1883)
  Жена Уильяма
• 
  Тереза ​​Гаусс
  (1816–1864)
  (картина Людвига Беккера )
• 
  Константин Штауфенау
  (1809–1886)
  муж Терезы

Личность

Учёный

Студент рисует своего профессора математики: карикатура Гаусса на Авраама Готтхельфа Кестнера (1795 г.).

Студент рисует своего профессора математики: Гаусс, зарисованный его учеником Иоганном Бенедиктом Листингом , 1830 г.

В первые два десятилетия XIX века Гаусс был единственным крупным математиком в Германии, сравнимым с ведущими французскими математиками; его Disquisitiones Arithmeticae была первой математической книгой из Германии, переведенной на французский язык.

Гаусс был «впереди новых разработок» благодаря документированным исследованиям с 1799 года, богатству новых идей и строгости их демонстрации. В то время как предыдущие математики, такие как Леонард Эйлер, позволяли читателям участвовать в их рассуждениях о новых идеях, включая некоторые ошибочные отклонения от правильного пути, Однако Гаусс ввел новый стиль прямого и полного объяснения, который не пытался показать читателю ход мыслей автора.

Гаусс был первым, кто восстановил ту строгость доказательства, которой мы восхищаемся у древних и которая была неоправданно отодвинута на второй план исключительным интересом предшествующего периода к новым разработкам.

- Кляйн 1894 , с. 101

Но для себя он пропагандировал совершенно иной идеал, изложенный в письме Фаркашу Боляи следующим образом:

Не знание, а сам процесс обучения, не обладание, а процесс достижения цели доставляет величайшее удовольствие. Когда я прояснил и исчерпал предмет, то я отворачиваюсь от него, чтобы снова уйти во тьму.

- Даннингтон 2004 , с. 416

Посмертные статьи, его научный дневник , а краткие пояснения в его собственных учебниках показывают, что он работал в значительной степени эмпирическим путем. Он всю жизнь был занятым и увлеченным калькулятором, который производил свои расчеты с необычайной быстротой, большей частью без точного контроля, но проверял результаты мастерской оценкой. Тем не менее его расчеты, особенно в геодезии и астрономии, не всегда были свободны от ошибок. Он справился с огромным объемом работы, используя умелые инструменты. Гаусс использовал множество математических таблиц , исследовал их точность и построил новые таблицы по различным вопросам для личного пользования. Он разработал новые инструменты для эффективных вычислений, например метод исключения Гаусса . Любопытной особенностью его стиля работы было то, что он проводил расчеты с высокой степенью точности, намного большей, чем требовалось, и готовил таблицы с большим количеством десятичных знаков, чем когда-либо требовалось для практических целей. Вероятно, этот метод дал ему большой материал, который он использовал при выводе теорем теории чисел.

Гаусса Печать с его девизом Pauca sed Matura

Гаусс отказался публиковать работу, которую он не считал полной и выше критики. Этот перфекционизм соответствовал девизу его личной печати Pauca sed Matura («Мало, но созрело»). Многие коллеги поощряли его публиковать новые идеи и иногда упрекали его, если он, по их мнению, слишком долго колебался. Гаусс защищался, утверждая, что первоначальное открытие идей было легким, но подготовка презентабельной разработки была для него трудным делом либо из-за нехватки времени, либо из-за «спокойствия ума». Тем не менее он опубликовал множество коротких сообщений актуального содержания в различных журналах, но оставил и значительное литературное наследие. Гаусс называл математику «царицей наук», а арифметику — «царицей математики». и предположительно когда-то придерживался убеждения в необходимости немедленного понимания личности Эйлера как ориентира для того, чтобы стать первоклассным математиком.

В некоторых случаях Гаусс утверждал, что идеи другого ученого уже были в его распоряжении ранее. Таким образом, его концепция приоритета «первым открыть, а не первым опубликовать» отличалась от концепции его современников-ученых. В отличие от его перфекционизма в изложении математических идей, его критиковали за небрежное цитирование. Он обосновывал себя совершенно особым взглядом на правильное цитирование: если и давал ссылки, то только вполне полно, по отношению к предыдущим важным авторам, которых никто не должен игнорировать; но для такого цитирования требовались знания истории науки и больше времени, чем он хотел потратить.

Частный человек

Вскоре после смерти Гаусса его друг Сарториус опубликовал первую биографию (1856 г.), написанную в довольно восторженном стиле. Сарториус видел в нем спокойного, устремленного вперед человека с детской скромностью. но и "железного характера" с непоколебимой силой духа. За исключением его ближайшего окружения, другие считали его сдержанным и неприступным, «подобным олимпийцу, восседающему на троне на вершине науки». Близкие современники сходились во мнении, что Гаусс был человеком непростого характера. Он часто отказывался принимать комплименты. Его сварливое поведение иногда раздражало посетителей, но вскоре его настроение могло измениться, и он становился обаятельным и непредубежденным хозяином. Гаусс ненавидел полемических натур; вместе со своим коллегой Хаусманном он выступил против назначения Юстуса Либиха на кафедру университета в Геттингене, «поскольку он всегда был вовлечен в какую-то полемику».

Резиденция Гаусса с 1808 по 1816 год на 1 этаже.

Жизнь Гаусса была омрачена тяжелыми проблемами в семье. Когда его первая жена Джоанна внезапно умерла вскоре после рождения третьего ребенка, он поделился своим горем в последнем письме к своей умершей жене в стиле древнего плача , самого личного сохранившегося документа Гаусса. Ситуация ухудшилась, когда туберкулез поразил и в конечном итоге разрушил здоровье его второй жены Минны на протяжении 13 лет; обе его дочери позже страдали от той же болезни. Оба младших сына несколько лет получили образование в Целле, недалеко от Геттингена. Сам Гаусс лишь слегка намекнул на свое горе: в письме Бесселю от декабря 1831 года он назвал себя «жертвой самых страшных домашних страданий».

Гаусс стал доминировать над своими детьми, и в конечном итоге у него возникли конфликты со своими сыновьями, потому что он не хотел, чтобы кто-либо из них занимался математикой или естественными науками, из-за «боязни принизить фамилию», поскольку он считал, что ни один из них не превзойдет его собственные достижения. Военная карьера его старшего сына Иосифа завершилась спустя два с лишним десятилетия в звании низкооплачиваемого старшего лейтенанта , хотя он и приобрел значительные познания в геодезии. Ему требовалась финансовая поддержка отца даже после того, как он женился. Второй сын Ойген во многом разделял талант своего отца в области вычислений и языков, но имел жизнерадостный, а иногда и бунтарский характер. Он хотел изучать филологию, а Гаусс хотел, чтобы он стал юристом. Накопив долгов и устроив скандал на публике, Ойген внезапно покинул Геттинген при драматических обстоятельствах в сентябре 1830 года и эмигрировал через Бремен в Соединенные Штаты. Он потратил впустую те небольшие деньги, которые взял на старт, после чего его отец отказался от дальнейшей финансовой поддержки. Младший сын Вильгельм хотел получить право работать в сфере управления сельским хозяйством, но столкнулся с трудностями в получении соответствующего образования и в конце концов тоже эмигрировал. Лишь младшая дочь Гаусса Тереза ​​сопровождала его в последние годы жизни.

Сбор числовых данных о самых разных вещах, полезных или бесполезных, вошёл в его поздние годы в привычку, например, о количестве путей от дома до определённых мест в Гёттингене или о числе дней жизни людей; в декабре 1851 года он поздравил Гумбольдта с тем, что на момент его смерти он достиг того же возраста, что и Исаак Ньютон , исчисляемый днями.

Помимо превосходного знания латыни, он также был знаком с современными языками. В возрасте 62 лет он начал изучать русский язык , вероятно, понимал научные труды из России, в том числе работы Лобачевского по неевклидовой геометрии. Гаусс читал как классическую, так и современную литературу, а также английские и французские произведения на языках оригинала. Его любимым английским писателем был Вальтер Скотт , любимым немцем Жан-Поль . Гаусс любил петь и ходил на концерты. Он был занятым читателем газет; в последние годы своей жизни он каждый полдень посещал салон академической прессы университета. Гаусса не особо интересовала философия, и он высмеивал «секретные волосы так называемых метафизиков», под которыми он имел в виду сторонников современной школы натурфилософии .

Гаусс имел «аристократическую и насквозь консервативную натуру», мало уважал интеллект и нравственность людей, следуя девизу « mundus vult decipi ». Он не любил Наполеона и его систему, а всякого рода насилие и революции вызывали у него ужас. Таким образом, он осудил методы революций 1848 года , хотя и согласился с некоторыми их целями, такими как идея единой Германии. Что касается политической системы, то он дал низкую оценку конституционному строю; он критиковал парламентариев своего времени за недостаток знаний и логические ошибки.

Некоторые биографы Гаусса размышляли о его религиозных убеждениях. Иногда он говорил: «Бог арифметизирует». и «Мне удалось – не благодаря моим упорным усилиям, а по милости Господа». Гаусс был членом лютеранской церкви , как и большинство населения северной Германии. Кажется, он не верил всем догмам и не понимал Библию буквально. Гаусса Сарториус упомянул религиозную терпимость и оценил его «ненасытную жажду истины» и его чувство справедливости как мотивированные религиозными убеждениями.

Научная работа

Алгебра и теория чисел

Основная теорема алгебры

Немецкая марка, посвященная 200-летию Гаусса: сложная плоскость или плоскость Гаусса.

