Математические финансы

Математические финансы , также известные как количественные финансы и финансовая математика , — это область прикладной математики , занимающаяся математическим моделированием в финансовой сфере.

В целом существуют две отдельные отрасли финансов, которые требуют передовых количественных методов: ценообразование деривативов, с одной стороны, и управление рисками и портфелем — с другой. ^[1]Математические финансы во многом пересекаются с областями вычислительных финансов и финансовой инженерии . Последний фокусируется на приложениях и моделировании, часто с помощью стохастических моделей активов , тогда как первый фокусируется, помимо анализа, на создании инструментов реализации моделей. С этим также связано количественное инвестирование , которое опирается на статистические и численные модели (а в последнее время и на машинное обучение ) в отличие от традиционного фундаментального анализа при управлении портфелями .

Докторская диссертация французского математика Луи Башелье , защищенная в 1900 году, считается первой научной работой по математическим финансам. Но математические финансы возникли как дисциплина в 1970-х годах, после работ Фишера Блэка , Майрона Шоулза и Роберта Мертона по теории ценообразования опционов. Математическое инвестирование возникло в результате исследований математика Эдварда Торпа , который использовал статистические методы, чтобы сначала изобрести подсчет карт в блэкджеке , а затем применил его принципы к современному систематическому инвестированию. ^[2]

Этот предмет имеет тесную связь с дисциплиной финансовой экономики , которая касается большей части базовой теории, используемой в финансовой математике. В то время как обученные экономисты используют сложные экономические модели , построенные на наблюдаемых эмпирических отношениях, математический анализ финансов, напротив, позволяет получить и расширить математические или числовые модели без обязательного установления связи с финансовой теорией, принимая в качестве входных данных наблюдаемые рыночные цены.См.: Оценка опционов ; Финансовое моделирование ; Оценка активов . Фундаментальная теорема о безарбитражном ценообразовании является одной из ключевых теорем математических финансов, а уравнение и формула Блэка – Шоулза являются одними из ключевых результатов. ^[3]

Сегодня многие университеты предлагают ученые степени и исследовательские программы в области математических финансов.

История: Q против P

Существуют две отдельные отрасли финансов, которые требуют передовых количественных методов: ценообразование деривативов и управление рисками и портфелем. Одним из основных отличий является то, что они используют разные вероятности, такие как нейтральная к риску вероятность (или вероятность арбитражного ценообразования), обозначаемая «Q», и фактическая (или актуарная) вероятность, обозначаемая «P».

Цены на деривативы: мир Q

**Мир Кью**
Цель	«экстраполировать настоящее»
Среда	нейтральная к риску вероятность $\mathbb {Q}$
Процессы	мартингалы в непрерывном времени
Измерение	низкий
Инструменты	Исчисление Ито, PDE
Проблемы	калибровка
Бизнес	сторона продавца

Целью ценообразования деривативов является определение справедливой цены данной ценной бумаги с точки зрения более ликвидных ценных бумаг , цена которых определяется законом спроса и предложения . Значение слова «справедливый», конечно, зависит от того, рассматривается ли вопрос о покупке или продаже ценных бумаг. Примерами оцениваемых ценных бумаг являются простые ванильные и экзотические опционы , конвертируемые облигации и т. д.

Как только справедливая цена определена, трейдер, торгующий на стороне продавца, может заключить сделку по ценной бумаге. Таким образом, ценообразование деривативов представляет собой сложную процедуру «экстраполяции» для определения текущей рыночной стоимости ценной бумаги, которая затем используется сообществом продавцов. Количественное ценообразование деривативов было инициировано Луи Башелье в «Теории спекуляции» («Теория спекуляций», опубликованной в 1900 году) с введением самого основного и наиболее влиятельного процесса, броуновского движения , и его применения к ценообразованию опционов. ^[4]^[5] Броуновское движение получается с использованием уравнения Ланжевена и дискретного случайного блуждания . ^[6] Башелье смоделировал временной ряд изменений логарифма цен на акции как случайное блуждание , в котором краткосрочные изменения имели конечную дисперсию . Это приводит к тому, что долгосрочные изменения следуют распределению Гаусса . ^[7]

Теория оставалась бездействующей до тех пор, пока Фишер Блэк и Майрон Скоулз вместе с фундаментальным вкладом Роберта К. Мертона не применили второй по значимости процесс, геометрическое броуновское движение , к ценообразованию опционов . За это М. Шоулз и Р. Мертон были удостоены Нобелевской премии по экономике 1997 года . Блэк не имел права на получение премии, поскольку умер в 1995 году. ^[8]

