Формула Фейнмана – Каца

Формула Фейнмана-Каца , названная в честь Ричарда Фейнмана и Марка Каца , устанавливает связь между параболическими уравнениями в частных производных и случайными процессами . В 1947 году, когда Кац и Фейнман оба были преподавателями Корнелльского университета , Кац присутствовал на презентации Фейнмана и заметил, что они оба работали над одним и тем же, но с разных сторон. В результате была получена формула Фейнмана-Каца, которая строго доказывает действительный случай интегралов по путям Фейнмана . Сложный случай, возникающий при учете спина частицы, все еще остается открытым вопросом.

Он предлагает метод решения некоторых уравнений в частных производных путем моделирования случайных путей случайного процесса. И наоборот, важный класс ожиданий случайных процессов можно вычислить детерминистическими методами.

Теорема

Рассмотрим уравнение в частных производных $${\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x}}(x,t)+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x,t)-V(x,t)u(x,t)+f(x,t)=0,$$определено для всех $x\in \mathbb {R}$ и $t\in [0,T]$, при условии терминального состояния $$u(x,T)=\psi (x),$$где $\mu ,\sigma ,\psi ,V,f$ — известные функции, $T$ является параметром, и $u:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R}$ это неизвестное. Тогда формула Фейнмана–Каца выражает $u(x,t)$ как условное ожидание по вероятностной мере $Q$

$u(x,t)=E^{Q}\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,\mathrm {d} \tau }\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{\tau }V(X_{s},s)\,\mathrm {d} s}f(X_{\tau },\tau )\,\mathrm {d} \tau \,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]$

где $X$ является процессом Ито, удовлетворяющим $$\mathrm {d} X_{t}=\mu (X,t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X,t)\,\mathrm {d} W_{t}^{Q},$$и $W_{t}^{Q}$ Винеровский процесс (также называемый броуновским движением ) при $Q$.

Интуитивная интерпретация

Предположим, что позиция $X_{t}$ частицы эволюционирует в соответствии с процессом диффузии $$dX_{t}=\mu (X,t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X,t)\,\mathrm {d} W_{t}^{Q}.$$Пусть частица несет «стоимость» со скоростью $f(X_{s},s)$ на месте $X_{s}$ во время $s$. Пусть это понесет конечную стоимость в размере $\psi (X_{T})$.

Также позвольте частице распасться. Если частица находится в месте $X_{s}$ во время $s$, то он затухает со скоростью $V(X_{s},s)$. После распада частицы все будущие затраты равны нулю.

Затем $u(x,t)$ ожидаемая себестоимость, если частица начинается с $(t,X_{t}=x).$

Частичное доказательство

Доказательство того, что приведенная выше формула является решением дифференциального уравнения, длинное, сложное и здесь не представлено. Однако достаточно просто показать, что если решение существует , оно должно иметь указанную выше форму. Доказательство этого меньшего результата состоит в следующем:

Позволять $u(x,t)$ быть решением приведенного выше уравнения в частных производных. Применение правила продукта для процессов Itô к процессу $$Y(s)=\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)u(X_{s},s)+\int _{t}^{s}\exp \left(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{r},r)\,dr$$человек получает: $${\begin{aligned}dY_{s}={}&d\left(\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\right)u(X_{s},s)+\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\,du(X_{s},s)\\[6pt]&{}+d\left(\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\right)du(X_{s},s)+d\left(\int _{t}^{s}\exp \left(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{r},r)\,dr\right)\end{aligned}}$$

С $$d\left(\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\right)=-V(X_{s},s)\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\,ds,$$ третий термин $O(dt\,du)$ и его можно скинуть. У нас тоже есть такое $$d\left(\int _{t}^{s}\exp \left(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{r},r)dr\right)=\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{s},s)ds.$$

Применяя лемму Ито к $du(X_{s},s)$, отсюда следует, что $${\begin{aligned}dY_{s}={}&\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\,\left(-V(X_{s},s)u(X_{s},s)+f(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial u}{\partial s}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}u}{\partial X^{2}}}\right)\,ds\\[6pt]&{}+\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.\end{aligned}}$$

Первый член содержит в скобках приведенное выше уравнение в частных производных и поэтому равен нулю. Остается следующее: $$dY_{s}=\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.$$

Интегрируя это уравнение из $t$ к $T$, можно сделать вывод, что: $$Y(T)-Y(t)=\int _{t}^{T}\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.$$

Приняв ожидания, обусловленные $X_{t}=x$и учитывая, что правая часть представляет собой интеграл Ито с нулевым математическим ожиданием, отсюда следует, что: $$E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E[Y(t)\mid X_{t}=x]=u(x,t).$$

Желаемый результат достигается при соблюдении следующего: $$E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E\left[\exp \left(-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)u(X_{T},T)+\int _{t}^{T}\exp \left(-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{r},r)\,dr\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]$$и наконец $$u(x,t)=E\left[\exp \left(-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau \right)f(X_{s},s)\,ds\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]$$