В своей докторской диссертации 1799 года Гаусс доказал фундаментальную теорему алгебры , которая гласит, что каждый непостоянный многочлен от одной переменной с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень . Математики, в том числе Жан ле Рон д'Аламбер, до него представили ложные доказательства, а диссертация Гаусса содержит критику работы Даламбера. Впоследствии он представил еще три доказательства, последнее из которых в 1849 году было в целом строгим. Его попытки значительно прояснили концепцию комплексных чисел.

Арифметические исследования

Основная статья: Арифметические исследования

В предисловии к «Рассуждениям» Гаусс датирует начало своей работы по теории чисел 1795 годом. Изучая работы предыдущих математиков, таких как Ферма, Эйлер, Лагранж и Лежандр, он понял, что эти учёные уже нашли многое из того, что он обнаружил сам. В 1798 и 1799 годах Гаусс написал объемистую компиляцию всех этих результатов в Disquisitiones Arithmeticae , опубликованную в 1801 году, которая объединила теорию чисел как дисциплину и охватила как элементарную, так и алгебраическую теорию чисел . Там он, среди прочего, вводит символ тройной черты ( ≡ ) для сравнения и использует его для ясного представления модульной арифметики . В нем рассматривается единственная теорема факторизации и примитивные корни по модулю n . В основных главах Гаусс представляет первые два доказательства закона квадратичной взаимности. – которая позволяет математикам определить разрешимость любого квадратного уравнения модульной арифметики – и развивает теории двоичных чисел и троичные квадратичные формы .

Основные моменты этих теорий включают закон композиции Гаусса для бинарных квадратичных форм, а также перечисление количества представлений целого числа в виде суммы трех квадратов. В качестве почти непосредственного следствия своей теоремы о трех квадратах он доказывает треугольный случай теоремы Ферма о многоугольных числах для n = 3. Из нескольких аналитических результатов о числах классов , которые Гаусс дает без доказательства в конце пятой главы, Похоже, что Гаусс уже знал формулу номера класса в 1801 году.

В последней главе Гаусс дает доказательство возможности построения правильного семиугольника (17-гранного многоугольника) с линейкой и циркулем , сводя эту геометрическую задачу к алгебраической. Он показывает, что правильный многоугольник можно построить, если число его сторон является либо степенью 2 , либо произведением степени 2 и любого количества различных простых чисел Ферма . В этой же главе он дает результат о числе решений некоторых кубических многочленов с коэффициентами в конечных полях , что сводится к подсчету целых точек на эллиптической кривой . Примерно 150 лет спустя Андре Вейль заметил, что этот конкретный результат вместе с некоторыми другими неопубликованными результатами Гаусса привел его к формулировке того, что сейчас называется гипотезой Вейля .

Гаусс намеревался включить восьмую главу, в которой тема высших сравнений по модулю простого числа будет рассмотрена во всей ее общности, но незаконченная глава была найдена среди левых статей только после его смерти и состояла из работ, выполненных в 1797–1799 годах.

расследования

Одним из первых результатов Гаусса была эмпирически найденная гипотеза 1792 года – позже названная теоремой о простых числах – дающая оценку количества простых чисел с помощью целого логарифма .

Когда в 1816 году Ольберс предложил Гауссу побороться за приз Французской академии за доказательство Великой теоремы Ферма (FLT), он отказался из-за своей низкой оценки в этом вопросе. Однако среди его левых работ была найдена короткая недатированная статья с доказательством FLT для случаев n = 3 и n = 5. Частный случай n = 3 был доказан гораздо раньше Леонардом Эйлером , но Гаусс разработал более упрощенное доказательство, в котором использовались целые числа Эйзенштейна ; хотя и более общее, доказательство было проще, чем в случае действительных целых чисел.

Гаусс внес свой вклад в решение гипотезы Кеплера в 1831 году, когда он доказал, что – в трехмерном случае – наибольшая плотность упаковки сфер достигается, когда центры сфер образуют кубическое гранецентрированное расположение. Он показал это в рецензии на книгу Людвига Августа Зеебера по теории приведения положительных троичных квадратичных форм: Гаусса в соответствии с программой, изложенной в «Исследованиях» . Заметив, что Зеебер не доказал центральную теорему своей теории, он упростил многие свои аргументы, доказал центральную гипотезу и заметил, что эта теорема эквивалентна гипотезе Кеплера для регулярных расположений.

В двух статьях о биквадратичных вычетах (1828, 1832) Гаусс ввел кольцо гауссовских целых чисел. $\mathbb {Z} [i]$показал, что это уникальная область факторизации . и обобщил некоторые ключевые арифметические концепции, такие как малая теорема Ферма и лемма Гаусса . Основной целью введения этого кольца была формулировка закона биквадратичной взаимности. – как обнаружил Гаусс, кольца комплексных целых чисел являются естественной средой для таких высших законов взаимности.

Во второй статье он сформулировал общий закон биквадратной взаимности и доказал несколько его частных случаев. Он обещал третью статью с общим доказательством, которое так и не появилось. В более ранней публикации 1818 года, содержащей его пятое и шестое доказательства квадратичной взаимности, он утверждал, что методы этих доказательств ( суммы Гаусса ) могут быть применены для доказательства высших законов взаимности.

Публикации Гаусса о биквадратичных остатках привели к прогрессу в теории чисел и «высшей арифметике».

Анализ

Одним из первых открытий Гаусса было понятие среднего арифметико-геометрического (АГС) двух положительных действительных чисел. Он обнаружил ее связь с эллиптическими интегралами в 1798–1799 годах посредством преобразования Ландена , а в дневниковой записи зафиксировано открытие связи константы Гаусса с лемнискатическими эллиптическими функциями , результат, который, как заявил Гаусс, «наверняка откроет совершенно новую область анализа». Он также рано вторгся в более формальные вопросы оснований комплексного анализа , и из письма Бесселю в 1811 году ясно, что он знал «фундаментальную теорему комплексного анализа» — интегральную теорему Коши — и понимал понятие комплексного анализа . остатки при интегрировании вокруг полюсов .

Другим источником вдохновения для ранних работ Гаусса в области анализа была теорема Эйлера о пятиугольных числах . Эта теорема вместе с другими исследованиями AGM и лемнискатических функций привела его к множеству результатов о тета-функциях Якоби . кульминацией которого стало открытие в 1808 году тождества тройного произведения Якоби, позже названного тождеством тройного произведения , которое включает теорему Эйлера как частный случай, за два десятилетия до » Якоби появления в 1829 году « Фундамента нова . Кроме того, его работы показывают, что с 1808 года он знал модулярные преобразования 3, 5, 7 порядка для эллиптических функций.

Несколько математических фрагментов в его «Начклассе» указывают на то, что он знал некоторые части современной теории модульных форм . В своей работе над многозначным AGM двух комплексных чисел он обнаружил глубокую связь между бесконечно многими значениями AGM и двумя его «простейшими значениями». В своих неопубликованных работах он осознал и сделал набросок ключевой концепции фундаментальной области модульной группы . Одним из подобных набросков Гаусса был рисунок замощения единичного круга « равносторонними» гиперболическими треугольниками со всеми углами, равными $\pi /4$.

Примером проницательности Гаусса в области анализа является загадочное замечание о том, что принципы деления круга с помощью циркуля и линейки также могут быть применены к делению кривой лемнискаты , что послужило вдохновением для создания теоремы Абеля о делении лемнискаты. Другим примером является его публикация «Summatio quarundam serierum сингуляриум» (1811 г.) об определении знака квадратичной суммы Гаусса , в которой он решил основную проблему, введя q-аналоги биномиальных коэффициентов и манипулируя ими с помощью нескольких оригинальных тождеств, которые кажутся вытекают из его работ по теории эллиптических функций; однако Гаусс изложил свой аргумент формальным образом, который не раскрывает его происхождение из теории эллиптических функций, и только более поздние работы математиков, таких как Якоби и Эрмит, раскрыли суть его аргумента.

При жизни Гаусс почти ничего не опубликовал об этих более современных теориях эллиптических функций , однако большую часть результатов по смежной теме гипергеометрической функции он опубликовал. В «Disquisitionesgenerales circa series infinitam...» (1813 г.) он дает первое систематическое рассмотрение общей гипергеометрической функции. $F(\alpha ,\beta ,\gamma ,x)$и показывает, что многие функции, известные науке в то время, такие как элементарные функции и некоторые специальные функции , являются частным случаем гипергеометрической функции. Эта работа является первой точным исследованием сходимости бесконечных рядов. в истории математики Кроме того, он имеет дело с бесконечными цепными дробями, возникающими как отношения гипергеометрических функций, которые теперь называются цепными дробями Гаусса .

В 1822 году Гаусс получил премию Датского общества за эссе о конформных отображениях , содержащее несколько разработок, относящихся к области комплексного анализа. В этом эссе Гаусс ясно высказал мысль о том, что отображения, сохраняющие угол на комплексной плоскости, должны быть комплексными аналитическими функциями , и использовал позднее названное уравнение Бельтрами, чтобы доказать существование изотермических координат на аналитических поверхностях. Эссе завершается примерами конформных отображений на сферу и эллипсоид вращения . Кроме того, в неопубликованных фрагментах 1834–1839 годов он исследовал и решил более сложную задачу явного построения конформного отображения внутренней части эллипса на единичный круг. Его решение, которое объединило ранние работы по эллиптическим функциям и более поздние идеи по теории потенциала , показывает его мастерство в теории логарифмического потенциала, а окончательные результаты соответствовали формуле, найденной Германом Шварцем в 1870 году.

