Краткосрочная модель

Дерево, возвращающее OAS (черный против красного): короткая ставка является максимальным значением; динамика стоимости облигаций ясно показывает приближение к номиналу

Модель краткосрочной ставки в контексте производных процентных ставок — это математическая модель , которая описывает будущую эволюцию процентных ставок путем описания будущей эволюции краткосрочной ставки , обычно записываемой $r_{t}\,$.

Короткая ставка

В рамках модели с коротким курсом в качестве стохастической переменной состояния принимается мгновенный спотовый курс . Короткая ставка, $r_{t}\,$, тогда это ( непрерывно начисляемая , в годовом исчислении) процентная ставка, по которой организация может занимать деньги на бесконечно короткий период времени. $t$. Указание текущей короткой ставки не определяет всю кривую доходности . Однако аргументы в пользу отсутствия арбитража показывают, что в некоторых достаточно смягченных технических условиях, если мы смоделируем эволюцию $r_{t}\,$ как случайный процесс при нейтральной к риску мере $Q$, то цена на момент времени $t$ бескупонной облигации со сроком погашения $T$ с выигрышем 1 определяется выражением

$P(t,T)=\operatorname {E} ^{Q}\left[\left.\exp {\left(-\int _{t}^{T}r_{s}\,ds\right)}\right|{\mathcal {F}}_{t}\right],$

где ${\mathcal {F}}$ является естественной фильтрацией процесса. Процентные ставки, подразумеваемые облигациями с нулевым купоном, образуют кривую доходности, или, точнее, нулевую кривую . Таким образом, определение модели для краткосрочной ставки определяет будущие цены облигаций. Это означает, что мгновенные форвардные курсы также определяются по обычной формуле

$f(t,T)=-{\frac {\partial }{\partial T}}\ln(P(t,T)).$

Модели с короткими ставками часто классифицируются как эндогенные и экзогенные. Эндогенные модели с короткими ставками — это модели с короткими ставками, в которых временная структура процентных ставок или цен на облигации с нулевым купоном $T\mapsto P(0,T)$, является результатом модели, поэтому он находится «внутри модели» (эндогенно) и определяется параметрами модели. Экзогенные модели с краткосрочными ставками — это модели, в которых такая временная структура является входными данными, поскольку модель включает в себя некоторые зависящие от времени функции или сдвиги, которые позволяют ввести заданную временную структуру рынка, так что временная структура приходит извне (экзогенная).

Отдельные модели с короткими ставками

На протяжении всего этого раздела $W_{t}\,$ представляет собой стандартное броуновское движение при нейтральной к риску вероятностной мере и $dW_{t}\,$ его дифференциал . Если модель логнормальная , переменная $X_{t}$ предполагается, что он следует процессу Орнштейна – Уленбека и $r_{t}\,$ предполагается, что следует $r_{t}=\exp {X_{t}}\,$.

Однофакторные краткосрочные модели

Ниже приведены однофакторные модели, в которых единственный стохастический фактор – короткая ставка – определяет будущую эволюцию всех процентных ставок. За исключением Рендлмана-Барттера и Хо-Ли, которые не отражают возвращение процентных ставок к среднему , эти модели можно рассматривать как частные случаи процессов Орнштейна-Уленбека. Модели Васичека, Рендлмана-Барттера и CIR являются эндогенными моделями и имеют только конечное число свободных параметров , поэтому невозможно указать значения этих параметров таким образом, чтобы модель совпадала с несколькими наблюдаемыми рыночными ценами («калибровка» ) облигаций с нулевым купоном или линейных продуктов, таких как соглашения о форвардной процентной ставке или свопы, как правило, или для этих линейных продуктов выполняется наилучшее сопоставление, чтобы найти параметры эндогенных моделей с краткосрочной ставкой, которые наиболее близки к рыночным ценам. Это не позволяет использовать такие параметры, как ограничения, полы и свопы, поскольку вместо этого параметры использовались для подгонки линейных инструментов. Эта проблема решается путем детерминированного изменения параметров во времени. или путем добавления детерминистского сдвига к эндогенной модели. Таким образом, экзогенные модели, такие как модель Хо-Ли и последующие модели, могут быть откалиброваны по рыночным данным, а это означает, что они могут точно возвращать цену облигаций, составляющих кривую доходности, а остальные параметры можно использовать для калибровки опционов. Реализация обычно осуществляется через ( биномиальное ) дерево коротких ставок. или моделирование; см. Решетчатую модель (финансы) § Производные процентные ставки и методы Монте-Карло для определения цены опционов , хотя некоторые модели с краткосрочными ставками имеют решения закрытой формы для облигаций с нулевым купоном и даже для облигаций с нулевым купоном и даже предельных или минимальных значений, что значительно упрощает задачу калибровки. Сначала мы перечислим следующие эндогенные модели.