Примечания

• Приведенное выше доказательство того, что решение должно иметь заданную форму, по сути, является доказательством с изменениями для учета $f(x,t)$.
• Приведенная выше формула ожидания также справедлива для N -мерной диффузии Ито. Соответствующее уравнение в частных производных для $u:\mathbb {R} ^{N}\times [0,T]\to \mathbb {R}$ становится: $${\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{ij}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-r(x,t)\,u=f(x,t),$$ где, $$\gamma _{ij}(x,t)=\sum _{k=1}^{N}\sigma _{ik}(x,t)\sigma _{jk}(x,t),$$ то есть $\gamma =\sigma \sigma ^{\mathrm {T} }$, где $\sigma ^{\mathrm {T} }$ обозначает транспонирование ​ $\sigma$.
• Короче говоря, позволив $A$ быть бесконечно малым генератором процесса диффузии, $${\frac {\partial u}{\partial t}}+Au-r(x,t)\,u=f(x,t),$$
• Это ожидание затем можно аппроксимировать с помощью Монте-Карло или методов квази-Монте-Карло .
• Первоначально опубликованный Кацем в 1949 году, формула Фейнмана–Каца была представлена ​​как формула для определения распределения некоторых винеровских функционалов. Предположим, мы хотим найти ожидаемое значение функции $$\exp \left(-\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau \right)$$ в случае, когда x (τ) — некоторая реализация диффузионного процесса, начинающегося в точке x (0) = 0 . Формула Фейнмана-Каца говорит, что это ожидание эквивалентно интегралу от решения уравнения диффузии. В частности, в условиях, $uV(x)\geq 0$, $$E\left[\exp \left(-u\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau \right)\right]=\int _{-\infty }^{\infty }w(x,t)\,dx$$ где ш ( Икс , 0) = δ ( Икс ) и $${\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w.$$

Формулу Фейнмана–Каца также можно интерпретировать как метод вычисления функциональных интегралов определенного вида. Если $$I=\int f(x(0))\exp \left(-u\int _{0}^{t}V(x(t))\,dt\right)g(x(t))\,Dx$$где интеграл берется по всем случайным блужданиям , тогда $$I=\int w(x,t)g(x)\,dx$$ где w ( x , t ) — решение параболического уравнения в частных производных $${\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w$$ с начальным условием ш ( Икс , 0) знак равно ж ( Икс ) .

Приложения

Финансы

В количественных финансах формула Фейнмана-Каца используется для эффективного расчета решений уравнения Блэка-Шоулза для определения цены опционов на акции. и цены облигаций с нулевым купоном в моделях аффинной временной структуры .

Например, рассмотрим цену акции $S_{t}$ испытывает геометрическое броуновское движение $$dS_{t}=(r_{t}dt+\sigma _{t}dW_{t})S_{t}$$где $r_{t}$ безрисковая процентная ставка и $\sigma _{t}$ это волатильность. Эквивалентно, по лемме Ито, $$d\ln S_{t}=\left(r_{t}-{\tfrac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}\right)dt+\sigma _{t}\,dW_{t}.$$Теперь рассмотрим европейский опцион колл на $S_{t}$ истекающий во времени $T$ с забастовкой $K$. По истечении срока стоит $(X_{T}-K)^{+}.$ Тогда нейтральная к риску цена опциона в момент времени $t$ и цена акций $x$, является $$u(x,t)=E\left[e^{-\int _{t}^{T}r_{s}ds}(S_{T}-K)^{+}|\ln S_{t}=\ln x\right].$$Подставляя формулу Фейнмана–Каца, получаем уравнение Блэка–Шоулза: $${\begin{cases}\partial _{t}u+Au-r_{t}u=0\\u(x,T)=(x-K)^{+}\end{cases}}$$где ${\textstyle A=(r_{t}-\sigma _{t}^{2}/2)\partial _{\ln x}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}\partial _{\ln x}^{2}=r_{t}x\partial _{x}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}x^{2}\partial _{x}^{2}.}$ В более общем плане рассмотрим опцион, срок действия которого истекает в определенный момент времени. $T$ с выплатой $g(S_{T})$. Тот же расчет показывает, что его цена $u(x,t)$ удовлетворяет $${\begin{cases}\partial _{t}u+Au-r_{t}u=0\\u(x,T)=g(x).\end{cases}}$$Некоторые другие опционы, например американский опцион, не имеют фиксированного срока действия. некоторых Стоимость опционов на момент истечения определяется прошлыми ценами на акции . Например, средний опцион имеет выигрыш, который определяется не базовой ценой на момент истечения срока, а средней базовой ценой за некоторый заранее определенный период времени. Для них формула Фейнмана-Каца напрямую не применима.

Квантовая механика

В квантовой химии он используется для решения уравнения Шрёдингера методом чистой диффузии Монте-Карло .

См. также

• Лемма Ито
• Неравенство Куниты – Ватанабэ
• Теорема Гирсанова
• Прямое уравнение Колмогорова (также известное как уравнение Фоккера – Планка)
• Стохастическая механика

Дальнейшее чтение

• Саймон, Барри (1979). Функциональная интеграция и квантовая физика . Академическая пресса.
• Холл, Британская Колумбия (2013). Квантовая теория для математиков . Спрингер.