Численный анализ

Гаусс часто выводил теоремы индуктивным путем на основе числовых данных, собранных им эмпирическим путем. Таким образом, использование эффективных алгоритмов для облегчения вычислений было жизненно важным для его исследований, и он внес большой вклад в численный анализ . В 1816 году он опубликовал статью о численном интегрировании , в которой описал метод квадратуры Гаусса , который был значительным улучшением по сравнению с существующими методами, такими как формулы Ньютона-Котеса . Вальтер Гаучи считал появление этой статьи Гаусса важным событием в численном анализе XIX века, которое вдохновило на многие работы более поздних математиков.

В частном письме Герлингу от 1823 г. он описал решение некоторой системы линейных уравнений 4X4 с использованием метода Гаусса-Зейделя – «косвенного» итерационного метода решения линейных систем, который в некоторых случаях очень быстро сходится к точному решению. Гаусс рекомендовал его вместо обычного метода (так называемого «прямого исключения») для систем, состоящих более чем из двух уравнений, заявив, что это можно сделать «в полусне или, думая о других вещах».

Гаусс изобрел алгоритм для вычисления того, что сейчас называется дискретным преобразованием Фурье , при вычислении орбит Паллады и Юноны в 1805 году, за 160 лет до того, как Кули и Тьюки нашли свой аналогичный алгоритм БПФ Кули-Тьюки . Он разработал его как метод тригонометрической интерполяции , но статья Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata была опубликована только посмертно в 1876 году. предшествовала первая презентация Жозефа Фурье по этому вопросу в 1807 году.

Хронология

Первая публикация после докторской диссертации была посвящена определению даты Пасхи (1800 г.) — очень элементарному вопросу математики. Гаусс стремился представить наиболее удобный алгоритм для людей без каких-либо знаний в церковной или даже астрономической хронологии и, таким образом, избегал обычно требуемых терминов золотого числа , эпакта , солнечного цикла , купольной буквы и любых религиозных коннотаций. Биографы размышляли о причине, по которой Гаусс затронул этот вопрос, но это, вероятно, можно понять, исходя из исторического фона. Замена юлианского календаря григорианским календарем вызвала путаницу в сотнях государств Священной Римской империи , начиная с XVI века, и завершилась в Германии только в 1700 году, когда разница в одиннадцать дней была устранена, но разница в расчете даты Пасхи между протестантскими и католическими территориями сохранялась. Дальнейшее соглашение 1776 года уравняло конфессиональный способ подсчета, поэтому в протестантских государствах, таких как герцогство Брауншвейгское, Пасха 1777 года, за пять недель до рождения Гаусса, была первой, рассчитанной по-новому. Общественные трудности замены могут быть историческим фоном путаницы по этому вопросу в семье Гаусс (см. главу: Анекдоты ). эссе о дате Песаха . Поскольку это было связано с пасхальными правилами, вскоре в 1802 году последовало

Астрономия

Основная статья: Открытие Цереры

Карл Фридрих Гаусс 1803, автор Иоганн Кристиан Август Шварц

1 января 1801 года итальянский астроном Джузеппе Пиацци открыл новый небесный объект, предположил, что это давно разыскиваемая планета между Марсом и Юпитером согласно так называемому закону Тициуса-Боде , и назвал его Церерой . Он мог отслеживать его лишь недолгое время, пока он не скрылся за сиянием Солнца. Математических инструментов того времени было недостаточно, чтобы экстраполировать положение на основе немногочисленных данных для его повторного появления. Гаусс взялся за эту проблему и предсказал место возможного повторного открытия в декабре 1801 года. Это оказалось точным с точностью до полградуса, когда Франц Ксавер фон Зах 7 и 31 декабря в Готе и независимо Генрих Ольберс 1 и 2 января в Бремене. , идентифицировал объект рядом с прогнозируемым положением.

Метод Гаусса приводит к уравнению восьмой степени, одно решение которого — орбита Земли, известно. Затем искомое решение отделяется от остальных шести на основе физических условий. В этой работе Гаусс использовал созданные им для этой цели комплексные методы аппроксимации.

Открытие Цереры привело Гаусса к теории движения планетоидов, возмущенной большими планетами, которая в конечном итоге была опубликована в 1809 году под названием Theoria motus corporum coelestium insectionibus conicis solemambitum . Он ввел гравитационную постоянную Гаусса .

С тех пор как были открыты новые астероиды, Гаусс занялся возмущениями элементов их орбит . Сначала он исследовал Цереру аналитическими методами, подобными методам Лапласа, но его любимым объектом была Паллада из-за ее большого эксцентриситета и наклона орбиты , из-за чего метод Лапласа не работал. Гаусс использовал свои собственные инструменты: среднее арифметико-геометрическое , гипергеометрическую функцию и свой метод интерполяции. В 1812 году он обнаружил орбитальный резонанс с Юпитером в соотношении 18:7; Гаусс дал этот результат в виде шифра , а явный смысл придал только в письмах Ольберсу и Бесселю. После долгих лет работы он закончил ее в 1816 году, не получив результата, который показался ему достаточным. Это положило конец его деятельности и в области теоретической астрономии.

Геттингенская обсерватория, вид с северо-запада (Фридрих Беземанн, ок. 1835 г. )

Одним из результатов исследований Гаусса возмущений Палласа стала работа Determinatio Attractionis... (1818 г.), посвященная методу теоретической астрономии, который позже стал известен как «метод эллиптических колец». Он ввел концепцию усреднения, в которой планета на орбите заменяется воображаемым кольцом с плотностью массы, пропорциональной времени, за которое планета движется по соответствующим орбитальным дугам. Гаусс представляет метод оценки гравитационного притяжения такого эллиптического кольца, включающий несколько этапов; один из них предполагает прямое применение алгоритма среднего арифметико-геометрического (AGM) для вычисления эллиптического интеграла . В конце 19 века метод Гаусса был адаптирован американским астрономом Джорджем Уильямом Хиллом , который применил его непосредственно к проблеме вековых возмущений, вызванных Венерой на орбите Меркурия .

Хотя вклад Гаусса в теоретическую астрономию подошел к концу, более практическая деятельность в наблюдательной астрономии продолжалась и занимала его на протяжении всей его карьеры. Еще в начале 1799 года Гаусс занимался определением долготы с использованием лунного параллакса, для чего разработал более удобные формулы, чем те, которые обычно использовались. После назначения директором обсерватории в переписке с Бесселем он придавал значение фундаментальным астрономическим константам. Сам Гаусс предоставил таблицы нутации и аберрации, солнечных координат и рефракции. Он внес большой вклад в сферическую геометрию и в этом контексте решил некоторые практические проблемы навигации по звездам . Он опубликовал большое количество наблюдений, главным образом по малым планетам и кометам; его последним наблюдением было солнечное затмение 28 июля 1851 года .

Теория ошибок

Вполне вероятно, что Гаусс использовал метод наименьших квадратов для расчета орбиты Цереры, чтобы минимизировать влияние ошибки измерения . Этот метод был впервые опубликован Адрианом-Мари Лежандром в 1805 году, но Гаусс в «Theoria motus» (1809) утверждал, что он использовал его с 1794 или 1795 года. В истории статистики это разногласие получило название «спор о приоритете открытия метода наименьших квадратов». Гаусс доказал, что этот метод имеет наименьшую дисперсию выборки в классе линейных несмещенных оценок в предположении нормально распределенных ошибок ( теорема Гаусса-Маркова ), в статье, состоящей из двух частей, Theoria Combinis Observeum erroribus Minimis Obnoxiae (1823).

В первой статье он сформулировал и доказал неравенство Гаусса ( неравенство типа Чебышева ) для унимодальных распределений и сформулировал без доказательства другое неравенство для моментов четвертого порядка (частный случай неравенства Гаусса-Винклера). Он получил нижнюю и верхнюю границы дисперсии выборочной дисперсии . Во второй статье Гаусс описал рекурсивные методы наименьших квадратов . Работы Гаусса по теории ошибок были расширены в нескольких направлениях геодезистом Фридрихом Робертом Гельмертом до модели Гаусса-Гельмерта .

Гаусс также внес свой вклад в решение проблем теории вероятностей , которые не связаны напрямую с теорией ошибок. Один пример представляет собой дневниковую заметку и касается проблемы описания асимптотического распределения записей в разложении в цепную дробь случайного числа, равномерно распределенного в (0,1) . Он вывел это распределение, теперь известное как распределение Гаусса-Кузьмина , как побочный продукт открытия эргодичности отображения Гаусса для цепных дробей . Решение Гаусса — первый результат в метрической теории цепных дробей.

Измерение дуги и геодезическая съемка

Орден короля Георга IV от 9 мая 1820 г. к проекту триангуляции (с дополнительной подписью графа Эрнста цу Мюнстера ниже)

Гелиотроп ​

Вице-гелиотроп Гаусса, секстант Тротона с дополнительным зеркалом.

Геодезическими задачами Гаусс занимался с 1799 года, когда помогал Карлу Людвигу фон Лекоку с расчетами во время его изысканий в Вестфалии . Позже, с 1804 года, он самостоятельно обучился геодезической практике с секстантом в Брауншвейге. и Геттинген.