Следующим важным шагом стала фундаментальная теорема оценки активов Харрисона и Плиски (1981), согласно которой надлежащим образом нормализованная текущая цена ценной бумаги P ₀ является безарбитражной и, следовательно, по-настоящему справедливой только в том случае, если существует стохастический процесс P _t с постоянное ожидаемое значение , которое описывает его будущую эволюцию: ^[9]

P_{0}=\mathbf {E} _{0}(P_{t})

( 1 )

Процесс, удовлетворяющий ( 1 ), называется « мартингалом ». Мартингейл не вознаграждает за риск. Таким образом, вероятность процесса нормализованной цены ценной бумаги называется «нейтральной к риску» и обычно обозначается буквой, написанной на доске : $\mathbb {Q}$ ".

Соотношение ( 1 ) должно выполняться в течение всего времени t: поэтому процессы, используемые для ценообразования деривативов, естественным образом устанавливаются в непрерывном времени.

Кванты , работающие в мире ценообразования деривативов, являются специалистами с глубокими знаниями конкретных продуктов, которые они моделируют.

Ценные бумаги оцениваются индивидуально, и поэтому проблемы в мире Q носят низкоразмерный характер. Калибровка является одной из главных задач мира Q: после того, как непрерывный параметрический процесс был откалиброван для набора торгуемых ценных бумаг с помощью соотношения, такого как ( 1 ), аналогичное соотношение используется для определения цены новых деривативов.

Основными количественными инструментами, необходимыми для обработки Q-процессов с непрерывным временем, являются стохастическое исчисление Ито , моделирование и уравнения в частных производных (PDE). ^[10]

Управление рисками и портфелем: мир P

**Мир П**
Цель	«моделировать будущее»
Среда	реальная вероятность $\mathbb {P}$
Процессы	дискретный ряд
Измерение	большой
Инструменты	многомерная статистика
Проблемы	оценка
Бизнес	сторона покупателя

Управление рисками и портфелем направлено на моделирование статистически полученного распределения вероятностей рыночных цен всех ценных бумаг на данном будущем инвестиционном горизонте. Это «реальное» вероятностное распределение рыночных цен обычно обозначается буквой, написанной на доске: $\mathbb {P}$ ", в отличие от "риск-нейтральной" вероятности" $\mathbb {Q}$ " используется при ценообразовании деривативов. На основе распределения P сообщество покупателей принимает решения о том, какие ценные бумаги покупать, чтобы улучшить предполагаемый профиль прибылей и убытков своих позиций, рассматриваемых как портфель. Элементы этого процесса все чаще автоматизированы, в разделе «Очерк финансов» § «Количественное инвестирование» список соответствующих статей см. ;

За свою новаторскую работу Марковиц и Шарп вместе с Мертоном Миллером разделили Нобелевскую премию по экономике 1990 года , впервые присуждаемую за работу в области финансов.

Работа Марковица и Шарпа по выбору портфеля ввела математику в управление инвестициями . Со временем математика стала более сложной. Благодаря Роберту Мертону и Полу Самуэльсону однопериодные модели были заменены моделями с непрерывным временем, моделями броуновского движения , а квадратичная функция полезности, подразумеваемая при оптимизации средней дисперсии, была заменена более общими возрастающими вогнутыми функциями полезности. ^[11] Более того, в последние годы акцент сместился в сторону риска оценки, т.е. опасности ошибочного предположения, что только расширенный анализ временных рядов может обеспечить совершенно точные оценки параметров рынка. ^[12]См. Управление финансовыми рисками § Управление инвестициями .

Много усилий было потрачено на изучение финансовых рынков и того, как цены меняются со временем. Чарльз Доу , один из основателей Dow Jones & Company и The Wall Street Journal , сформулировал ряд идей по этому вопросу, которые сейчас называются теорией Доу . Это основа так называемого метода технического анализа , пытающегося предсказать будущие изменения. Один из принципов «технического анализа» заключается в том, что рыночные тенденции дают представление о будущем, по крайней мере, в краткосрочной перспективе. Заявления технических аналитиков оспариваются многими учеными. ^{[ нужна ссылка ]}

