Марковский переключающий мультифрактал

В финансовой эконометрике (применении статистических методов к экономическим данным) мультифрактал с марковским переключением (MSM) представляет собой модель доходности активов, разработанную Лораном Э. Кальве и Адлаем Дж. Фишером, которая включает стохастической волатильности компоненты разнородной продолжительности . ^[1]^[2] MSM фиксирует выбросы , подобное логарифмической памяти , постоянство волатильности , и степенные изменения финансовых доходов . В рядах валют и акций MSM выгодно отличается от стандартных моделей волатильности, таких как GARCH(1,1) и FigARCH, как в выборке, так и вне выборки. MSM используется практиками финансовой отрасли для прогнозирования волатильности , расчета стоимости, подверженной риску , и ценовых деривативов .

Спецификация MSM [ править ]

Модель MSM может быть задана как в дискретном, так и в непрерывном времени.

Дискретное время [ править ]

Позволять $P_{t}$ обозначим цену финансового актива, и пусть $r_{t}=\ln(P_{t}/P_{t-1})$ обозначают доходность за два последовательных периода. В MSM доходность определяется как

r_{t}=\mu +{\bar {\sigma }}(M_{1,t}M_{2,t}...M_{{\bar {k}},t})^{1/2}\epsilon _{t},

где $\mu$ и $\sigma$ являются константами и { $\epsilon _{t}$ } являются независимыми стандартными гауссианами. Волатильность определяется вектором скрытого состояния Маркова первого порядка:

M_{t}=(M_{1,t}M_{2,t}\dots M_{{\bar {k}},t})\in R_{+}^{\bar {k}}.

Учитывая состояние волатильности $M_{t}$ , множитель следующего периода $M_{k,t+1}$ извлекается из фиксированного распределения $M$ с вероятностью $\gamma _{k}$ , а в остальном остается неизменным.

$M_{k,t}$ взято из распределения $M$	с вероятностью $\gamma _{k}$
$M_{k,t}=M_{k,t-1}$	с вероятностью $1-\gamma _{k}$

Вероятности перехода задаются формулами

\gamma _{k}=1-(1-\gamma _{1})^{(b^{k-1})}

.

Последовательность $\gamma _{k}$ приблизительно геометрический $\gamma _{k}\approx \gamma _{1}b^{k-1}$ на низкой частоте. Маргинальное распределение $M$ имеет единичное среднее, имеет положительную основу и не зависит от $k$ .

Биномиальный MSM [ править ]

В эмпирических приложениях распределение $M$ часто является дискретным распределением, которое может принимать значения $m_{0}$ или $2-m_{0}$ с равной вероятностью. Процесс возврата $r_{t}$ затем определяется параметрами $\theta =(m_{0},\mu ,{\bar {\sigma }},b,\gamma _{1})$ . Обратите внимание, что количество параметров одинаково для всех ${\bar {k}}>1$ .

Непрерывное время [ править ]

МСМ аналогично определяется в непрерывном времени. Ценовой процесс следует за диффузией:

{\frac {dP_{t}}{P_{t}}}=\mu dt+\sigma (M_{t})\,dW_{t},

где $\sigma (M_{t})={\bar {\sigma }}(M_{1,t}\dots M_{{\bar {k}},t})^{1/2}$ , $W_{t}$ является стандартным броуновским движением, а $\mu$ и ${\bar {\sigma }}$ являются константами. Каждый компонент следует динамике:

$M_{k,t}$ взято из распределения $M$	с вероятностью $\gamma _{k}dt$
$M_{k,t+dt}=M_{k,t}$	с вероятностью $1-\gamma _{k}dt$

Интенсивности изменяются геометрически в зависимости от $k$ :

\gamma _{k}=\gamma _{1}b^{k-1}.

Когда количество компонентов ${\bar {k}}$ стремится к бесконечности, МСМ с непрерывным временем сходится к мультифрактальной диффузии, пути выборки которой представляют собой континуум локальных показателей Гёльдера на любом конечном интервале времени.