С 1816 года бывший ученик Гаусса Генрих Кристиан Шумахер , тогда профессор в Копенгагене , но живший в Альтоне ( Гольштейн ) под Гамбургом в качестве руководителя обсерватории, осуществил триангуляцию полуострова Ютландия от Скагена на севере до Лауэнбурга на юге. Этот проект послужил основой для создания карт, но также был направлен на определение геодезической дуги между терминалами. Данные геодезических дуг использовались для определения размеров земного геоида , а большие расстояния по дугам давали более точные результаты. Шумахер увидел шанс и попросил Гаусса продолжить эту работу дальше на юг, в Ганноверском королевстве; Гаусс согласился после непродолжительного колебания. Наконец, в мае 1820 года король Георг IV отдал приказ Гауссу.

Измерение дуги требует точного астрономического определения как минимум двух точек сети . Гаусс и Шумахер использовали излюбленный случай: обе обсерватории в Геттингене и Альтоне, в саду дома Шумахера, лежали почти на одной и той же долготе . Широта зенитным измерялась как собственными приборами, так и сектором Рамсдена , который был перевезен в обе обсерватории.

Гаусс и Шумахер еще в октябре 1818 года определили некоторые углы между Люнебургом , Гамбургом и Лауэнбургом для геодезической связи. Летом 1821–1825 годов Гаусс лично руководил триангуляцией, которая простиралась от Тюрингии на юге до реки Эльбы на севере. Треугольник был самым большим треугольником, который когда-либо измерял Гаусс , между Хохер-Хагеном , Гроссер-Инзельсбергом в Тюрингском лесу и Броккеном в горах Гарца с максимальной стороной 107 км (66,5 миль). В малонаселенной Люнебургской пустоши , где не было значительных естественных вершин или искусственных построек, ему было трудно найти подходящие точки триангуляции, иногда приходилось прорезать тропы сквозь растительность. или даже возведение сигнальных вышек.

Для наведения сигналов Гаусс изобрел новый инструмент с подвижными зеркалами и небольшим телескопом, отражающим солнечные лучи к точкам триангуляции, и назвал его гелиотропом . Другой подходящей конструкцией для той же цели был секстант с дополнительным зеркалом, который он назвал вице-гелиотропом . Гауссу помогли солдаты ганноверской армии, в том числе его старший сын Йозеф. Гаусс принимал участие в измерении базовой линии ( Baak Base Line ) Шумахера в деревне Браак недалеко от Гамбурга в 1820 году и использовал результат для оценки ганноверской триангуляции.

Дополнительным результатом стало лучшее значение уплощения аппроксимативного земного эллипсоида . Гаусс разработал универсальную поперечную проекцию Меркатора Земли эллипсоидной формы (то, что он назвал конформной проекцией ). для представления геодезических данных на плоских картах.

начал расширение триангуляции на запад, чтобы получить обзор всего Ганноверского королевства . Когда измерение дуги было закончено, Гаусс королевским указом от 25 марта 1828 года Практической работой руководили три армейских офицера, в том числе лейтенант Йозеф Гаусс. Полная оценка данных оказалась в руках Карла Фридриха Гаусса, который применил к нему собственные математические изобретения, такие как метод наименьших квадратов и метод исключения . Проект был завершен в 1844 году, и Гаусс отправил правительству окончательный отчет о проекте; его метод проекции не редактировался до 1866 года.

В 1828 году, изучая различия в широте , Гаусс впервые определил физическую аппроксимацию фигуры Земли как поверхности, всюду перпендикулярной направлению силы тяжести; позже его докторант Иоганн Бенедикт Листинг назвал это геоидом .

Дифференциальная геометрия

Основная статья: Теорема Эгрегиума

Геодезическая съемка Ганновера подогрела интерес Гаусса к дифференциальной геометрии и топологии , областям математики, имеющим дело с кривыми и поверхностями . Это привело его в 1828 году к публикации мемуаров, которые ознаменовали рождение современной дифференциальной геометрии поверхностей , поскольку она отошла от традиционных способов рассмотрения поверхностей как декартовых графиков функций двух переменных и положила начало исследованию поверхностей с точки зрения «внутренняя» точка зрения двумерного существа, вынужденного передвигаться по нему. В результате появилась Теорема Эгрегиум ( замечательная теорема ), установившая свойство понятия гауссовой кривизны . Неформально теорема гласит, что кривизну поверхности можно полностью определить путем измерения углов и расстояний на поверхности. То есть кривизна не зависит от того, как поверхность может быть встроена в трехмерное или двумерное пространство.

Теорема Egregium приводит к абстракции поверхностей как дважды расширенных многообразий ; оно проясняет различие между внутренними свойствами многообразия (метрикой ) и его физической реализацией (вложением) в окружающее пространство. Следствием является невозможность изометрического преобразования между поверхностями различной гауссовой кривизны. Практически это означает, что сферу или эллипсоид невозможно преобразовать в плоскость без искажения, что вызывает фундаментальную проблему при построении проекций для географических карт. Часть этого эссе посвящена глубокому изучению геодезии . В частности, Гаусс доказывает локальную теорему Гаусса-Бонне о геодезических треугольниках и обобщает теорему Лежандра о сферических треугольниках на геодезические треугольники на произвольных поверхностях с непрерывной кривизной; он обнаружил, что углы «достаточно малого» геодезического треугольника отклоняются от углов плоского треугольника с теми же сторонами таким образом, что это зависит только от значений кривизны поверхности в вершинах треугольника, независимо от поведения поверхность внутри треугольника.

В мемуарах Гаусса 1828 года отсутствует концепция геодезической кривизны . Однако в предыдущей неопубликованной рукописи, написанной, скорее всего, в период с 1822 по 1825 год, он ввел термин «боковая кривизна» (по-немецки: «Seitenkrümmung») и доказал его инвариантность при изометрических преобразованиях, результат, который позже был получен Фердинандом. Задумано и опубликовано им в 1830 году. Эта статья Гаусса содержит ядро ​​его леммы о полной кривизне, а также ее обобщение, найденное и доказанное Пьером Оссианом Бонне в 1848 году и известное как теорема Гаусса-Бонне .

Неевклидовы геометрии

Основная статья: Неевклидова геометрия

Литография Зигфрида Бендиксена (1828 г.)

При жизни Гаусса шла оживленная дискуссия по поводу аксиомы Евклида о параллельности. Многие математики пытались доказать это, тогда как некоторые из них обсуждали возможность существования геометрических систем без него. Самого Гаусса интересовали только геометрические аспекты физического пространства, но его не интересовали философские аспекты расширенной геометрии. В 1816 году он дал первый короткий публичный комментарий по этому поводу в рецензии на книгу, а в последующее время время от времени делал некоторые замечания в письмах своим корреспондентам. Именно он ввел термин «неевклидова геометрия».

Лишь когда Лобачевский (1829) и Янош Бойяи (1832) впервые в истории математики опубликовали свои идеи неевклидовой геометрии, Сам Гаусс отверг свои идеи, но избегал какого-либо влияния на современную научную дискуссию, поскольку не публиковал об этом. Гаусс высоко оценил идеи Яноша Бойяи в письме своему отцу: утверждая, что это соответствовало его собственным мыслям на протяжении нескольких десятилетий. Но неясно, насколько он опередил Лобачевского и Бояи, ибо в своих письмах он давал об этом лишь туманные и неясные замечания.

Сарториус впервые упомянул об этом в 1856 году, но только издание левых статей в томе VIII «Собрания сочинений» (1900) показало собственный прогресс Гаусса в этом вопросе, в то время, когда неевклидова геометрия еще не вышла из спорных дискуссий.

В 1854 году Гаусс выбрал тему для Бернхарда Римана вступительной лекции «О гипотезах, лежащих в основе геометрии», из трех предложений Римана. По пути домой с лекции Римана Вебер сообщил, что Гаусс был полон похвал и волнений.

Ранняя

Гаусс также был пионером топологии или Geometria Situs , как ее называли при его жизни. Первое доказательство основной теоремы алгебры в 1799 году содержало по существу топологический аргумент; пятьдесят лет спустя он развил топологический аргумент в своем четвертом доказательстве этой теоремы.

Бюст Гаусса работы Генриха Геземанна (1855 г.)

Еще одно столкновение с топологическими понятиями произошло с ним в ходе астрономических работ в 1804 году, когда он определил пределы области на небесной сфере , в которой могли появиться кометы и астероиды и которую назвал «Зодиаком». Он обнаружил, что если орбиты Земли и кометы связаны , то по топологическим причинам Зодиак представляет собой всю сферу. В 1848 году, в связи с открытием астероида 7 Ирис , он опубликовал дальнейшее качественное обсуждение Зодиака.

Из писем Гаусса в период 1820–1830 гг. можно узнать, что он интенсивно размышлял над темами, близкими к Geometria Situs, и постепенно осознал семантические трудности в этой области. Фрагменты этого периода показывают, что он пытался классифицировать «фигуры трактов», которые представляют собой замкнутые плоские кривые с конечным числом поперечных самопересечений, которые также могут быть плоскими проекциями узлов . Для этого он разработал символическую схему, код Гаусса , которая в некотором смысле отражала характерные особенности фигур трактов.

Во фрагменте 1833 года Гаусс определил связующее число двух пространственных кривых неким двойным интегралом и тем самым впервые дал аналитическую формулировку топологического явления. В той же заметке он посетовал на небольшой прогресс, достигнутый в Geometria Situs, и отметил, что одной из ее центральных проблем будет «подсчет переплетений двух замкнутых или бесконечных кривых». Его записные книжки того периода показывают, что он также думал о других топологических объектах, таких как косы и клубки .