1. Модель Мертона (1973) объясняет краткосрочную ставку как $r_{t}=r_{0}+at+\sigma W_{t}^{*}$: где $W_{t}^{*}$ представляет собой одномерное броуновское движение относительно точечной мартингальной меры . В этом подходе короткая ставка следует арифметическому броуновскому движению .
2. Модель Васичека (1977) моделирует краткосрочную ставку как $dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}$; это часто пишут $dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}$. Вторая форма является более распространенной и делает интерпретацию параметров более прямой, поскольку параметр $a$ являющаяся скоростью возврата к среднему значению, параметр $b$ является долгосрочным средним значением, а параметр $\sigma$ это мгновенная волатильность. В этой модели коротких ставок процесс Орнштейна – Уленбека для коротких ставок используется . Эта модель допускает отрицательные ставки, поскольку распределение вероятности краткосрочной ставки является гауссовым. Кроме того, эта модель допускает решения в закрытой форме для цены облигации, опционов на облигации и пределов/минимальных значений, а, используя трюк Джамшидиана , можно также получить формулу для свопов.
3. Модель Рендлмана-Барттера (1980 г.) или модель Дотана (1978) объясняет короткую ставку как $dr_{t}=\theta r_{t}\,dt+\sigma r_{t}\,dW_{t}$. В этой модели короткая скорость соответствует геометрическому броуновскому движению . Эта модель не имеет формул закрытой формы для опционов и не предполагает возврата. Более того, через короткое время возникает проблема бесконечного ожидаемого банковского счета. Та же проблема будет присутствовать во всех логнормальных моделях с коротким курсом.
4. Модель Кокса -Ингерсолла-Росса (1985) предполагает $dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}$, часто пишут $dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}$. $\sigma {\sqrt {r_{t}}}$ фактор исключает (как правило) возможность отрицательных процентных ставок. Интерпретация параметров во второй формулировке такая же, как и в модели Васичека. Условие Феллера $2ab>\sigma ^{2}$ обеспечивает строго положительные короткие ставки. Эта модель следует процессу извлечения квадратного корня Феллера и имеет неотрицательные ставки, а также позволяет принимать решения в закрытой форме для цены облигации, опционов на облигации и пределов/минимальных значений, а также, используя трюк Джамшидиана , можно также получить формулу для свопов. И эта модель, и модель Васичека называются аффинными моделями, поскольку формула для непрерывно начисляемой спотовой ставки для конечного срока погашения T в момент времени t является аффинной функцией от $r_{t}$.

Теперь мы перечислим ряд экзогенных моделей коротких ставок.

