Обратное стохастическое дифференциальное уравнение

Обратное стохастическое дифференциальное уравнение ( BSDE ) — это стохастическое дифференциальное уравнение с терминальным условием, в котором решение необходимо адаптировать с учетом базовой фильтрации. BSDE естественным образом возникают в различных приложениях, таких как стохастическое управление , математические финансы и нелинейные формулы Фейнмана-Каца . ^[1]

Предыстория [ править ]

Обратные стохастические дифференциальные уравнения были введены Жаном-Мишелем Бисмутом в 1973 году в линейном случае. ^[2] и Этьена Парду и Шиге Пэна в 1990 году в нелинейном случае. ^[3]

Математическая основа [ править ]

Исправить время терминала $T>0$ и вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ . Позволять $(B_{t})_{t\in [0,T]}$ быть броуновским движением с естественной фильтрацией $({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}$ . Обратное стохастическое дифференциальное уравнение — это интегральное уравнение вида

Y_{t}=\xi +\int _{t}^{T}f(s,Y_{s},Z_{s})\mathrm {d} s-\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T],

( 1 )

где $f:[0,T]\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ называется генератором BSDE, терминальное условие $\xi$ это ${\mathcal {F}}_{T}$ -измеримая случайная величина и решение $(Y_{t},Z_{t})_{t\in [0,T]}$ состоит из случайных процессов $(Y_{t})_{t\in [0,T]}$ и $(Z_{t})_{t\in [0,T]}$ которые приспособлены к фильтрации $({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}$ .

Пример [ править ]

В случае $f\equiv 0$ , BSDE ( 1 ) сводится к

Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T].

( 2 )

Если $\xi \in L^{2}(\Omega ,\mathbb {P} )$ следует , то из теоремы о мартингальном представлении , что существует единственный случайный процесс $(Z_{t})_{t\in [0,T]}$ такой, что $Y_{t}=\mathbb {E} [\xi |{\mathcal {F}}_{t}]$ и $Z_{t}$ удовлетворять BSDE ( 2 ).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Ма, Джин; Ён, Цзюнмин (2007). Стохастические дифференциальные уравнения прямого и обратного направления и их приложения . Конспект лекций по математике. Том. 1702. Шпрингер Берлин, Гейдельберг. дои : 10.1007/978-3-540-48831-6 . ISBN 978-3-540-65960-0 .
^ Висмут, Жан-Мишель (1973). «Сопряженные выпуклые функции в оптимальном стохастическом управлении». Журнал математического анализа и приложений . 44 (2): 384–404. дои : 10.1016/0022-247X(73)90066-8 .
^ Парду, Этьен; Пэн, Ши Ге (1990). «Адаптированное решение обратного стохастического дифференциального уравнения». Системы и контрольные письма . 14 : 55–61. дои : 10.1016/0167-6911(90)90082-6 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Парду, Этьен; Рӑшкану, Аурел (2014). Стохастические дифференциальные уравнения, обратные СДУ, уравнения в частных производных . Стохастическое моделирование и прикладная вероятность. Springer International Publishing, Швейцария.
Чжан, Цзяньфэн (2017). Обратные стохастические дифференциальные уравнения . Теория вероятностей и стохастическое моделирование. Спрингер Нью-Йорк, штат Нью-Йорк.

[1] Ма, Джин; Ён, Цзюнмин (2007). Стохастические дифференциальные уравнения прямого и обратного направления и их приложения . Конспект лекций по математике. Том. 1702. Шпрингер Берлин, Гейдельберг. дои : 10.1007/978-3-540-48831-6 . ISBN 978-3-540-65960-0 .

[2] Висмут, Жан-Мишель (1973). «Сопряженные выпуклые функции в оптимальном стохастическом управлении». Журнал математического анализа и приложений . 44 (2): 384–404. дои : 10.1016/0022-247X(73)90066-8 .

[3] Парду, Этьен; Пэн, Ши Ге (1990). «Адаптированное решение обратного стохастического дифференциального уравнения». Системы и контрольные письма . 14 : 55–61. дои : 10.1016/0167-6911(90)90082-6 .

[1]

[2]

[3]