В последующие годы Гаусс очень уважал развивающуюся область топологии и ожидал от нее большого будущего развития, но поскольку по этим вопросам Гаусс написал так мало письменных, но неопубликованных материалов, его влияние осуществлялось главным образом через случайные замечания и устные сообщения своим коллегам и ученикам Мебиусу, Листингу и Риману.

математические

Гаусс применил концепцию комплексных чисел для решения некоторых известных задач новым, кратким способом. Например, в короткой заметке 1836 года о геометрических аспектах тройных форм и их применении в кристаллографии: он сформулировал фундаментальную теорему аксонометрии , которая говорит, как с полной точностью представить трехмерный куб на двумерной плоскости с помощью комплексных чисел. Вращение этой сферы он описал как действие некоторых дробно-линейных преобразований на расширенной комплексной плоскости: и дал доказательство геометрической теоремы о том, что высоты треугольника всегда встречаются в одном ортоцентре .

Гаусса интересовала » Джона Непера « Pentagramma mirificum — некая сферическая пентаграмма — в течение нескольких десятилетий; он подошел к ней с разных точек зрения и постепенно пришел к полному пониманию ее геометрических, алгебраических и аналитических аспектов. В частности, в 1843 году он сформулировал и доказал несколько теорем, связывающих эллиптические функции, сферические пятиугольники Непера и пятиугольники Понселе на плоскости.

Кроме того, он внес решение проблемы построения эллипса наибольшей площади внутри заданного четырехугольника . и обнаружил удивительный результат о вычислении площади пятиугольников .

Магнетизм и телеграфия

Геомагнетизм

Памятник Гауссу-Веберу в Геттингене работы Фердинанда Харцера (1899 г.)

Магнитометр Гаусса-Вебера

Гаусс интересовался магнетизмом с 1803 года. После Александра фон Гумбольдта визита в Гёттинген в 1826 году оба учёных начали интенсивные исследования по геомагнетизму , частично независимо, частично в продуктивном сотрудничестве. В 1828 году Гаусс был личным гостем Гумбольдта во время конференции Общества немецких естествоиспытателей и врачей в Берлине, где познакомился с физиком Вильгельмом Вебером .

Когда Вебер получил кафедру физики в Геттингене в качестве преемника Иоганна Тобиаса Майера по рекомендации Гаусса в 1831 году, они оба начали плодотворное сотрудничество, которое привело к новым знаниям о магнетизме с представлением единиц магнетизма через массу, заряд. , и время. Они основали Магнитную ассоциацию (нем. Magnetischer Verein ), международную рабочую группу из нескольких обсерваторий, которая поддерживала измерения магнитного поля Земли во многих регионах мира одинаковыми методами в определенные даты в период с 1836 по 1841 год.

предложил создать всемирную сеть геомагнитных станций в британских владениях В 1836 году Гумбольдт в письме герцогу Сассекскому , тогдашнему президенту Королевского общества, ; магнитные измерения следует проводить в стандартизированных условиях, используя методы Гаусса. Вместе с другими зачинщиками это привело к глобальной программе, известной как « Магнитный крестовый поход » под руководством Эдварда Сабина . Даты, время и интервалы наблюдений определялись заранее, среднее геттингенское время . в качестве эталона использовалось В этой глобальной программе приняла участие 61 станция на всех пяти континентах. Гаусс и Вебер основали серию для публикации результатов, в период с 1837 по 1843 год было издано шесть томов. Отъезд Вебера в Лейпциг в 1843 году как поздний эффект дела Геттингенской семерки ознаменовал конец деятельности Магнитной ассоциации.

Следуя примеру Гумбольдта, Гаусс приказал магнитную обсерваторию построить в саду обсерватории , но оба ученых разошлись во мнениях по поводу инструментального оборудования; Гаусс предпочитал стационарные инструменты, которые, по его мнению, давали более точные результаты, тогда как Гумбольдт привык к подвижным инструментам. Гаусс интересовался временными и пространственными изменениями магнитного склонения, наклонения и интенсивности, но различал концепцию магнитной напряженности Гумбольдта до терминов «горизонтальная» и «вертикальная» интенсивность. Вместе с Вебером он разработал методы измерения составляющих напряженности магнитного поля и сконструировал подходящий магнитометр для измерения абсолютных значений напряженности магнитного поля Земли, а не относительных, зависящих от прибора. Точность магнитометра была примерно в десять раз выше, чем у предыдущих приборов. В этой работе Гаусс был первым, кто вывел немеханическую величину с помощью основных механических величин.

Гаусс разработал « Общую теорию земного магнетизма» (1839 г.), которая, по его мнению, описывает природу магнитной силы; Следуя Феликсу Кляйну, эта работа на самом деле представляет собой представление наблюдений с использованием сферических гармоник, а не физической теории. Теория предсказывала существование ровно двух магнитных полюсов на Земле, поэтому идея Ханстина о четырех магнитных полюсах устарела. и данные позволили определить их местоположение с достаточно хорошей точностью.

Гаусс повлиял на начало геофизики в России, когда Адольф Теодор Купфер , один из его бывших учеников, основал магнитную обсерваторию в Петербурге по примеру обсерватории в Геттингене, а также Ивана Симонова в Казани .

Электромагнетизм

План города Геттингена с ходом телеграфной связи

Открытия Ганса Христиана Эрстеда по электромагнетизму и Майкла Фарадея по электромагнитной индукции привлекли внимание Гаусса к этим вопросам. Гаусс и Вебер нашли правила для разветвленных электрических цепей, которые позже были найдены независимо и впервые опубликованы Густавом Кирхгофом и названы в его честь законами цепей Кирхгофа . и навел справки по электромагнетизму. В 1833 году они построили первый электромеханический телеграф , а сам Вебер соединил обсерваторию с физическим институтом в центре Геттингена. но они не заботились о дальнейшем развитии этого изобретения в коммерческих целях.

Основные теоретические интересы Гаусса в области электромагнетизма нашли отражение в его попытках сформулировать количественные законы, управляющие электромагнитной индукцией. В тетрадях этих лет он записал несколько новаторских формулировок; он открыл идею векторной потенциальной функции (независимо переоткрытую Францем Эрнстом Нейманом в 1845 году), а в январе 1835 года записал «закон индукции», эквивалентный закону Фарадея , который гласил, что электродвижущая сила в данной точке пространства равна к мгновенной скорости изменения (по времени) этой функции.

Гаусс пытался найти объединяющий закон для эффектов электростатики , электродинамики , электромагнетизма и индукции на больших расстояниях , сравнимый с законом гравитации Ньютона. но его попытка закончилась «трагической неудачей».

Потенциальная

Поскольку Исаак Ньютон теоретически показал, что Земля и вращающиеся звезды принимают несферическую форму, проблема притяжения эллипсоидов приобрела важное значение в математической астрономии. В своей первой публикации по теории потенциала «Теория притяжения...» (1813 г.) Гаусс представил в замкнутой форме гравитационное притяжение однородного трехосного эллипсоида в каждой точке пространства. Эта проблема ранее рассматривалась и решалась Маклореном , Лапласом и Лагранжем, но их процедуры либо основывались на разложении в медленно сходящиеся бесконечные ряды, либо не решали ее в полной общности. Новое решение Гаусса рассматривало притяжение более непосредственно в форме эллиптического интеграла. В процессе он также доказал и применил некоторые частные случаи так называемой теоремы Гаусса в векторном анализе .

В «Общих теоремах» о силах притяжения и отталкивания, действующих в пропорциях, обратных квадратичным расстояниям (1840), Гаусс заложил основу теории магнитного потенциала , основанной на Лагранже, Лапласе и Пуассоне; кажется маловероятным, что он знал предыдущие работы Джорджа Грина по этой теме. Однако Гаусс так и не смог объяснить ни причины магнетизма, ни теорию магнетизма, подобную работе Ньютона по гравитации, которая позволила бы ученым предсказать геомагнитные эффекты в будущем.

Оптика

В 1807 году производитель инструментов Иоганн Георг Репсольд из Гамбурга обратился к Гауссу за помощью в создании системы ахроматических линз. Основываясь на расчетах Гаусса, Репсольд добился новой цели в 1810 году. Основной проблемой, среди других трудностей, было неточное знание показателя преломления и дисперсии используемых типов стекла. В небольшой статье 1817 года Гаусс рассмотрел проблему устранения хроматической аберрации в двойных линзах и произвел расчеты по корректировке формы и коэффициентов преломления, необходимые для ее минимизации. Его работу отметил оптик Карл Август фон Штайнхайль , который в 1860 году представил ахроматический дублет Штейнхайля , частично основанный на расчетах Гаусса. Многие результаты по геометрической оптике разбросаны по переписке и заметкам Гаусса.

В «Диоптрических исследованиях» (1840 г.) Гаусс дал первый систематический анализ формирования изображений в параксиальном приближении ( гауссова оптика ). Гаусс продемонстрировал, что в параксиальном приближении оптическую систему можно охарактеризовать ее сторонами света : и он вывел формулу линзы Гаусса , применимую без ограничений по толщине линз.

Механика

Первое занятие Гаусса в области механики касалось вращения Земли . Когда его университетский друг Бензенберг проводил эксперименты по определению отклонения падающих масс от перпендикуляра в 1802 году, что сегодня известно как эффект силы Кориолиса , он попросил Гаусса провести теоретический расчет значений для сравнения с экспериментальными. . Гаусс разработал систему основных уравнений движения, и результаты достаточно соответствовали данным Бензенберга, который включил соображения Гаусса в качестве приложения к своей книге об опытах с падением.