Критика

Последствия финансового кризиса 2009 года, а также многочисленные внезапные крахи в начале 2010-х годов привели к социальным волнениям среди населения и этическим проблемам в научном сообществе, что вызвало заметные изменения в количественных финансах (QF).В частности, математическим финансам было приказано измениться и стать более реалистичными, а не более удобными. Одновременное развитие больших данных и науки о данных способствовало этим изменениям. В частности, с точки зрения определения новых моделей мы увидели значительный рост использования машинного обучения, обгоняющего традиционные модели математических финансов. ^[13]

С годами разрабатывались все более сложные математические модели и стратегии ценообразования деривативов, но доверие к ним было подорвано финансовым кризисом 2007–2010 годов .Современная практика математических финансов подвергалась критике со стороны деятелей в этой области, в частности Пола Уилмотта и Нассима Николаса Талеба в его книге «Черный лебедь» . ^[14] Талеб утверждает, что цены на финансовые активы не могут быть охарактеризованы с помощью простых моделей, используемых в настоящее время, что делает большую часть нынешней практики в лучшем случае неактуальной, а в худшем — опасно вводящей в заблуждение. Уилмотт и Эмануэль Дерман опубликовали «Манифест разработчиков финансового моделирования» в январе 2009 года. ^[15] который решает некоторые из наиболее серьезных проблем.Такие организации, как Институт нового экономического мышления , сейчас пытаются разработать новые теории и методы. ^[16]

В целом моделирование изменений с помощью распределений с конечной дисперсией все чаще считается неподходящим. ^[17] обнаружил, В 1960-х годах Бенуа Мандельброт что изменения цен не подчиняются гауссовскому распределению , а лучше моделируются альфа- стабильными распределениями Леви . ^[18] Масштаб изменения, или волатильности, зависит от длины временного интервала в степени чуть больше 1/2. Большие изменения вверх или вниз более вероятны, чем те, которые можно было бы рассчитать, используя распределение Гаусса с оцененным стандартным отклонением . Но проблема в том, что это не решает проблему, поскольку значительно усложняет параметризацию и делает контроль рисков менее надежным. ^[14]

Возможно, более фундаментальный: хотя математические финансовые модели могут генерировать прибыль в краткосрочной перспективе, этот тип моделирования часто противоречит центральному принципу современной макроэкономики, критике Лукаса – или рациональным ожиданиям – который утверждает, что наблюдаемые отношения не могут быть структурны по своей природе, и поэтому их невозможно использовать в целях государственной политики или получения прибыли, если мы не идентифицируем взаимосвязи с помощью причинного анализа и эконометрики . ^[19] Таким образом, математические финансовые модели не включают в себя сложные элементы человеческой психологии, которые имеют решающее значение для моделирования современных макроэкономических движений, таких как самореализующаяся паника, которая мотивирует массовое изъятие банковских вкладов .

