Модель аффинной временной структуры

Модель аффинной временной структуры — это финансовая модель , которая связывает цены облигаций с нулевым купоном (т. е. кривую дисконтирования) с моделью спотовой ставки . Это особенно полезно для построения кривой доходности – процесса определения входных данных модели спотовой ставки на основе наблюдаемых данных рынка облигаций . Аффинный класс моделей временной структуры подразумевает удобную форму, согласно которой логарифмические цены облигаций являются линейными функциями спотовой ставки. ^[1] (и потенциально дополнительные переменные состояния).

Фон

Начните со стохастической коротких ставок . модели $r(t)$ с динамикой:

dr(t)=\mu (t,r(t))\,dt+\sigma (t,r(t))\,dW(t)

и безрисковая облигация с нулевым купоном со сроком погашения $T$ с ценой $P(t,T)$ во время $t$ . Цена бескупонной облигации определяется по формуле: $P(t,T)=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }\left\{\exp \left[-\int _{t}^{T}r(t')dt'\right]\right\}$ где $T=t+\tau$ , с $\tau$ бытие – это срок погашения облигации. Ожидание берется относительно нейтральной к риску вероятностной меры. $\mathbb {Q}$ . Если цена облигации имеет вид:

P(t,T)=e^{A(t,T)-rB(t,T)}

где $A$ и $B$ являются детерминированными функциями, то говорят, что краткосрочная модель имеет аффинную временную структуру . Доходность облигации со сроком погашения $\tau$ , обозначенный $y(t,\tau )$ , определяется: $y(t,\tau )=-{1 \over {\tau }}\log P(t,\tau )$

Формула Фейнмана-Каца

На данный момент мы еще не выяснили, как явно вычислить цену облигации; однако определение цены облигации подразумевает связь с формулой Фейнмана-Каца , которая предполагает, что цена облигации может быть явно смоделирована с помощью уравнения в частных производных . Если предположить, что цена облигации является функцией $x\in \mathbb {R} ^{n}$ латентные факторы : К ПДЭ приводят $-{\partial P \over {\partial \tau }}+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}{\partial P \over {\partial x_{i}}}+{1 \over {2}}\sum _{i,j=1}^{n}\Omega _{ij}{\partial ^{2}P \over {\partial x_{i}\partial x_{j}}}-rP=0,\quad P(0,x)=1$ где $\Omega$ представляет собой ковариационную матрицу скрытых факторов, где скрытые факторы управляются стохастическим дифференциальным уравнением Ито в нейтральной к риску мере: $dx=\mu ^{\mathbb {Q} }dt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} },\quad \Omega =\Sigma \Sigma ^{T}$ Предположим, что решение для цены облигации имеет вид: $P(\tau ,x)=\exp \left[A(\tau )+x^{T}B(\tau )\right],\quad A(0)=B_{i}(0)=0$ Производные цены облигации по сроку погашения и каждому скрытому фактору: ${\begin{aligned}{\partial P \over {\partial \tau }}&=\left[A'(\tau )+x^{T}B'(\tau )\right]P\\{\partial P \over {\partial x_{i}}}&=B_{i}(\tau )P\\{\partial ^{2}P \over {\partial x_{i}\partial x_{j}}}&=B_{i}(\tau )B_{j}(\tau )P\\\end{aligned}}$ С помощью этих производных УЧП можно свести к серии обыкновенных дифференциальных уравнений: $-\left[A'(\tau )+x^{T}B'(\tau )\right]+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}B_{i}(\tau )+{1 \over {2}}\sum _{i,j=1}^{n}\Omega _{ij}B_{i}(\tau )B_{j}(\tau )-r=0,\quad A(0)=B_{i}(0)=0$ Для вычисления решения в замкнутой форме требуются дополнительные спецификации.

Существование

Используя формулу Ито, мы можем определить ограничения на $\mu$ и $\sigma$ что приведет к аффинной временной структуре. Предполагая, что облигация имеет аффинную временную структуру и $P$ удовлетворяет уравнению временной структуры , получаем:

A_{t}(t,T)-(1+B_{t}(t,T))r-\mu (t,r)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(t,r)B^{2}(t,T)=0

Граничное значение

P(T,T)=1

подразумевает

{\begin{aligned}A(T,T)&=0\\B(T,T)&=0\end{aligned}}

Далее предположим, что $\mu$ и $\sigma ^{2}$ аффинны в $r$ :

{\begin{aligned}\mu (t,r)&=\alpha (t)r+\beta (t)\\\sigma (t,r)&={\sqrt {\gamma (t)r+\delta (t)}}\end{aligned}}

Дифференциальное уравнение тогда принимает вид

A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)-\left[1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)\right]r=0

Поскольку эта формула должна выполняться для всех $r$ , $t$ , $T$ , коэффициент $r$ должно равняться нулю.