1. Модель Хо-Ли (1986) моделирует краткосрочную ставку как $dr_{t}=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}$. Параметр $\theta _{t}$ позволяет использовать исходную временную структуру процентных ставок или цен на облигации в качестве входных данных модели. Эта модель снова следует арифметическому броуновскому движению с зависящим от времени детерминированным параметром дрейфа.
2. Модель Халла-Уайта (1990), также называемая расширенной моделью Васичека, постулирует $dr_{t}=(\theta _{t}-\alpha _{t}r_{t})\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}$. Во многих презентациях один или несколько параметров $\theta ,\alpha$ и $\sigma$ не зависят от времени. Распределение краткосрочной ставки нормальное, и модель допускает отрицательные ставки. Модель с константой $\alpha$ и $\sigma$ является наиболее часто используемым и позволяет получать решения в закрытой форме для цен на облигации, опционов на облигации, пределов и минимальных значений, а также свопов с помощью трюка Джамшидиана. Эта модель позволяет точно калибровать первоначальную временную структуру процентных ставок с помощью функции, зависящей от времени. $\theta _{t}$. Реализация на основе решетки для бермудских свопов и для продуктов без аналитических формул обычно является трехчленной .
3. Модель Блэка – Дермана – Той (1990 г.) $d\ln(r)=[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}}\ln(r)]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}$ для зависящей от времени волатильности краткосрочных ставок и $d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}$ в противном случае; модель логнормальная. В модели отсутствуют формулы закрытой формы для опционов. Кроме того, как и все логнормальные модели, она страдает от проблемы резкого увеличения ожидаемого банковского счета за конечное время.
4. ) имеет Логнормальная модель Блэка – Карасинского (1991 г. $d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t}\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}$. Эту модель можно рассматривать как логнормальное применение Халла – Уайта; его реализация на основе решетки также является трехчленной (биномиальной, требующей различных временных шагов). Модель не имеет решений в закрытой форме, и даже базовую калибровку исходной временной структуры необходимо выполнять с помощью численных методов для определения цен облигаций с нулевым купоном. Эта модель также страдает от проблемы резкого увеличения ожидаемого банковского счета за конечное время.
5. Модель Калотая-Вильямса-Фабоцци (1993) имеет короткую скорость как $d\ln(r_{t})=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}$, логнормальный аналог модели Хо – Ли и частный случай модели Блэка – Дермана – Той. Этот подход по сути аналогичен «оригинальной модели Salomon Brothers » (1987 г.). также логнормальный вариант Хо-Ли.
6. Модель CIR++, представленная и подробно изученная Бриго и Меркурио. в 2001 г., а также ранее сформулировано Скоттом (1995). использовал модель CIR, но вместо введения в динамику зависящих от времени параметров она добавляет внешний сдвиг. Модель сформулирована как $dx_{t}=a(b-x_{t})\,dt+{\sqrt {x_{t}}}\,\sigma \,dW_{t},\ \ r_{t}=x_{t}+\phi (t)$ где $\phi$ представляет собой детерминированный сдвиг. Этот сдвиг можно использовать для поглощения временной структуры рынка и приведения модели в полное соответствие с ней. Эта модель сохраняет аналитическую гибкость базовой модели CIR, позволяя использовать решения в закрытой форме для облигаций и всех линейных продуктов, а также такие варианты, как ограничения, пол и свопы, с помощью трюка Джамшидиана. Модель позволяет поддерживать положительные ставки, если сдвиг ограничен положительным, или допускает отрицательные ставки, если сдвиг может стать отрицательным. Он также часто применялся в отношении кредитного риска, для кредитно-дефолтных свопов и свопов, в этой исходной версии или с скачками.

Идея детерминированного сдвига может быть применена и к другим моделям, которые обладают желаемыми свойствами в своей эндогенной форме. Например, можно применить сдвиг $\phi$ модели Васичека, но из-за линейности процесса Орнштейна-Уленбека это эквивалентно тому, чтобы сделать $b$ функция, зависящая от времени, и, таким образом, совпадает с моделью Халла-Уайта.

Многофакторные краткосрочные модели

Помимо вышеуказанных однофакторных моделей, существуют также многофакторные модели краткосрочной ставки, среди них наиболее известны двухфакторная модель Лонгстаффа и Шварца и трехфакторная модель Чена (также называемая «моделью стохастического среднего и стохастической волатильности»). ). Обратите внимание, что в целях управления рисками, «чтобы создать реалистичное моделирование процентных ставок », эти многофакторные модели с краткосрочными ставками иногда предпочтительнее однофакторных моделей, поскольку они создают сценарии, которые, как правило, лучше «согласуются с фактическими Движение кривой доходности».

• Модель Лонгстаффа – Шварца (1992) предполагает, что динамика коротких ставок определяется выражением

${\begin{aligned}dX_{t}&=(a_{t}-bX_{t})\,dt+{\sqrt {X_{t}}}\,c_{t}\,dW_{1t},\\[3pt]dY_{t}&=(d_{t}-eY_{t})\,dt+{\sqrt {Y_{t}}}\,f_{t}\,dW_{2t},\end{aligned}}$

где короткая ставка определяется как

$dr_{t}=(\mu X+\theta Y)\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {Y}}\,dW_{3t}.$

• Модель Чена (1996), которая имеет стохастическое среднее и волатильность краткосрочной ставки, определяется выражением

${\begin{aligned}dr_{t}&=(\theta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\alpha _{t}&=(\zeta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {\alpha _{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\sigma _{t}&=(\beta _{t}-\sigma _{t})\,dt+{\sqrt {\sigma _{t}}}\,\eta _{t}\,dW_{t}.\end{aligned}}$

• Двухфакторные модели Халла-Уайта или G2++ — это модели, которые использовались из-за их легкости. Эти модели обобщены и показаны как эквивалентные в работе Бриго и Меркурио (2006). Эта модель основана на добавлении двух, возможно, коррелирующих процессов Орнштейна-Уленбека (Васичека) плюс сдвиг для получения короткой ставки. Эта модель позволяет точно калибровать временную структуру, полузамкнутые решения для опционов, контролировать временную структуру волатильности для мгновенных форвардных ставок посредством параметра корреляции и особенно для отрицательных ставок, что стало важным, когда ставки стали отрицательными в финансовых операциях. рынки.