После того, как Фуко публично продемонстрировал вращение Земли в своем эксперименте с маятником в 1851 году, Герлинг обратился к Гауссу с просьбой дать дальнейшие объяснения. Это побудило Гаусса разработать новый демонстрационный аппарат с маятником гораздо меньшей длины, чем у Фуко. Колебания наблюдались в считывающую зрительную трубу с вертикальной шкалой и закрепленным на маятнике зеркалом; время колебаний составляло 3,1 секунды. Он описан в переписке Гаусса-Герлинга, и Вебер провел несколько экспериментов с этим явно работающим аппаратом в 1853 году, но никаких данных опубликовано не было.

Принцип наименьшего принуждения Гаусса 1829 года был установлен как общая концепция для преодоления разделения механики на статику и динамику, сочетая принцип Даламбера с Лагранжа принципом виртуальной работы и показывая аналогии с методом наименьших квадратов .  

Метрология

В 1828 году Гаусс был назначен главой Совета мер и весов Ганноверского королевства. Он обеспечил создание эталонов длины и мер. Гаусс сам взял на себя трудоемкие мероприятия и отдал подробные распоряжения по механической подготовке. В переписке с Шумахером, который также работал над этим вопросом, он изложил новые идеи весов высокой точности. Окончательные отчеты о ганноверском футе и фунте он представил правительству в 1841 году. Эта работа приобрела более чем региональное значение по порядку закона 1836 года, связавшего ганноверские меры с английскими.

Анекдоты

Приходская регистрация крещения Гаусса 4 мая 1777 года с добавленной позже датой рождения.

Сообщается несколько историй о его раннем гении. Мать Карла Фридриха Гаусса никогда не записывала дату его рождения, помня лишь, что он родился в среду, за восемь дней до праздника Вознесения , который наступает через 39 дней после Пасхи. Позже Гаусс решил загадку о дате своего рождения в контексте определения даты Пасхи , выведя методы вычисления этой даты как в прошлые, так и в будущие годы. Гауссу было жаль свою новорожденную дочь Вильгельмину, поскольку она родилась в високосный день 1808 года и поэтому отмечала свой день рождения только раз в четыре года.

В своем мемориале Гауссу Вольфганг Сарториус фон Вальтерсхаузен рассказывает историю о трехлетнем Гауссе, который исправил математическую ошибку, допущенную его отцом. Самая популярная история, рассказанная также Сарториусом, повествует о школьном упражнении: учитель Бюттнер и его помощник Мартин Бартельс приказали ученикам складывать арифметический ряд . Из примерно ста учеников Гаусс первым с большим отрывом правильно решил задачу. Хотя (или потому, что) Сарториус не сообщил подробностей, с течением времени было создано множество версий этой истории со все большим и большим количеством подробностей относительно природы ряда - наиболее частой из них является классическая задача о сложении всех целых чисел из 1 к 100 – и обстоятельства в классе.

Любимым английским писателем Гаусса был Вальтер Скотт; когда он иногда читал слова «на северо-западе широко поднимается луна», его это очень забавляло.

Почести и награды

Медаль Копли Гауссу (1838 г.)

Первое членство в научном обществе было предоставлено Гауссу в 1802 Российской Академией наук . Дальнейшее членство (соответствующее, иностранное или полное) было предоставлено Академией наук в Геттингене (1802/1807). Французская академия наук (1804/1820), ) , Лондонское королевское общество (1804 г. Королевская прусская академия в Берлине (1810 г.), Национальная академия наук в Вероне (1810 г.), Королевское общество Эдинбурга (1820 г.), Баварская академия наук Мюнхена (1820 г.), Королевская Датская академия в Копенгагене (1821 г.), Королевское астрономическое общество в Лондоне (1821 г.), Шведская королевская академия наук (1821 г.), Американская академия искусств и наук в Бостоне (1822 г.), Королевское чешское общество наук в Праге (1833 г.), Королевская академия наук, литературы и изящных искусств Бельгии (1841/1845), Королевское общество наук в Уппсале (1843 г.), Королевская ирландская академия в Дублине (1843 г.), Королевский институт Нидерландов (1845/1851), Испанская королевская академия наук в Мадриде (1850 г.), Русское географическое общество (1851 г.), Императорская Академия наук в Вене (1848 г.), Американское философское общество (1853 г.), Кембриджское философское общество , и Королевское голландское общество наук в Харлеме.

И Казанский университет , и философский факультет Пражского университета назначили его почетным членом в 1848 году.

Гаусс получил премию Лаланда от Французской академии наук в 1809 году за теорию планет и способы определения их орбит всего по трем наблюдениям. премия Датской академии наук в 1823 году за «исследование карт, сохраняющих угол», и медаль Копли Королевского общества в 1838 году за «изобретения и математические исследования в области магнетизма».

Гаусс был назначен кавалером французского Почетного легиона в 1837 году. и был одним из первых членов прусского ордена Pour le Merite (Гражданский класс), когда он был основан в 1842 году. Он получил Орден Вестфальской Короны (1810 г.). Датский орден Даннеброга (1817 г.), Ганноверский королевский гвельфийский орден (1815 г.), шведский орден Полярной звезды (1844 г.), Орден Генриха Льва (1849 г.), и Баварский Орден Максимилиана науки и искусства (1853 г.).

Короли Ганновера присвоили ему почетные титулы « Хофрат » (1816 г.). и «Тайный Хофрат» (1845). По случаю своего золотого юбилея со степенью доктора в 1849 году он получил почетное гражданство обоих городов Брауншвейг и Геттинген. была выпущена медаль Вскоре после его смерти по приказу короля Ганновера Георга V с надписью на оборотной стороне, посвященной «Принцу математиков»: Georgivs V Rex Hannoverae Mathematicorvm Principi и надписью: Academiae Svae Georgiae Avgvstae Decori Aeterno .

″Gauss-Gesellschaft Göttingen″ ( Общество Гаусса ) было основано в 1964 году для исследования жизни и творчества Карла Фридриха Гаусса и связанных с ним лиц и редактирует ″Mitteilungen der Gauss-Gesellschaft″ ( Сообщения Общества Гаусса ).

Имена и памятные даты

• Список вещей, названных в честь Карла Фридриха Гаусса

Избранные произведения

Математика и астрономия

Статуя Гаусса в Брауншвейге (1880 г.), работа Германа Генриха Ховальдта по проекту Фрица Шапера.