1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)=0

Тогда и другой член должен исчезнуть.

A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)=0

Тогда, предполагая $\mu$ и $\sigma ^{2}$ аффинны в $r$ , модель имеет аффинную временную структуру, где $A$ и $B$ удовлетворяют системе уравнений:

{\begin{aligned}1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)&=0\\B(T,T)&=0\\A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)&=0\\A(T,T)&=0\end{aligned}}

Модели с АТС

Деревня

Модель деревни $dr=(b-ar)\,dt+\sigma \,dW$ имеет аффинную временную структуру, где

{\begin{aligned}p(t,T)&=e^{A(t,T)-B(t,T)r(t)}\\B(t,T)&={\frac {1}{a}}\left(1-e^{-a(T-t)}\right)\\A(t,T)&={\frac {(B(t,T)-T+t)(ab-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})}{a^{2}}}-{\frac {\sigma ^{2}B^{2}(t,T)}{4a}}\end{aligned}}

Безарбитражный Нельсон-Сигел

Один из подходов к моделированию аффинной временной структуры заключается в обеспечении соблюдения условия отсутствия арбитража в предлагаемой модели. В серии статей, ^[2]^[3]^[4] предлагаемая модель динамической кривой доходности была разработана с использованием безарбитражной версии знаменитой модели Нельсона-Зигеля, ^[5] который авторы называют AFNS. Для вывода модели AFNS авторы делают несколько предположений:

Существует три скрытых фактора, соответствующих уровню , наклону и кривизне кривой доходности .
Латентные факторы развиваются в соответствии с многомерными процессами Орнштейна-Уленбека . Конкретные характеристики различаются в зависимости от используемой меры:
1. $dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ (Реальная мера $\mathbb {P}$ )
2. $dx=-K^{\mathbb {Q} }xdt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} }$ (Риск-нейтральная мера $\mathbb {Q}$ )
Матрица волатильности $\Sigma$ диагональная
Короткая ставка является функцией уровня и наклона ( $r=x_{1}+x_{2}$ )

Из предполагаемой модели цены бескупонной облигации: $P(\tau ,x)=\exp \left[A(\tau )+x^{T}B(\tau )\right]$ Доходность при погашении $\tau$ дается: $y(\tau )=-{A(\tau ) \over {\tau }}-{x^{T}B(\tau ) \over {\tau }}$ И на основе перечисленных предположений набор ОДУ, которые необходимо решить для решения в замкнутой форме, определяется следующим образом: $-\left[A'(\tau )+B'(\tau )^{T}x\right]-B(\tau )^{T}K^{\mathbb {Q} }x+{1 \over {2}}B(\tau )^{T}\Omega B(\tau )-\rho ^{T}x=0,\quad A(0)=B_{i}(0)=0$ где $\rho ={\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}}^{T}$ и $\Omega$ представляет собой диагональную матрицу с элементами $\Omega _{ii}=\sigma _{i}^{2}$ . Сопоставляя коэффициенты, мы имеем систему уравнений: ${\begin{aligned}-B'(\tau )&=\left(K^{\mathbb {Q} }\right)^{T}B(\tau )+\rho ,\quad B_{i}(0)=0\\A'(\tau )&={1 \over {2}}B(\tau )^{T}\Omega B(\tau ),\quad A(0)=0\end{aligned}}$ Чтобы найти приемлемое решение, авторы предлагают следующее: $K^{\mathbb {Q} }$ принять форму: $K^{\mathbb {Q} }={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\lambda &-\lambda \\0&0&\lambda \end{pmatrix}}$ Решение набора связанных ОДУ для вектора $B(\tau )$ и позволяя ${\mathcal {B}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}B(\tau )$ , мы находим, что: ${\mathcal {B}}(\tau )={\begin{pmatrix}1&{1-e^{-\lambda \tau } \over {\lambda \tau }}&{1-e^{-\lambda \tau } \over {\lambda \tau }}-e^{-\lambda \tau }\end{pmatrix}}^{T}$ Затем $x^{T}{\mathcal {B}}(\tau )$ воспроизводит стандартную модель кривой доходности Нельсона-Зигеля. Решение для коэффициента корректировки доходности ${\mathcal {A}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}A(\tau )$ более сложен, его можно найти в Приложении B к статье 2007 года, но он необходим для обеспечения соблюдения условия отсутствия арбитража.