См. также

Математические инструменты

Цены на деривативы

Моделирование портфеля

Другой

Примечания

^ «Количественные финансы» . О сайте.com . Проверено 28 марта 2014 г.
^ Лам, Лесли П. Нортон и Дэн. «Почему Эдвард Торп владеет только Berkshire Hathaway» . www.barrons.com . Проверено 6 июня 2021 г.
^ Джонсон, Тим (1 сентября 2009 г.). «Что такое финансовая математика?» . +Журнал Плюс . Проверено 1 марта 2021 г.
^ Э., Шрив, Стивен (2004). Стохастическое исчисление финансов . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9780387401003 . OCLC 53289874 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Стивен., Блит (2013). Введение в количественные финансы . Издательство Оксфордского университета, США. п. 157. ИСБН 9780199666591 . OCLC 868286679 .
^ Б., Шмидт, Анатолий (2005). Количественные финансы для физиков: введение . Сан-Диего, Калифорния: Elsevier Academic Press. ISBN 9780080492209 . OCLC 57743436 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Бачелир, Луи. «Теория спекуляции» . Проверено 28 марта 2014 г.
^ Линдбек, Ассар. «Премия Риксбанка Швеции в области экономических наук памяти Альфреда Нобеля 1969-2007» . Нобелевская премия . Проверено 28 марта 2014 г.
^ Браун, Ангус (1 декабря 2008 г.). «Рискованный бизнес: как оценивать деривативы» . Журнал «Прайс+» . Проверено 28 марта 2014 г.
^ Обзор см. в разделе «Финансовые модели» Майкла Мастро (2013). Оценка производных финансовых инструментов и рынка энергии , John Wiley & Sons. ISBN 978-1118487716 .
^ Карацас, Иоаннис; Шрив, Стив (1998). Методы математических финансов . Секаукус, Нью-Джерси, США: Springer-Verlag New York, Incorporated. ISBN 9780387948393 .
^ Меуччи, Аттилио (2005). Распределение рисков и активов . Спрингер. ISBN 9783642009648 .
^ Махдави-Дамгани, Бабак (2019). «Модели, управляемые данными, и математические финансы: противостояние или оппозиция?». Кандидатская диссертация . Оксфорд, Англия: Оксфордский университет : 21.
^ Перейти обратно: ^а ^б Талеб, Нассим Николас (2007). Черный лебедь: влияние крайне невероятного . Случайный дом Торговля. ISBN 978-1-4000-6351-2 .
^ «Манифест разработчиков финансового моделирования» . Блог Пола Уилмотта. 8 января 2009 года. Архивировано из оригинала 8 сентября 2014 года . Проверено 1 июня 2012 г.
^ Джиллиан Тетт (15 апреля 2010 г.). «Математики должны выбраться из своих башен из слоновой кости» . Файнэншл Таймс .
^ Светлозар Т. Рачев; Фрэнк Дж. Фабоцци ; Кристиан Менн (2005). Распределение доходности активов с толстыми хвостами и асимметричное распределение: последствия для управления рисками, выбора портфеля и ценообразования опционов . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0471718864 .
^ Б. Мандельброт , «Изменение некоторых спекулятивных цен» , Журнал бизнеса , 1963 г.
^ Лукас, Боб. «ЭКОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПОЭТИКИ: КРИТИКА» (PDF) . Проверено 5 августа 2022 г.

Дальнейшее чтение

Николь Эль Каруи , «Будущее финансовой математики» , ParisTech Review , 6 сентября 2013 г.
Гарольд Марковиц , «Выбор портфеля», Финансовый журнал , 7, 1952, стр. 77–91.
Уильям Ф. Шарп , Инвестиции , Прентис-Холл, 1985 г.
Пьер Анри Лабордер (2017). «Безмодельное хеджирование: оптимальная транспортная точка зрения по мартингейлу». Чепмен и Холл/CRC.

[1] «Количественные финансы» . О сайте.com . Проверено 28 марта 2014 г.

[2] Лам, Лесли П. Нортон и Дэн. «Почему Эдвард Торп владеет только Berkshire Hathaway» . www.barrons.com . Проверено 6 июня 2021 г.

[3] Джонсон, Тим (1 сентября 2009 г.). «Что такое финансовая математика?» . +Журнал Плюс . Проверено 1 марта 2021 г.

[4] Э., Шрив, Стивен (2004). Стохастическое исчисление финансов . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9780387401003 . OCLC 53289874 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[5] Стивен., Блит (2013). Введение в количественные финансы . Издательство Оксфордского университета, США. п. 157. ИСБН 9780199666591 . OCLC 868286679 .

[6] Б., Шмидт, Анатолий (2005). Количественные финансы для физиков: введение . Сан-Диего, Калифорния: Elsevier Academic Press. ISBN 9780080492209 . OCLC 57743436 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[7] Бачелир, Луи. «Теория спекуляции» . Проверено 28 марта 2014 г.

[8] Линдбек, Ассар. «Премия Риксбанка Швеции в области экономических наук памяти Альфреда Нобеля 1969-2007» . Нобелевская премия . Проверено 28 марта 2014 г.

[9] Браун, Ангус (1 декабря 2008 г.). «Рискованный бизнес: как оценивать деривативы» . Журнал «Прайс+» . Проверено 28 марта 2014 г.

[10] Обзор см. в разделе «Финансовые модели» Майкла Мастро (2013). Оценка производных финансовых инструментов и рынка энергии , John Wiley & Sons. ISBN 978-1118487716 .

[11] Карацас, Иоаннис; Шрив, Стив (1998). Методы математических финансов . Секаукус, Нью-Джерси, США: Springer-Verlag New York, Incorporated. ISBN 9780387948393 .

[12] Меуччи, Аттилио (2005). Распределение рисков и активов . Спрингер. ISBN 9783642009648 .

[13] Махдави-Дамгани, Бабак (2019). «Модели, управляемые данными, и математические финансы: противостояние или оппозиция?». Кандидатская диссертация . Оксфорд, Англия: Оксфордский университет : 21.

