Сила смертности

В науке актуарной сила смертности представляет собой мгновенный уровень смертности в определенном возрасте, измеренный в годовом исчислении. По своей концепции она идентична частоте отказов , также называемой функцией опасности в теории надежности .

Мотивация и определение

В таблице смертности мы рассматриваем вероятность смерти человека в возрасте от x до x + 1, называемую q _x . В непрерывном случае мы могли бы также рассмотреть условную вероятность того, что человек, достигший возраста ( x ), умрет в возрасте от x до x + Δx , которая равна

$P_{x}(\Delta x)=P(x<X<x+\Delta \;x\mid \;X>x)={\frac {F_{X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{(1-F_{X}(x))}}$

где F _X (x) — кумулятивная функция распределения непрерывной случайной величины возраста на момент смерти X. Поскольку Δx стремится к нулю, то же самое происходит и с этой вероятностью в непрерывном случае. Приблизительная сила смертности равна этой вероятности, деленной на Δx . Если мы позволим Δx стремиться к нулю, мы получим функцию силы смертности , обозначаемую $\mu (x)$:

$\mu \,(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {F_{X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{\Delta x(1-F_{X}(x))}}={\frac {F'_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}$

Поскольку f _X ( x ) = F ' _X ( x ) является функцией плотности вероятности X , а S ( x ) = 1 - F _X ( x ) является функцией выживания , сила смертности также может быть выражена по-разному как:

$\mu \,(x)={\frac {f_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}=-{\frac {S'(x)}{S(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln[S(x)].$

Чтобы концептуально понять, как действует сила смертности внутри популяции, учтите, что в возрасте x , когда функция плотности вероятности f _X ( x ) равна нулю, шансов умереть нет. Таким образом, сила смертности в этом возрасте равна нулю. Сила смертности µ ( x ) однозначно определяет функцию плотности вероятности ( _fX x ) .

Сила смертности $\mu (x)$ можно интерпретировать как условную плотность неудач в возрасте x , а f ( x ) — безусловную плотность неудач в возрасте x . Безусловная плотность неудач в возрасте x является произведением вероятности дожить до возраста x и условной плотности неудач в возрасте x при условии выживания до возраста x .

Это выражается в символах как

$\,\mu (x)S(x)=f_{X}(x)$

или эквивалентно

$\mu (x)={\frac {f_{X}(x)}{S(x)}}.$

Во многих случаях желательно также определить функцию вероятности выживания, когда известна сила смертности. Для этого проинтегрируем силу смертности на интервале от x до x + t.

$\int _{x}^{x+t}\mu (y)\,dy=\int _{x}^{x+t}-{\frac {d}{dy}}\ln[S(y)]\,dy$.

Согласно основной теореме исчисления , это просто

$-\int _{x}^{x+t}\mu (y)\,dy=\ln[S(x+t)]-\ln[S(x)].$

Обозначим

$S_{x}(t)={\frac {S(x+t)}{S(x)}},$

тогда, приведя показатель степени к основанию e , вероятность выживания человека возраста x с точки зрения силы смертности равна

$S_{x}(t)=\exp \left(-\int _{x}^{x+t}\mu (y)\,dy\,\right).$

Примеры

• Самый простой пример — когда сила смертности постоянна:

$\mu (y)=\lambda ,$

тогда функция выживания

$S_{x}(t)=e^{-\int _{x}^{x+t}\lambda dy}=e^{-\lambda t},$

является экспоненциальным распределением.

• Когда сила смертности

$\mu (y)={\frac {y^{\alpha -1}e^{-y}}{\Gamma (\alpha )-\gamma (\alpha ,y)}},$

где γ(α,y) — нижняя неполная гамма-функция, функция плотности вероятности гамма-распределения.

$f(x)={\frac {x^{\alpha -1}e^{-x}}{\Gamma (\alpha )}}.$

• Когда сила смертности

$\mu (y)=\alpha \lambda ^{\alpha }y^{\alpha -1},$

где α ≥ 0, имеем

$\int _{x}^{x+t}\mu (y)dy=\alpha \lambda ^{\alpha }\int _{x}^{x+t}y^{\alpha -1}dy=\lambda ^{\alpha }((x+t)^{\alpha }-x^{\alpha }).$

Таким образом, функция выживания

$S_{x}(t)=e^{-\int _{x}^{x+t}\mu (y)dy}=A(x)e^{-(\lambda (x+t))^{\alpha }},$

где $A(x)=e^{(\lambda x)^{\alpha }}.$ Это функция выживания для распределения Вейбулла . Для α = 1 это то же самое, что экспоненциальное распределение.

• Другой известный пример — когда модель выживания следует закону смертности Гомпертца-Мейкхэма . В этом случае сила смертности равна

$\mu (y)=A+Bc^{y}\quad {\text{for }}y\geqslant 0.$

Используя последнюю формулу, имеем

$\int _{x}^{x+t}(A+Bc^{y})dy=At+B(c^{x+t}-c^{x})/\ln[c].$

Затем

$S_{x}(t)=e^{-(At+B(c^{x+t}-c^{x})/\ln[c])}=e^{-At}g^{c^{x}(c^{t}-1)}$

где $g=e^{-B/\ln[c]}.$

См. также

• Частота отказов
• Функция опасности
• Актуарная приведенная стоимость
• Актуарная наука
• Теория надежности
• Ожидаемая продолжительность жизни