Другие модели процентных ставок

Другой основной основой для моделирования процентных ставок является модель Хита – Джарроу – Мортона (HJM). В отличие от описанных выше краткосрочных моделей, этот класс моделей, как правило, немарковский. Это делает общие модели HJM вычислительно неразрешимыми для большинства целей. Большим преимуществом моделей HJM является то, что они дают аналитическое описание всей кривой доходности, а не только краткосрочной ставки. Для некоторых целей (например, оценки ценных бумаг, обеспеченных ипотекой) это может оказаться большим упрощением. Модели Кокса-Ингерсолла-Росса и Халла-Уайта в одном или нескольких измерениях могут быть непосредственно выражены в рамках HJM. Другие модели с короткими ставками не имеют простого двойного представления HJM.

Структура HJM с несколькими источниками случайности, включая модель Брейса-Гатарека-Мусиелы и рыночные модели , часто предпочтительна для моделей более высокого измерения.

Модели, основанные на Фишера Блэка , теневой ставке используются, когда процентные ставки приближаются к нулевой нижней границе .

См. также

• Атрибуция с фиксированным доходом

Дальнейшее чтение

• Мартин Бакстер и Эндрю Ренни (1996). Финансовый расчет . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-55289-9 .
• Дамиано Бриго; Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок – теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд., 2006 г.). Спрингер Верлаг. ISBN  978-3-540-22149-4 .
• Джеральд Бьютоу и Джеймс Сочаки (2001). Модели временной структуры с использованием биномиальных деревьев . Исследовательский фонд AIMR ( Институт CFA ). ISBN  978-0-943205-53-3 .
• Эндрю Дж. Г. Кэрнс (2004). Модели процентных ставок – Введение . Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-691-11894-9 .
• Эндрю Дж. Г. Кэрнс (2004). Модели процентных ставок ; вход в Энциклопедия актуарной науки . Джон Уайли и сыновья . 2004. ISBN  978-0-470-84676-6 .
• К.С. Чан, Дж. Эндрю Кароли, Фрэнсис Лонгстафф и Энтони Сандерс (1992). Эмпирическое сравнение альтернативных моделей краткосрочной процентной ставки (PDF) . , Финансовый журнал Vol. XLVII, № 3, июль 1992 г. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Линь Чен (1996). Динамика процентных ставок, ценообразование на производные финансовые инструменты и управление рисками . Спрингер . ISBN  978-3-540-60814-1 .
• Раджна Гибсон, Франсуа-Серж Лабитан и Дени Талай (1999). Моделирование временной структуры процентных ставок: обзор . Журнал риска, 1 (3): 37–62, 1999.
• Лейн Хьюстон (2003). Прошлое, настоящее и будущее моделирования временных структур ; вход в Питер Филд (2003). Современный риск-менеджмент . Книги рисков. ISBN  978-1-906348-30-4 .
• Джессика Джеймс и Ник Уэббер (2000). Моделирование процентных ставок . Уайли Финанс . ISBN  978-0-471-97523-6 .
• Роберт Джарроу (2002). Моделирование ценных бумаг с фиксированным доходом и опционов на процентную ставку (2-е изд.) . Стэнфордская экономика и финансы. ISBN  978-0-8047-4438-6 .
• Роберт Джарроу (2009). «Срочная структура процентных ставок» . Ежегодный обзор финансовой экономики . 1 (1): 69–96. doi : 10.1146/annurev.financial.050808.114513 .
• ФК Парк (2004). «Внедрение моделей процентных ставок: практическое руководство» (PDF) . Публикация исследования CMPR . Архивировано из оригинала (PDF) 16 августа 2010 г.
• Риккардо Ребонато (2002). Современное ценообразование процентных деривативов . Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-691-08973-7 .
• Риккардо Ребонато (2003). «Модели временной структуры: обзор» (PDF) . Рабочий документ Центра количественных исследований Королевского банка Шотландии .