Средняя ожидаемая короткая ставка

Одной из величин, представляющих интерес, которую можно получить из модели AFNS, является средняя ожидаемая короткая ставка (AESR), которая определяется как: ${\text{AESR}}\equiv {1 \over {\tau }}\int _{t}^{t+\tau }\mathbb {E} _{t}(r_{s})ds=y(\tau )-{\text{TP}}(\tau )$ где $\mathbb {E} _{t}(r_{s})$ – условное ожидание краткосрочной ставки и ${\text{TP}}(\tau )$ — это премия за срок, связанная с облигацией со сроком погашения. $\tau$ . Чтобы найти AESR, вспомним, что динамика скрытых факторов при реальном измерении $\mathbb {P}$ являются: $dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ Общее решение многомерного процесса Орнштейна-Уленбека: $x_{t}=\theta +e^{-K^{\mathbb {P} }t}(x_{0}-\theta )+\int _{0}^{t}e^{-K^{\mathbb {P} }(t-t')}\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ Обратите внимание, что $e^{-K^{\mathbb {P} }t}$ – матричная экспонента . Из этого решения можно явно вычислить условное математическое ожидание факторов во времени. $t+\tau$ как: $\mathbb {E} _{t}(x_{t+\tau })=\theta +e^{-K^{\mathbb {P} }\tau }(x_{t}-\theta )$ отмечая, что $r_{t}=\rho ^{T}x_{t}$ , общее решение для AESR можно найти аналитически: ${1 \over {\tau }}\int _{t}^{t+\tau }\mathbb {E} _{t}(r_{s})ds=\rho ^{T}\left[\theta +{1 \over {\tau }}\left(K^{\mathbb {P} }\right)^{-1}\left(I-e^{-K^{\mathbb {P} }\tau }\right)(x_{t}-\theta )\right]$

Ссылки

^ Даффи, Даррелл; Кан, Руи (1996). «Модель процентных ставок с коэффициентом доходности». Математические финансы . 6 (4): 379–406. дои : 10.1111/j.1467-9965.1996.tb00123.x . ISSN 1467-9965 .
^ Кристенсен, Йенс Х.Э.; Диболд, Фрэнсис X.; Рудебуш, Гленн Д. (1 сентября 2011 г.). «Аффинный безарбитражный класс моделей временных структур Нельсона – Зигеля» . Журнал эконометрики . Выпуск Аннала по прогнозированию. 164 (1): 4–20. doi : 10.1016/j.jeconom.2011.02.011 . ISSN 0304-4076 .
^ Кристенсен, Йенс Х.Э.; Рудебуш, Гленн Д. (1 ноября 2012 г.). «Реакция процентных ставок на количественное смягчение в США и Великобритании» . Экономический журнал . 122 (564): Ф385–Ф414. дои : 10.1111/j.1468-0297.2012.02554.x . ISSN 0013-0133 . S2CID 153927550 .
^ Кристенсен, Йенс Х.Э.; Крогструп, Сигне (01 января 2019 г.). «Передача количественного смягчения: роль резервов центрального банка» (PDF) . Экономический журнал . 129 (617): 249–272. дои : 10.1111/ecoj.12600 . ISSN 0013-0133 . S2CID 167553886 .
^ Нельсон, Чарльз Р.; Сигел, Эндрю Ф. (1987). «Экономное моделирование кривых доходности». Журнал бизнеса . 60 (4): 473–489. дои : 10.1086/296409 . ISSN 0021-9398 . JSTOR 2352957 .

Дальнейшее чтение

Бьорк, Томас (2009). Теория арбитража в непрерывном времени, третье издание . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-957474-2 .

[1] Даффи, Даррелл; Кан, Руи (1996). «Модель процентных ставок с коэффициентом доходности». Математические финансы . 6 (4): 379–406. дои : 10.1111/j.1467-9965.1996.tb00123.x . ISSN 1467-9965 .

[2] Кристенсен, Йенс Х.Э.; Диболд, Фрэнсис X.; Рудебуш, Гленн Д. (1 сентября 2011 г.). «Аффинный безарбитражный класс моделей временных структур Нельсона – Зигеля» . Журнал эконометрики . Выпуск Аннала по прогнозированию. 164 (1): 4–20. doi : 10.1016/j.jeconom.2011.02.011 . ISSN 0304-4076 .

[3] Кристенсен, Йенс Х.Э.; Рудебуш, Гленн Д. (1 ноября 2012 г.). «Реакция процентных ставок на количественное смягчение в США и Великобритании» . Экономический журнал . 122 (564): Ф385–Ф414. дои : 10.1111/j.1468-0297.2012.02554.x . ISSN 0013-0133 . S2CID 153927550 .

[4] Кристенсен, Йенс Х.Э.; Крогструп, Сигне (01 января 2019 г.). «Передача количественного смягчения: роль резервов центрального банка» (PDF) . Экономический журнал . 129 (617): 249–272. дои : 10.1111/ecoj.12600 . ISSN 0013-0133 . S2CID 167553886 .

[5] Нельсон, Чарльз Р.; Сигел, Эндрю Ф. (1987). «Экономное моделирование кривых доходности». Журнал бизнеса . 60 (4): 473–489. дои : 10.1086/296409 . ISSN 0021-9398 . JSTOR 2352957 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]