Актуарная запись

Пример актуарного символа.

1. Заглавные буквы $A$ является страховкой, выплачивающей 1 при наступлении страхового случая; строчные буквы $a$ представляет собой аннуитет, выплачиваемый 1 раз в год в соответствующее время.
2. Бар подразумевает непрерывную – или выплачиваемую в момент смерти; двойная точка означает выплату в начале года; отсутствие отметки подразумевает оплату в конце года;
3. для $x$-летний человек, для $n$ годы;
4. заплатил, если $(x)$ умирает внутри $n$ годы;
5. отложено ( $m$ годы).
6. Нет фиксированного значения, подразумевает второй момент расчета $E(Z^{2})=E{\big (}(v^{k_{x}+1})^{2}{\big )},$ но часто $v^{k_{x}+1}=e^{\delta (k_{x}+1)}$ подразумевая двойную силу интереса.

Актуарная запись – это сокращенный метод, позволяющий актуариям записывать математические формулы, касающиеся процентных ставок и таблиц смертности .

Традиционная система обозначений использует систему ореола , где символы располагаются в виде надстрочного или нижнего индекса до или после основной буквы. Пример обозначения с использованием системы гало можно увидеть ниже.

Были сделаны различные предложения по принятию линейной системы, в которой все обозначения располагались бы в одной строке без использования верхних или нижних индексов. Такой метод был бы полезен для вычислений, где представление системы гало может быть чрезвычайно трудным. Однако стандартная линейная система еще не появилась.

Пример обозначения

Процентные ставки

$\,i$ — годовая эффективная процентная ставка , которая является «истинной» процентной ставкой за год . Таким образом, если годовая процентная ставка равна 12%, то $\,i=0.12$.

$\,i^{(m)}$ (произносится как «i Upper m») — это номинальная процентная ставка. конвертируемая $m$ раз в год и численно равен $m$ раз эффективную процентную ставку за один $m$^й года. Например, $\,i^{(2)}$ — номинальная процентная ставка, конвертируемая раз в полгода. Если эффективная годовая процентная ставка равна 12%, то $\,i^{(2)}/2$ представляет собой эффективную процентную ставку каждые шесть месяцев. С $\,(1.0583)^{2}=1.12$, у нас есть $\,i^{(2)}/2=0.0583$ и, следовательно, $\,i^{(2)}=0.1166$. ^"(м)" появляется в символе $\,i^{(m)}$ не является « экспонентой ». Он просто представляет собой количество конверсий процентов или раз начисления сложных процентов в год. Полугодовое начисление процентов (или конвертация процентов каждые шесть месяцев) часто используется при оценке облигаций (см. также ценные бумаги с фиксированным доходом ) и аналогичных денежных финансовых обязательств инструментов , тогда как ипотечные кредиты часто конвертируют проценты ежемесячно. Снова следуя приведенному выше примеру, где $\,i=0.12$, у нас есть $\,i^{(12)}=0.1139$ с $\,\left(1+{\frac {0.1139}{12}}\right)^{12}=1.12$.

Эффективная и номинальная процентные ставки не совпадают, поскольку проценты, выплаченные в более ранние периоды оценки, «приносят» проценты в более поздние периоды оценки; это называется сложным процентом . То есть номинальные процентные ставки кредитуют проценты инвестору (альтернативно начисляют или дебетуют проценты должнику) чаще, чем эффективные ставки. В результате при использовании номинальных ставок процентные доходы инвестора (или процентные расходы должника) начисляются чаще.

Символ $\,v$ представляет собой текущую стоимость 1, подлежащую выплате через год:

$\,v={(1+i)}^{-1}\approx 1-i+i^{2}$

Этот коэффициент текущей стоимости, или коэффициент дисконтирования, используется для определения суммы денег, которую необходимо инвестировать сейчас, чтобы иметь данную сумму денег в будущем. Например, если вам нужен 1 раз в год, то сумма денег, которую вы должны инвестировать сейчас, составит: $\,1\times v$. Если вам нужно 25 штук через 5 лет, сумма денег, которую вы должны инвестировать сейчас, составляет: $\,25\times v^{5}$.

$\,d$ — годовая эффективная ставка дисконтирования :

$d={\frac {i}{1+i}}\approx i-i^{2}$

Стоимость $\,d$ также можно рассчитать из следующих соотношений: $\,(1-d)=v={(1+i)}^{-1}$Ставка дисконта равна сумме процентов, полученных в течение одного года, разделенной на остаток денег на конец этого периода. Напротив, годовая эффективная процентная ставка рассчитывается путем деления суммы процентов, полученных в течение одного года, на денежный баланс на начало года. Текущая стоимость (сегодня) платежа в размере 1, который должен быть произведен. $\,n$ годы в будущем $\,{(1-d)}^{n}$. Это аналог формулы $\,{(1+i)}^{n}$ для будущей (или накопленной) стоимости $\,n$ лет в будущем от суммы, равной 1, инвестированной сегодня.

