Актуарная приведенная стоимость

Актуарная приведенная стоимость ( APV ) — это ожидаемая стоимость условного приведенной стоимости потока денежных средств (т. е. серии платежей, которые могут быть произведены или не осуществлены). Актуарная приведенная стоимость обычно рассчитывается для выплат пособий или серии платежей, связанных со страхованием жизни и пожизненными аннуитетами . Вероятность будущей выплаты основана на предположениях о будущей смертности человека, которая обычно оценивается с использованием таблицы смертности.

Страхование жизни

Страхование всей жизни выплачивает заранее определенную сумму либо в момент смерти застрахованного, либо вскоре после нее. Символ (x) используется для обозначения «жизни в возрасте x », где x — неслучайный параметр, который предполагается больше нуля. Актуарная приведенная стоимость одной единицы страхования жизни, выпущенной для (x), обозначается символом $\,A_{x}$ или $\,{\overline {A}}_{x}$ в актуарной записи . Пусть G>0 («возраст смерти») будет случайной величиной , которая моделирует возраст, в котором человек, например (x) , умрет. И пусть T (случайная переменная будущей жизни) — это время, прошедшее между возрастом x и возрастом (x) на момент выплаты пособия (даже если (x) , скорее всего, умрет в это время). Поскольку T является функцией G и x, мы будем писать T=T(G,x) . Наконец, пусть Z будет случайной величиной текущей стоимости пособия по страхованию всей жизни в размере 1, подлежащего выплате в момент T . Затем:

\,Z=v^{T}=(1+i)^{-T}=e^{-\delta T}

где i — эффективная годовая процентная ставка, а δ — эквивалентная сила процента .

Чтобы определить актуарную приведенную стоимость пособия, нам необходимо рассчитать ожидаемую стоимость. $\,E(Z)$ этой случайной величины Z . Предположим, что пособие в случае смерти подлежит выплате в конце года смерти. Тогда T(G, x) := потолок (G - x) — это количество «целых лет» (округленных вверх), прожитых (x) после возраста x , так что актуарная приведенная стоимость одной страховой единицы определяется выражением :

{\begin{aligned}A_{x}&=E[Z]=E[v^{T}]\\&=\sum _{t=1}^{\infty }v^{t}Pr[T=t]=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}Pr[T(G,x)=t+1]\\&=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}Pr[t<G-x\leq t+1\mid G>x]\\&=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}\left({\frac {Pr[G>x+t]}{Pr[G>x]}}\right)\left({\frac {Pr[x+t<G\leq x+t+1]}{Pr[G>x+t]}}\right)\\&=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}{}_{t}p_{x}\cdot q_{x+t}\end{aligned}}

где ${}_{t}p_{x}$ - вероятность того, что (x) доживет до возраста x+t , и $\,q_{x+t}$ — вероятность того, что (x+t) умрет в течение одного года.

Если пособие выплачивается в момент смерти, то T(G,x): = G - x и актуарная приведенная стоимость одной единицы страхования всей жизни рассчитывается как

\,{\overline {A}}_{x}\!=E[v^{T}]=\int _{0}^{\infty }v^{t}f_{T}(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }v^{t}\,_{t}p_{x}\mu _{x+t}\,dt,

где $f_{T}$ — функция плотности T , вероятности $\,_{t}p_{x}$ это вероятность возраста жизни $x$ дожить до старости $x+t$ и $\mu _{x+t}$ обозначает силу смертности во времени $x+t$ на всю жизнь в возрасте $x$ .

Актуарную приведенную стоимость одной единицы страхового полиса сроком на n лет, подлежащего оплате в момент смерти, можно найти аналогичным образом путем интегрирования от 0 до n .

Актуарную приведенную стоимость n-летнего пособия по страхованию вкладов в размере 1, подлежащего выплате через n лет, если он жив, можно найти как

\,_{n}E_{x}=Pr[G>x+n]v^{n}=\,_{n}p_{x}v^{n}

На практике имеющаяся информация о случайной величине G (и, в свою очередь, T ) может быть получена из таблиц смертности, в которых приведены цифры по годам. Например, трехлетнее страхование жизни на сумму 100 000 долларов США, подлежащее выплате в конце года смерти, имеет актуарную приведенную стоимость.

