Оптимизация сценария

Чтобы узнать о других значениях, см. Сценарий (значения) .

Сценарный подход или подход к оптимизации сценариев — это метод получения решений задач устойчивой оптимизации и оптимизации с ограничениями по шансам на основе выборки ограничений . Это также относится к индуктивным рассуждениям при моделировании и принятии решений. Этот метод существовал на протяжении десятилетий как эвристический подход и совсем недавно получил систематическое теоретическое обоснование.

При оптимизации функции устойчивости преобразуются в ограничения, которые параметризуются неопределенными элементами проблемы. В сценарном методе решение получается только путем рассмотрения случайной выборки ограничений ( эвристический подход), называемой сценариями , и глубоко обоснованная теория сообщает пользователю, насколько «надежно» соответствующее решение связано с другими ограничениями. Эта теория оправдывает использование рандомизации в надежной и случайно-ограниченной оптимизации.

Оптимизация на основе данных

Иногда сценарии получаются как случайные выборки из модели. Однако чаще сценарии представляют собой примеры неопределенных ограничений, которые получаются в результате наблюдений ( наука, основанная на данных ). В этом последнем случае для создания сценариев не требуется никакой модели неопределенности. Более того, что наиболее примечательно, и в этом случае оптимизация сценариев сопровождается полноценной теорией, поскольку все результаты оптимизации сценариев не имеют распределения и поэтому могут применяться даже тогда, когда модель неопределенности недоступна.

результаты

Для ограничений, которые являются выпуклыми (например, в полуопределенных задачах , включающих LMI (линейные матричные неравенства) ), был установлен глубокий теоретический анализ, который показывает, что вероятность того, что новое ограничение не удовлетворяется, соответствует распределению, в котором доминирует бета-распределение . Этот результат является точным, поскольку он точен для целого класса выпуклых задач. В более общем плане было показано, что различные эмпирические уровни соответствуют распределению Дирихле , маргинальные значения которого представляют собой бета-распределение. Сценарный подход с $L_{1}$ также рассматривалась регуляризация, доступны удобные алгоритмы с пониженной вычислительной сложностью. Расширения более сложных, невыпуклых конфигураций по-прежнему являются объектами активных исследований.

В рамках сценарного подхода также возможно найти компромисс между риском и доходностью. Более того, можно использовать полноценный метод применения данного подхода к управлению. Первый $N$ ограничения выбираются, а затем пользователь начинает последовательно удалять некоторые ограничения. Это можно сделать разными способами, даже по жадным алгоритмам. После устранения еще одного ограничения оптимальное решение обновляется и определяется соответствующее оптимальное значение. По мере продвижения этой процедуры пользователь строит эмпирическую «кривую значений», т. е. кривую, представляющую значение, достигнутое после устранения возрастающего числа ограничений. Теория сценариев дает точную оценку того, насколько надежны различные решения.

Замечательный прогресс в теории был достигнут благодаря недавнему подходу «выжидать и судить»: оценивают сложность решения (как точно определено в указанной статье) и на основе ее значения формулируют точные оценки надежности решения. Эти результаты проливают свет на глубоко укоренившиеся связи между понятиями сложности и риска. Связанный подход, названный «Повторяющееся проектирование сценариев», направлен на снижение сложности выборки решения путем многократного чередования фазы разработки сценария (с уменьшенным количеством выборок) с рандомизированной проверкой осуществимости последующего решения.

Пример

Рассмотрим функцию $R_{\delta }(x)$ который представляет собой возврат инвестиций ; это зависит от нашего вектора инвестиционного выбора $x$ и о состоянии рынка $\delta$ которые будут испытаны в конце инвестиционного периода.

Учитывая стохастическую модель рыночных условий, мы рассматриваем $N$ из возможных состояний $\delta _{1},\dots ,\delta _{N}$ (рандомизация неопределенности). Альтернативно, сценарии $\delta _{i}$ можно получить из записей наблюдений.

Мы приступили к решению программы оптимизации сценариев.

$\max _{x}\min _{i=1,\dots ,N}R_{\delta _{i}}(x).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

Это соответствует выбору вектора портфеля x таким образом, чтобы получить максимально возможную прибыль в наихудшем сценарии.

После решения (1) оптимальная инвестиционная стратегия $x^{\ast }$ достигается вместе с соответствующим оптимальным доходом $R^{\ast }$. Пока $R^{\ast }$ было получено путем просмотра $N$ только возможные состояния рынка, теория сценариев говорит нам, что решение является устойчивым до уровня $\varepsilon$, то есть возврат $R^{\ast }$ будет достигнуто с вероятностью $1-\varepsilon$ для других государств рынка.

В количественном финансировании наихудший подход может оказаться чрезмерно консервативным. Одна из альтернатив — отказаться от некоторых странных ситуаций, чтобы уменьшить пессимизм; более того, оптимизация сценариев может применяться к другим мерам риска, включая CVaR – условное значение при риске – что повышает гибкость его использования.

Области применения

Области применения включают: прогнозирование , теорию систем , регрессионный анализ ( интервальные модели прогнозирования в частности, ), актуарную науку , оптимальное управление , финансовую математику , машинное обучение , принятие решений , цепочку поставок и менеджмент .