$\,d^{(m)}$, номинальная ставка дисконтной конвертируемой валюты $\,m$ раз в год аналогично $\,i^{(m)}$. Скидка конвертируется в $m$^й -лая основа.

$\,\delta$, сила процента , представляет собой предельное значение номинальной процентной ставки, когда $m$ увеличивается неограниченно:

$\,\delta =\lim _{m\to \infty }i^{(m)}$

В этом случае проценты конвертируются непрерывно .

Общие отношения между $\,i$, $\,\delta$ и $\,d$ является:

$\,(1+i)=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}=e^{\delta }=\left(1-{\frac {d^{(m)}}{m}}\right)^{-m}=(1-d)^{-1}$

Их численное значение можно сравнить следующим образом:

$\,i>i^{(2)}>i^{(3)}>\cdots >\delta >\cdots >d^{(3)}>d^{(2)}>d$

Таблицы дожития

Таблица смертности (или таблица смертности) — это математическая конструкция, показывающая количество живых людей (исходя из допущений, использованных при построении таблицы) в данном возрасте. Помимо количества жизней, оставшихся в каждом возрасте, таблица смертности обычно предоставляет различные вероятности, связанные с развитием этих значений.

$\,l_{x}$ количество живых людей по отношению к исходной когорте в возрасте $x$. С увеличением возраста число живущих людей уменьшается.

$\,l_{0}$ является отправной точкой для $\,l_{x}$: количество людей, живущих в возрасте 0 лет. Это известно как основание таблицы. Некоторые таблицы смертности начинаются с возраста больше 0, и в этом случае основанием является количество людей, которые предположительно будут живы в самом молодом возрасте в таблице.

$\omega$ – предельный возраст таблиц смертности. $\,l_{n}$ равен нулю для всех $\,n\geq \omega$.

$\,d_{x}$ это число людей, которые умирают в возрасте от возраста $x$ и возраст $x+1$. $\,d_{x}$ можно рассчитать по формуле $\,d_{x}=l_{x}-l_{x+1}$

$x$	$l_{x}$	$d_{x}$
0	$l_{0}$
...	...	...
$x$	$l_{x}$	$d_{x}=l_{x}-l_{x+1}$
$x+1$	$l_{x+1}$	$d_{x+1}$
...	...	...
$\omega -1$	$l_{\omega -1}$	$d_{\omega -1}=l_{\omega -1}$
$\omega$	0	0

$\,q_{x}$ вероятность смерти в возрасте от $x$ и возраст $x+1$.

$\,q_{x}=d_{x}/l_{x}$

$\,p_{x}$ это вероятность того, что возраст жизни $x$ доживу до старости $x+1$.

$\,p_{x}=l_{x+1}/l_{x}$

Поскольку единственные возможные альтернативы из одного возраста ( $x$) к следующему ( $x+1$) живут и умирают, соотношение между этими двумя вероятностями таково:

$\,p_{x}+q_{x}=1$

Эти символы также можно расширить до нескольких лет, вставив количество лет в левом нижнем углу основного символа.

$\,_{n}d_{x}=d_{x}+d_{x+1}+\cdots +d_{x+n-1}=l_{x}-l_{x+n}$ показывает количество людей, которые умирают в возрасте $x$ и возраст $x+n$.

$\,_{n}q_{x}$ вероятность смерти в возрасте от $x$ и возраст $x+n$.

$\,_{n}q_{x}={}_{n}d_{x}/l_{x}$

$\,_{n}p_{x}$ это вероятность того, что возраст жизни $x$ доживу до старости $x+n$.

$\,_{n}p_{x}=l_{x+n}/l_{x}$

Еще одна статистика, которую можно получить из таблицы смертности, — это ожидаемая продолжительность жизни .

$\,e_{x}$ это короткая продолжительность жизни для человека, живущего в возрасте $x$. Это ожидаемое количество полных лет, которые осталось прожить (вы можете думать об этом как об ожидаемом количестве дней рождения, которые человек будет отмечать).