• 1799: Demonstratio nova теорематис omnem functionem алгебраической рациональной интеграм униус variabilis in Factores Reales primi vel secundi gradus resolvi posse [ Новое доказательство теоремы о том, что каждая целая алгебраическая функция одной переменной может быть разложена на действительные множители первой или второй степени ]. Хельмштедт: К.Г. Флекайзен. (Докторская диссертация по основной теореме алгебры, Университет Хельмштедта) Оригинальная книга
• 1816: «Новая демонстрация второй теоремы о том, что всякую целую рациональную алгебраическую функцию одной переменной можно разложить на действительные множители первой или второй степени» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 3 : 107–134. Оригинал
• 1816: «Третье доказательство теоремы о разрешимости целых алгебраических функций в действительные множители» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 3 : 135–142. Оригинал
• 1850: «Вклад в теорию алгебраических уравнений» . Трактаты Королевского общества наук в Геттингене . 4 :34-35. Оригинал (Лекция 1849 г.)
  • Четыре гауссовых доказательства разложения целых алгебраических функций на действительные множители первой и второй степени. (1799–1849) [ Четыре гауссовых доказательства основной теоремы алгебры ]. Перевод Нетто . Лейпциг: Вильгельм Энгельманн. 1890 г. (немецкий)
• 1800: «Расчет Пасхи». Ежемесячная корреспонденция для развития географии и небесной науки (на немецком языке). 2 : 121-130. Оригинал
• 1801: Арифметические рассуждения . Лейпциг: Немецкий. Флейшер июнь.
  • Disquisitions Arithmeticae и другие статьи по теории чисел Перевод Кларка, Артура А. (2-е, исправленное изд.). Нью-Йорк: Спрингер . 1986. doi : 10.1007/978-1-4939-7560-0 . ISBN  978-0-387-96254-2 . (перевод из второго немецкого издания, Геттинген, 1860 г. )
• 1802: «Расчет еврейской Пасхи» . Ежемесячная корреспонденция для развития географии и небесной науки (на немецком языке). 5 : 435-437. Оригинал
• 1804: «О пределах геоцентрических мест планет» . Ежемесячная корреспонденция для развития географии и небесной науки (на немецком языке). 10 : 171–193. Оригинал (по Зодиаку)
• 1808: «Новая демонстрация арифметической теоремы» . Труды Королевского общества наук Геттингена. Комм. Математика . 16 : 69–74. Оригинальный (вводит лемму Гаусса , использует ее в третьем доказательстве квадратичной взаимности)
• 1808: Особый метод определения высоты шеста (на латыни). Геттинген.
• 1809: Теория движения небесных тел в конических сечениях, окружающих Солнце (на латыни). Гамбург: Фридрих Пертес и Иоганн Генрих Бессер. Оригинальная книга
  • Теория движения небесных тел, движущихся вокруг Солнца в конических сечениях . Перевод Дэвиса, Чарльза Генри . Литтл, Браун и компания, 1857 г.
• 1811: «Рассуждения об эллиптических элементах Паллады из противостояний 1803, 1804, 1805, 1806, 1807, 1808, 1809 годов» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Математика . 1 :1–26. Оригинал (с 1810 г.) (Орбита Паллады )
• 1811: «Краткое содержание какой-то конкретной серии» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 1 :1–40. Оригинал (1808 г.) (Определение знака квадратичной суммы Гаусса , использует это для четвертого доказательства квадратичной взаимности)
• 1813: «Общие дискуссии о бесконечных рядах $1+{\frac {\alpha \beta }{\gamma .1}}+{\mbox{etc.}}$" . Комментарии выпускников Королевского общества Геттингенсских наук. Комм. Класс. Математика . 2 : 1–42. Оригинал (с 1812 г., содержит непрерывную дробь Гаусса )
• 1816: «Новый метод нахождения целых значений методом аппроксимации» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 3 : 39–76. Оригинал (с 1814 г.)
• 1818: «Новые демонстрации и расширения основной теоремы теории квадратичных вычетов» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 4 :3–20. Оригинал (1817 г.) (Пятое и шестое доказательства квадратичной взаимности)
• 1818: «Определение притяжения, которое планета оказала бы на данную точку положения, если бы ее масса была равномерно распределена по всей ее орбите, пропорционально времени, в течение которого описывается каждая часть » . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 4 : 21–48. Оригинал (Единственная ссылка на - в основном неопубликованную - работу по алгоритму среднего арифметико-геометрического .)
• 1823: «Теория сочетания наблюдений с учетом мельчайших ошибок. Часть предшествующая» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 5 : 33–62. Оригинал (с 1821 г.)
• 1823: «Теория сочетания наблюдений с учетом мельчайших ошибок. Часть апостериорная» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 5 : 63–90. Оригинал
• 1825: «Общее решение задачи изображения частей данной поверхности на другой данной поверхности таким образом, чтобы изображение стало подобным мельчайшим частям изображаемого» . Астрономические трактаты . 3 . Альтона. (Отмеченное премией эссе 1822 года по конформному картированию)
• 1828: Определение разницы в широте между обсерваториями Геттингена и Альтоны по наблюдениям в зенитном секторе Рамсдена [ Определение разницы в широте между обсерваториями Геттингена и Альтоны по наблюдениям в зенитном секторе Рамсдена ] (на немецком языке). Геттинген: Ванденхук и Рупрехт. 1828. Оригинальная книга .
• 1828: «Дополнение к теории объединения наблюдений при условии минимальных ошибок» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 6 : 57–98. 1828. Бибкод : 1828stco.book.....G . (с 1826 г.)
  • Теория комбинации наблюдений, наименее подверженной ошибкам. Часть первая, Часть вторая, Дополнение (Классика прикладной математики) . Перевод Г.В. Стюарта. Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. 1995. дои : 10.1137/1.9781611971248 . ISBN  978-0-89871-347-3 . (Три эссе о вычислении вероятностей как основе гауссовского закона распространения ошибок)
• 1828: «Общие дискуссии о криволинейных поверхностях» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 6 : 99–146. Оригинал (с 1827 г.)
  • Общие исследования криволинейных поверхностей (PDF) . Перевод Дж. К. Морхеда и А. М. Хилтебейтеля. Библиотека Принстонского университета. 1902.
• 1828: «Теория биквадратичных вычетов, первый комментарий» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 6 : 27–56. Оригинал (с 1825 г.)
• 1832: «Теория биквадратичных вычетов, второй комментарий» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 7 : 89–148. Оригинал (с 1831 г.) (вводит гауссовы целые числа , утверждает (без доказательства) закон биквадратичной взаимности , доказывает дополнительный закон для 1 + i )
• 1845: «Исследования объектов высшей геодезии. Первый трактат» . Трактаты Королевского общества наук в Геттингене . Второй том, 1842–1844 годы: 3–46. Оригинал (с 1843 г.)
• 1847: «Исследования объектов высшей геодезии. Второй трактат» . Трактаты Королевского общества наук в Геттингене . Третий том, 1845–1847 годы: 3–44. Оригинал (с 1846 г.)
• 1848: «Письмо господина тайного советника двора Гаусса в редакцию». Астрономические новости (на немецком языке). 27 :1–3. Оригинал
• 1903: Научный дневник ( Кляйн, Феликс, изд. «Научный дневник Гаусса 1796–1814» . Математические анналы (на латыни и немецком языке). 57 :1–34. дои : 10.1007/BF01449013 . S2CID   119641638 . ) Оригинальная книга (1847 г., о Зодиаке)
  • Джереми Грей (1984). «Комментарий к математическому дневнику Гаусса, 1796–1814». Экспозиции Mathematicae . 2 : 97–130.

Физика

• 1804: Фундаментальные уравнения движения тяжелых тел на Земле (в оригинальной книге: Бензенберг, Иоганн Фридрих . , по сопротивлению воздуха и вращению . Опыты по закону падения тел Земли Дортмунд: братья Маллинкродт. стр. 363–371. оригинал )
• 1813: «Теория притяжения однородных сфероидальных эллиптических тел, трактуемая новым методом» . Труды Королевского общества новейших наук Геттингена. Комм. Сорт. Математика . 2 : 1–24. Оригинал (содержит теорему Гаусса о векторном анализе)
• 1817: «Об ахроматических двойных линзах с особым вниманием к более полной дисперсии цветов». Журнал астрономии и смежных наук (на немецком языке). IV : 345–351.
• 1829: «О новом общем основном законе механики». Журнал чистой и прикладной математики (Crelle's Journal) . 1829 (4): 232–235. 1829. дои : 10.1515/crll.1829.4.232 . S2CID   199545985 .
• 1830: «Общие положения теории формы жидкостей в состоянии равновесия» . Недавние комментарии Королевского общества геттингенских наук . 7 : 39–88. Оригинал (с 1829 г.)
• 1841: «Интенсивность магнитной силы Земли вернулась к абсолютному измерению» . Недавние комментарии Королевского общества геттингенских наук . 8 : 3–44. Оригинал (с 1832 г.)
  • Интенсивность магнитной силы Земли, приведенная к абсолютному измерению. Перевод Сьюзан П. Джонсон.
• 1836: Земной магнетизм и магнитометр (Оригинальная книга: ХК Шумахер (ред.). Ежегодник за 1836 год (на немецком языке). Том 1836. Тюбинген: книжный магазин JGCotta'sche. стр. 1–47. )
• 1840: Общие теоремы о силах притяжения и отталкивания, действующих в обратном соотношении квадрату расстояния (Оригинальная книга: о силах притяжения и отталкивания, действующих в пропорциях, обратных квадратам расстояний ( Общие теоремы на немецком языке). Лейпциг: Книжный магазин Weidmannsche. 1840.
• 1843: « Диоптрические исследования». Трактаты Королевского общества наук в Геттингене (на немецком языке). Первый том: 1–34. Оригинал (с 1840 г.)

Вместе с Вильгельмом Вебером

• 1837–1839: Результаты наблюдений магнитной ассоциации в 1836–1838 гг. (на немецком языке). Геттинген: книжный магазин Дитрих.
• 1840–1843: Результаты наблюдений магнитной ассоциации в 1839–1841 гг. (на немецком языке). Лейпциг: Weidmannsche Verlagsbuchhandlung.
• 1840: Атлас земного магнетизма составлен по элементам теории. Дополнение к результатам наблюдений магнитной ассоциации (на немецком языке). Лейпциг: Weidmannsche Verlagsbuchhandlung.

• 
  Титульный лист «Арифметические исследования» (1801 г.)
• 
  Титульный лист книги «Новая демонстрация теоремы арифметики» (1808 г.)
• 
  Титульный лист книги «Теория движения небесных тел в конических сечениях, окружающих Солнце » (1809 г.)
• 
  Титульный лист английского перевода Theoria Motus Чарльза Генри Дэвиса (1857 г.)
• 
  Титульный лист книги « Интенсивность магнитной силы Земли, восстановленной до абсолютного измерения» (1833 г.)
• 
  Том II « Карла Фридриха Гаусса Верке », 1876 г.