100,000\,A_{{\stackrel {1}{x}}:{{\overline {3}}|}}=100,000\sum _{t=1}^{3}v^{t}Pr[T(G,x)=t]

Например, предположим, что вероятность того, что человек выживет в любой данный год, составляет 90% (т. е. T имеет геометрическое распределение с параметром p = 0,9 и набор {1, 2, 3, ...} для его поддержки). Затем

Pr[T(G,x)=1]=0.1,\quad Pr[T(G,x)=2]=0.9(0.1)=0.09,\quad Pr[T(G,x)=3]=0.9^{2}(0.1)=0.081,

а при процентной ставке 6% актуарная приведенная стоимость одной единицы трехлетнего срока страхования равна

\,A_{{\stackrel {1}{x}}:{{\overline {3}}|}}=0.1(1.06)^{-1}+0.09(1.06)^{-2}+0.081(1.06)^{-3}=0.24244846,

таким образом, актуарная приведенная стоимость страховки на сумму 100 000 долларов составляет 24 244,85 доллара.

На практике пособие может выплачиваться в конце периода, более короткого, чем год, что требует корректировки формулы.

Пожизненная рента

Актуарную приведенную стоимость непрерывно выплачиваемого пожизненного аннуитета в размере 1 раз в год можно найти двумя способами:

Методика совокупных платежей (принимая ожидаемое значение общей приведенной стоимости ):

Это похоже на метод страхования жизни. На этот раз случайная переменная Y представляет собой общую текущую стоимость случайной величины аннуитета в размере 1 в год, выдаваемого на всю жизнь в возрасте x и выплачиваемого непрерывно, пока человек жив, и определяется как:

Y={\overline {a}}_{\overline {T(x)|}}={\frac {1-(1+i)^{-T}}{\delta }}={\frac {1-v^{T}(x)}{\delta }},

где T=T(x) — случайная величина будущей жизни для человека возраста x . Ожидаемое значение Y равно:

\,{\overline {a}}_{x}=\int _{0}^{\infty }{\overline {a}}_{\overline {t|}}f_{T}(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\overline {a}}_{\overline {t|}}\,_{t}p_{x}\mu _{x+t}\,dt.

Метод текущих платежей (принимая общую приведенную стоимость функции времени, представляющей ожидаемые значения платежей):

\,{\overline {a}}_{x}=\int _{0}^{\infty }v^{t}[1-F_{T}(t)]\,dt=\int _{0}^{\infty }v^{t}\,_{t}p_{x}\,dt

где F ( t ) — функция распределения случайной величины T. кумулятивная

Эквивалентность следует также из интегрирования по частям.

На практике пожизненные аннуитеты не выплачиваются постоянно. Если выплаты производятся в конце каждого периода, актуарная приведенная стоимость определяется выражением

a_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }v^{t}[1-F_{T}(t)]=\sum _{t=1}^{\infty }v^{t}\,_{t}p_{x}.

Если оставить общий годовой платеж равным 1, то чем дольше период, тем меньше приведенная стоимость из-за двух эффектов:

Выплаты производятся в среднем на полпериода позже, чем в непрерывном случае.
Соразмерной оплаты за время в период смерти не производится, т.е. происходит «потеря» оплаты в среднем за половину периода.

И наоборот, для контрактов с одинаковой паушальной стоимостью и одинаковой внутренней нормой доходности , чем дольше период между платежами, тем больше общая сумма платежей за год.

Страхование жизни как функция пожизненной ренты

APV пожизненного страхования можно получить из APV пожизненного аннуитета следующим образом:

\,A_{x}=1-iv{\ddot {a}}_{x}

Это также обычно пишется как:

\,A_{x}=1-d{\ddot {a}}_{x}

В непрерывном случае

\,{\overline {A}}_{x}=1-\delta {\overline {a}}_{x}.

В случае, когда аннуитет и страхование жизни не распространяются на всю жизнь, следует заменить страхование страхованием пожертвований сроком на n лет (которое может быть выражено как сумма страхования на срок n лет и чистого вклада на n лет). и аннуитет с выплатой аннуитета в течение n лет.

См. также

Ссылки

Актуарная математика (второе издание), 1997, Бауэрс, Н.Л., Гербер, Х.У., Хикман, Дж.К., Джонс, Д.А. и Несбитт, С.Дж., главы 4–5.
Модели количественной оценки риска (четвертое издание), 2011 г., Робин Дж. Каннингем, Томас Н. Херцог, Ричард Л. Лондон, главы 7–8.