$\,e_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }\ _{t}p_{x}$

Таблица смертности обычно показывает количество людей, живущих в целочисленном возрасте. Если нам нужна информация о какой-то части года, мы должны сделать предположения относительно таблицы, если это еще не подразумевается математической формулой, лежащей в основе таблицы. Распространенным предположением является равномерное распределение смертности (UDD) для каждого года жизни. Согласно этому предположению, $\,l_{x+t}$ представляет собой линейную интерполяцию между $\,l_{x}$ и $\,l_{x+1}$. т.е.

$\,l_{x+t}=(1-t)l_{x}+tl_{x+1}$

Аннуитеты

Иллюстрация потоков платежей, представленных актуарной записью аннуитетов.

Основным символом текущей стоимости аннуитета является $\,a$. Затем можно добавить следующие обозначения:

• Обозначение в правом верхнем углу указывает частоту платежей (т. е. количество аннуитетных платежей, которые будут производиться в течение каждого года). Отсутствие таких обозначений означает, что выплаты производятся ежегодно.
• Обозначения в правом нижнем углу указывают возраст человека, в котором начинается аннуитет, и период, за который выплачивается аннуитет.
• Обозначения непосредственно над основным символом указывают, когда производятся платежи. Две точки обозначают аннуитет, выплаты по которому производятся в начале каждого года («аннуитет к выплате»); горизонтальная линия над символом обозначает аннуитет, выплачиваемый непрерывно («непрерывный аннуитет»); отсутствие отметки над основным символом указывает на аннуитет, выплаты по которому производятся в конце каждого года («немедленный аннуитет»).

Если выплаты по аннуитету не зависят от каких-либо жизненных событий, его называют аннуитетным . В противном случае, в частности, если выплаты прекращаются после смерти бенефициара , это называется пожизненной рентой .

$a_{{\overline {n|}}i}$ (читай a-angle-n at i ) представляет собой текущую стоимость немедленного аннуитета, который представляет собой серию единичных платежей в конце каждого года за $n$ лет (другими словами: стоимость за период до первого из n платежей). Это значение получается из:

$\,a_{{\overline {n|}}i}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}={\frac {1-v^{n}}{i}}$

( $i$ в знаменателе сразу же совпадает с «i»)

${\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}$ представляет собой текущую стоимость аннуитета, который представляет собой серию единичных платежей в начале каждого года за $n$ лет (другими словами: стоимость на момент первого из n платежей). Это значение получается из:

${\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=1+v+\cdots +v^{n-1}={\frac {1-v^{n}}{d}}$

( $d$ в знаменателе совпадает с "d" в срок)

$\,s_{{\overline {n|}}i}$ стоимость на момент последнего платежа, ${\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}$ значение на один период позже.

Если символ $\,(m)$ добавляется в верхний правый угол и представляет собой текущую стоимость аннуитета, выплаты по которому происходят каждый раз. $m$числа года в течение периода $n$ лет, и каждый платеж составляет один $m$тыс. единиц.

$a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{i^{(m)}}}$, ${\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{d^{(m)}}}$

${\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}$ это предельное значение $\,a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}$ когда $m$ увеличивается неограниченно. Базовый аннуитет известен как непрерывный аннуитет .

${\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}={\frac {1-v^{n}}{\delta }}$

Текущую стоимость этих аннуитетов можно сравнить следующим образом:

$a_{{\overline {n|}}i}<a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}<{\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}^{(m)}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}$

Чтобы понять взаимосвязи, показанные выше, учтите, что денежные потоки, выплаченные позже, имеют меньшую приведенную стоимость, чем денежные потоки той же общей суммы, выплаченные в более раннее время.

• Нижний индекс $i$ который представляет собой процентную ставку, может быть заменен на $d$ или $\delta$и часто опускается, если скорость ясно известна из контекста.
• При использовании этих символов процентная ставка не обязательно является постоянной на протяжении всего срока действия аннуитетов. Однако при изменении ставки приведенные выше формулы перестанут быть действительными; конкретные формулы могут быть разработаны для конкретных изменений курса.

Пожизненные аннуитеты

Пожизненная рента — это рента, выплаты которой зависят от продолжительности жизни получателя ренты. Возраст получателя ренты является важным фактором при расчете актуарной приведенной стоимости ренты.

• Возраст получателя ренты указывается в правом нижнем углу символа без отметки «угол».

Например:

$\,a_{65}$ означает аннуитет в размере 1 единицы в год, выплачиваемый в конце каждого года до смерти лицу, которому в настоящее время исполнилось 65 лет.

$a_{\overline {10|}}$ означает аннуитет в размере 1 единицы в год, выплачиваемый в течение 10 лет с выплатами, производимыми в конце каждого года.