Собрание сочинений

• Королевская прусская академия наук, изд. Карл Фридрих Гаусс. Сочинения (на латыни и немецком языке). Том 1-12. Геттинген: (разные издательства). (включая неопубликованное литературное наследие)

Переписка

• Королевская Прусская академия наук, изд. Переписка Гаусса и Бесселя (на немецком языке). Лейпциг: Вильгельм Энгельманн. (письма с декабря 1804 г. по август 1844 г.)
• Шенберг, Эрих; Перлик, Альфонс (1955). Неизвестные письма от К. Ф. Гаусса и г-жи В. Бессель . Трактаты Баварской академии наук, Матем.-нат. Класс, Новая серия, №. 71 (на немецком языке). Мюнхен: Издательство Баварской академии наук. стр. 5–21. (письма Богуславскому с февраля 1835 г. по январь 1848 г.)
• Швемин, Фридхельм, изд. Переписка Карла Фридриха Гаусса и Иоганна Элерта Боде . Acta Historica Astronomica (на немецком языке). Том 53. Лейпциг: Akademische Verlaganstalt. ISBN  978-3-944913-43-8 . (письма с февраля 1802 г. по октябрь 1826 г.)
• Франц Шмидт, Пауль Штекель, изд. Переписка между Карлом Фридрихом Гауссом и Вольфгангом Бояи (на немецком языке). Лейпциг: Б. Г. Тойбнер. (письма с сентября 1797 г. по февраль 1853 г.; добавлены письма других корреспондентов)
• Аксель Виттманн, изд. Хотя и однако. Переписка Карла Фридриха Гаусса и Иоганна Франца Энке (на немецком языке). Ремаген: Издательство Кесселя. ISBN  978-3945941379 . (письма с июня 1810 г. по июнь 1854 г.)
• Клеменс Шефер, изд. Переписка между Карлом Фридрихом Гауссом и Кристианом Людвигом Герлингом (на немецком языке). Берлин: Отто Эльснер. (письма с июня 1810 г. по июнь 1854 г.)
• Карл Кристиан Брюнс , изд. Письма между А. в. Гумбольдт и Гаусс (на немецком языке). Лейпциг: Вильгельм Энгельманн. (письма с июля 1807 г. по декабрь 1854 г.; добавлены письма других корреспондентов)
• Рич, Карин ; Русанова, Елена (2018). Карл Крейль и земной магнетизм. Его переписка с Карлом Фридрихом Гауссом в историческом контексте . Издания Комиссии истории естествознания, математики и медицины. 68 (на немецком языке). Вена: Издательство Австрийской академии наук. (письма с 1835 по 1843 год)
• Джерарди, Тео, изд. Переписка между Карлом Фридрихом Гауссом и Карлом Людвигом фон Лекоком . Трактаты Академии наук в Геттингене, Математик-физический класс, № 1. 4 (на немецком языке). Геттинген: Ванденхук и Рупрехт. стр. 37–63. (письма с февраля 1799 г. по сентябрь 1800 г.)
• Форбс, Эрик Г. (1971). «Переписка между Карлом Фридрихом Гауссом и преподобным Невилом Маскелином (1802-05)» . Анналы науки . 27 (3): 213–237. дои : 10.1080/00033797100203767 .
• Каннингем, Клиффорд (2004). «Обнаружение пропавшей переписки между Карлом Фридрихом Гауссом и преподобным Невилом Маскелином (1802-05)» . Анналы науки . 61 (4): 469–481. дои : 10.1080/00033790310001660164 .
• Карл Шиллинг, изд. Переписка Ольберса и Гаусса: Первый раздел . Вильгельм Ольберс . Его жизнь и его творчество. Второй том (на немецком языке). Берлин: Юлиус Шпрингер. (письма с января 1802 г. по октябрь 1819 г.)
• Карл Шиллинг, изд. Переписка Ольберса и Гаусса: Второй раздел . Вильгельм Ольберс. Его жизнь и его творчество. Второй том (на немецком языке). Берлин: Юлиус Шпрингер. (письма с января 1820 г. по май 1839 г.; добавлены письма других корреспондентов)
• Кристиан Август Фридрих Петерс , изд. Переписка между К.Ф. Гауссом и Х.К. Шумахером (на немецком языке). Альтона: Густав Эш.
  • Тома 1+2 (письма с апреля 1808 г. по март 1836 г.)
  • Тома 3+4 (письма с марта 1836 г. по апрель 1845 г.)
  • Тома 5+6 (письма с апреля 1845 г. по ноябрь 1850 г.)
• Позер, Ганс, изд. Переписка Карла Фридриха Гаусса и Эберхарда Августа Циммермана . Трактаты Академии наук в Геттингене, Математик-физический класс, Эпизод 3, № 1. 39 (на немецком языке). Геттинген: Ванденхук и Рупрехт. ISBN  978-3525821169 . (письма с 1795 по 1815 гг.)

Геттингенская академия наук и гуманитарных наук представляет полную коллекцию известных писем Карла Фридриха Гаусса и к нему, доступную в Интернете. Литературное наследие хранится и предоставляется Геттингенской государственной и университетской библиотекой . Письменное наследие Карла Фридриха Гаусса и членов его семьи также можно найти в муниципальном архиве Брауншвейга.

Ссылки

Источники

• Бахманн, Пол (1922). «О теоретико-числовых работах Гаусса» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том X, 2 (Документ 1).
• Больца, Оскар (1921). «Гаусс и вариационное исчисление» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том X, 2 (Документ 5).
• Брендель, Мартин (1929). «Об астрономических трудах Гаусса» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том XI, 2 (Документ 3).
• Бюлер, Вальтер Кауфманн (1981). Гаусс: Биографическое исследование . Издательство Спрингер. ISBN  978-0-387-10662-5 .
• Даннингтон, Дж. Уолдо (2004). Карл Фридрих Гаусс: Титан науки . Математическая ассоциация Америки. ISBN  978-0-88385-547-8 . OCLC   53933110 . Первое издание: Карл Фридрих Гаусс: Титан науки. Исследование его жизни и творчества . Нью-Йорк: Экспозиционная пресса. 1955.
  • Грей, Джереми (1955). «Введение в «Гаусс» Даннингтона ». Карл Фридрих Гаусс: Титан науки. Исследование его жизни и творчества . Нью-Йорк: Экспозиционная пресса. стр. XIX – XXVI. С критическим взглядом на стиль и оценки Даннингтона.
• Галле, Андреас (1924). «О геодезических трудах Гаусса» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том XI, 2 (Документ 1).
• Гепперт, Харальд (1933). «О работах Гаусса по механике и теории потенциала» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том X, 2 (Документ 7).
• Кляйн, Феликс (1894). «Развитие математики в немецких университетах» . Лекции по математике . Нью-Йорк, Лондон: Macmillan and Co., стр. 99–101.
• Кляйн, Феликс (1979) [1926]. Лекции о развитии математики в XIX веке. Часть 1 [ Лекции о развитии математики в XIX веке ]. Основные учения математических наук 24 (на немецком языке). Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN  3-540-09234-Х .
• Меннхен, Филипп (1930). «Гаусс как числовой калькулятор» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том X, 2 (Документ 6).
• Островский, Александр (1920). «О первом и четвёртом гауссовских доказательствах основной теоремы алгебры» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том X, 2 (Документ 3).
• Сарториус фон Вальтерсхаузен, Вольфганг (1856 г.). Гаусс по памяти (на немецком языке). С. Хирзель.
  • Карл Фридрих Гаусс. Мемориал (PDF) . Перевод Хелен Уортингтон Гаусс. Колорадо-Спрингс. 1966. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Шааф, Уильям Л. (1964). Карл Фридрих Гаусс: принц математиков . Нью-Йорк: Франклин Уоттс.
• Шефер, Клеменс (1929). «О физических работах Гаусса» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том XI, 2 (Документ 2).
• Шлезингер, Людвиг (1933). «О работах Гаусса по теории функций» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том X, 2 (Документ 2).
• Штекель, Пауль (1917). «Гаусс как геометр» . В Королевской прусской академии наук (ред.). Карл Фридрих Гаусс. Работы (на немецком языке). Том X, 2 (Документ 4).
• Стулофф, Николай (1964). Историческая комиссия Баварской академии наук (ред.). Гаусс, Карл Фридрих . Новая немецкая биография (на немецком языке). Том 6. Берлин: Данкер и Хамблот. стр. 101–107. ISBN  3-428-00187-7 .
• Вуссинг, Ганс (1982). Карл Фридрих Гаус (на немецком языке) (4-е изд.). Лейпциг: BSB Б.Г. Тойбнер.

Дальнейшее чтение

• Мерцбах, Ута К. ; Бойер, Карл Б. (2011). История математики (3-е изд.). Нью-Джерси: Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0470630563 .
• Холл, Торд (1970). Карл Фридрих Гаусс: Биография . Кембридж, Массачусетс: MIT Press . ISBN  978-0-262-08040-8 . OCLC   185662235 .
• Нахин, Пол Дж . (2010). Воображаемая сказка: История √-1 . Издательство Принстонского университета. ISBN  9 78-1-4008-3389-4 .
• Симмонс, Дж. (1996). Гигантская книга учёных: 100 величайших умов всех времён . Сидней: Книжная компания.
• Палатка, Маргарет (2006). Принц математики: Карл Фридрих Гаусс . АК Петерс. ISBN  978-1-56881-455-1 .

вымышленный

• Кельманн, Дэниел (2005). Измерение мира (на немецком языке). Ровольт. ISBN  978-3-498-03528-0 . OCLC   144590801 .
  • Кельманн, Дэниел (2006). Измерение мира . Перевод Джейнвей, Кэрол Браун .

Внешние ссылки

• Работы Карла Фридриха Гаусса или о нем в Internet Archive
• Публикации К.Ф. Гаусса в системе астрофизических данных
• «Некролог» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 16 (80). 1856 год . Проверено 8 апреля 2024 г.
• «Карл Фридрих Гаусс» . Би-би-си 4 . Краткая история математики . Проверено 8 апреля 2024 г.
• «Разум превыше математики: как Гаусс определил дату своего рождения» . american_almanac.tripod.com . Проверено 8 апреля 2024 г.
• «О замощении Гаусса единичного диска» . Проверено 8 апреля 2024 г.
• «Карл Фридрих Гаусс» . Геттингенский университет . Проверено 8 апреля 2024 г.
• « Потомки Гаусса » . www.coloradocollege.edu . Проверено 4 июня 2024 г.
• «Гаусс» . www.gausschildren.org . Проверено 8 апреля 2024 г.
• Карл Фридрих Гаусс – Следы его жизни (Места, используемые как точки для триангуляции)