[Black_Swan-14] Перейти обратно: ^а ^б Талеб, Нассим Николас (2007). Черный лебедь: влияние крайне невероятного . Случайный дом Торговля. ISBN 978-1-4000-6351-2 .

[15] «Манифест разработчиков финансового моделирования» . Блог Пола Уилмотта. 8 января 2009 года. Архивировано из оригинала 8 сентября 2014 года . Проверено 1 июня 2012 г.

[16] Джиллиан Тетт (15 апреля 2010 г.). «Математики должны выбраться из своих башен из слоновой кости» . Файнэншл Таймс .

[17] Светлозар Т. Рачев; Фрэнк Дж. Фабоцци ; Кристиан Менн (2005). Распределение доходности активов с толстыми хвостами и асимметричное распределение: последствия для управления рисками, выбора портфеля и ценообразования опционов . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0471718864 .

[18] Б. Мандельброт , «Изменение некоторых спекулятивных цен» , Журнал бизнеса , 1963 г.

[19] Лукас, Боб. «ЭКОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПОЭТИКИ: КРИТИКА» (PDF) . Проверено 5 августа 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

v т и Основные математики области
History Timeline Future Lists Glossary
Foundations	Category theory Information theory Mathematical logic Philosophy of mathematics Set theory Type theory
Algebra	Abstract Commutative Elementary Group theory Linear Multilinear Universal Homological
Analysis	Calculus Real analysis Complex analysis Hypercomplex analysis Differential equations Functional analysis Harmonic analysis Measure theory
Discrete	Combinatorics Graph theory Order theory
Geometry	Algebraic Analytic Arithmetic Differential Discrete Euclidean Finite
Number theory	Arithmetic Algebraic number theory Analytic number theory Diophantine geometry
Topology	General Algebraic Differential Geometric Homotopy theory
Applied	Engineering mathematics Mathematical biology Mathematical chemistry Mathematical economics Mathematical finance Mathematical physics Mathematical psychology Mathematical sociology Mathematical statistics Probability Statistics Systems science Control theory Game theory Operations research
Computational	Computer science Theory of computation Computational complexity theory Numerical analysis Optimization Computer algebra
Related topics	Mathematicians lists Informal mathematics Films about mathematicians Recreational mathematics Mathematics and art Mathematics education
Mathematics portal Category Commons WikiProject

v т и Экономика
Theoretical	Microeconomics Decision theory Price theory Game theory Contract theory Mechanism design Macroeconomics Mathematical economics Computational economics Behavioral economics Pluralism in economics
Empirical	Econometrics Economic statistics Experimental economics Economic history
Applied	Agricultural Behavioral Business Cultural Demographic Development Digitization Ecological Education Engineering Environmental Evolutionary Expeditionary Feminist Financial Geographical Happiness Health Historical Humanistic Industrial organization Information Institutional Knowledge Labour Law Managerial Monetary Natural resource Organizational Participation Personnel Planning Policy Public Public choice / Social choice theory Regional Rural Service Socio Sociological Solidarity Statistics Urban Welfare
Schools (history)	Mainstream Heterodox American (National) Ancient thought Anarchist Mutualism Austrian Behavioral Buddhist Chartalism Modern monetary theory Chicago Classical Critique of political economy Democracy Disequilibrium Ecological Evolutionary Feminist Georgism Happiness Historical Humanistic Institutional Keynesian Neo- (neoclassical–Keynesian synthesis) New Post- Circuitism Malthusianism Marginalism Marxian Neo- Mercantilism Mixed Neoclassical Lausanne New classical Real business-cycle theory New institutional Physiocracy Socialist Stockholm Supply-side Thermo
Economists	de Mandeville Quesnay Smith Malthus Say Ricardo von Thünen List Bastiat Cournot Mill Gossen Marx Walras Jevons George Menger Marshall Edgeworth Clark Pareto von Böhm-Bawerk von Wieser Veblen Fisher Pigou Heckscher von Mises Schumpeter Keynes Knight Polanyi Frisch Sraffa Myrdal Hayek Kalecki Röpke Kuznets Tinbergen Robinson von Neumann Hicks Lange Leontief Galbraith Koopmans Schumacher Friedman Samuelson Simon Buchanan Arrow Baumol Solow Rothbard Greenspan Sowell Becker Ostrom Sen Lucas Stiglitz Thaler Hoppe Krugman Piketty more
Lists	Glossary Economists Publications (journals) Schools
Category Index Lists Outline Publications Business portal