$a_{65:{\overline {10|}}}$ означает аннуитет в размере 1 единицы в год в течение 10 лет или до смерти, если раньше, для человека в возрасте 65 лет.

$a_{65:64}$ означает аннуитет в размере 1 единицы в год до более ранней смерти участника или смерти супруга для человека, которому в настоящее время 65 лет, а супругу 64 года.

$a_{\overline {65:64}}$ означает аннуитет в размере 1 единицы в год до более поздней смерти участника или смерти супруга для человека, которому в настоящее время 65 лет, а супругу 64 года.

$a_{65}^{(12)}$ означает аннуитет в размере 1 единицы в год, выплачиваемый 12 раз в год (1/12 единицы в месяц) до смерти человека, которому в настоящее время исполнилось 65 лет.

${\ddot {a}}_{65}$ означает аннуитет в размере 1 единицы в год, выплачиваемый в начале каждого года до смерти лицу, которому в настоящее время исполнилось 65 лет.

или вообще:

$a_{x:{\overline {n|}}i}^{(m)}$, где $x$ возраст получателя ренты, $n$ количество лет выплат (или до смерти, если раньше), $m$ количество платежей в год, $i$ это процентная ставка.

В целях простоты обозначения ограничены и не показывают, например, выплачивается ли аннуитет мужчине или женщине (факт, который обычно определяется из контекста, включая то, основана ли таблица смертности на мужчинах или женщинах). женская смертность).

Актуарную приведенную стоимость условных платежей в течение жизни можно рассматривать как математическое ожидание случайной величины текущей стоимости или рассчитывать с помощью текущей формы платежа.

Страхование жизни

Основным символом страхования жизни является $\,A$. Затем можно добавить следующие обозначения:

• Обозначение в правом верхнем углу указывает время выплаты пособия в случае смерти. Отсутствие обозначений означает, что выплаты производятся в конце года смерти. Цифра в скобках (например $A^{(12)}$) означает, что пособие подлежит выплате в конце указанного периода (12 — ежемесячно; 4 — ежеквартально; 2 — раз в полгода; 365 — ежедневно).
• Обозначение в правом нижнем углу указывает возраст человека, когда начинается страхование жизни.
• Обозначение непосредственно над основным символом указывает «тип» страхования жизни, выплачивается ли оно в конце периода или немедленно. Горизонтальная линия указывает на то, что страхование жизни подлежит немедленной оплате, тогда как отсутствие отметки над символом указывает на то, что выплата должна быть произведена в конце указанного периода.

Например:

$\,A_{x}$ указывает на пособие по страхованию жизни в размере 1, выплачиваемое в конце года смерти.

$\,A_{x}^{(12)}$ указывает на пособие по страхованию жизни в размере 1, подлежащее выплате в конце месяца смерти.

$\,{\overline {A}}_{x}$ указывает на пособие по страхованию жизни в размере 1, выплачиваемое в (математический) момент смерти.

Премиум

Основным символом премии является $\,P$ или $\,\pi$. $\,P$ обычно относится к чистым ежегодным премиям, $\,\pi$ к специальным премиям, как к уникальной премии.

Сила смертности

Среди актуариев под силой смертности понимается то, что экономисты и другие социологи называют уровнем риска , и он интерпретируется как мгновенный уровень смертности в определенном возрасте, измеряемый в годовом исчислении.

В таблице смертности мы рассматриваем вероятность смерти человека в возрасте между возрастом ( x ) и возрастом x + 1; эта вероятность называется q _x . В непрерывном случае мы могли бы также рассмотреть условную вероятность того, что человек, достигший возраста ( x ), умрет между возрастом ( x ) и возрастом ( x + Δ x ) как:

$P_{\Delta x}(x)=P(x<X<x+\Delta \;x\mid \;X>x)={\frac {F_{X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{(1-F_{X}(x))}}$

где F _X ( x ) — кумулятивная функция распределения непрерывной случайной величины возраста на момент смерти X. Поскольку Δ x стремится к нулю, то же самое происходит и с этой вероятностью в непрерывном случае. Приблизительная сила смертности равна этой вероятности, деленной на Δ x . Если мы позволим Δx стремиться к нулю, мы получим функцию силы смертности , обозначенную как µ ( x ):

$\mu \,(x)={\frac {F'_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}$

См. также

• Актуарная приведенная стоимость
• Актуарная наука
• Годовая процентная ставка
• Математика финансов

Внешние ссылки

• Описание 1949 года в Журнале Института актуариев.
• Пакет международной актуарной нотации