форме закрытой в Вывод и вероятность

Когда $M$ имеет дискретное распределение , вектор состояния Маркова $M_{t}$ принимает конечное число значений $m^{1},...,m^{d}\in R_{+}^{\bar {k}}$ . Например, есть $d=2^{\bar {k}}$ возможные состояния в биномиальной МСМ. Марковская динамика характеризуется матрицей перехода $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq d}$ с компонентами $a_{i,j}=P\left(M_{t+1}=m^{j}|M_{t}=m^{i}\right)$ .В зависимости от состояния волатильности, доходность $r_{t}$ имеет гауссову плотность

f(r_{t}|M_{t}=m^{i})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}(m^{i})}}}\exp \left[-{\frac {(r_{t}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}(m^{i})}}\right].

Условное распределение [ править ]

форме закрытой Вероятность в

Логарифмическая функция правдоподобия имеет следующее аналитическое выражение:

\ln L(r_{1},\dots ,r_{T};\theta )=\sum _{t=1}^{T}\ln[\omega (r_{t}).(\Pi _{t-1}A)].

Максимальное правдоподобие обеспечивает достаточно точные оценки в конечных выборках. ^[2]

методы оценки Другие

Когда $M$ имеет непрерывное распределение , оценка может осуществляться с помощью смоделированного метода моментов, ^[3]^[4] или смоделировать вероятность с помощью фильтра частиц. ^[5]

Прогнозирование [ править ]

Данный $r_{1},\dots ,r_{t}$ , условное распределение вектора скрытого состояния на дату $t+n$ дается:

{\hat {\Pi }}_{t,n}=\Pi _{t}A^{n}.\,

MSM часто дает лучшие прогнозы волатильности, чем некоторые из лучших традиционных моделей, как внутри выборки, так и вне ее. Кальве и Фишер ^[2] сообщают о значительном улучшении прогнозов волатильности обменного курса на горизонте от 10 до 50 дней по сравнению с GARCH(1,1), GARCH с марковским переключением, ^[6]^[7] и дробно-интегрированный GARCH. ^[8] Люкс ^[4] получает аналогичные результаты, используя линейные предсказания.

Приложения [ править ]

подверженная риску , Множественные активы и стоимость

Распространение MSM на несколько активов обеспечивает надежную оценку стоимости риска в портфеле ценных бумаг. ^[5]

Цены на активы [ править ]

В финансовой экономике MSM использовался для анализа ценовых последствий многочастотного риска. Модели добились определенного успеха в объяснении избыточной волатильности доходности акций по сравнению с фундаментальными показателями и отрицательной асимметрии доходности акций. Они также использовались для создания мультифрактальной скачкообразной диффузии. ^[9]

Связанные подходы [ править ]

MSM — это стохастическая модель волатильности. ^[10]^[11] с произвольным числом частот. МСМ опирается на удобство моделей переключения режимов, которые были предложены в области экономики и финансов Джеймсом Д. Гамильтоном . ^[12]^[13] MSM тесно связана с мультифрактальной моделью доходности активов . ^[14] MSM улучшает комбинаторную конструкцию MMAR за счет рандомизации времени прибытия, гарантируя строго стационарный процесс. MSM предлагает формулировку мультифрактальных мер, основанную на переключении режимов, впервые предложенную Бенуа Мандельбротом . ^[15]^[16]^[17]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Кальве, Л.; Фишер, А. (2001). «Прогнозирование мультифрактальной волатильности» (PDF) . Журнал эконометрики . 105 : 27–58. дои : 10.1016/S0304-4076(01)00069-0 . S2CID 119394176 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Кальве, Ле (2004). «Как прогнозировать долгосрочную волатильность: переключение режимов и оценка мультифрактальных процессов». Журнал финансовой эконометрики . 2 : 49–83. CiteSeerX 10.1.1.536.8334 . дои : 10.1093/jjfinec/nbh003 .
^ Кальве, Лоран; Фишер, Адлай (июль 2003 г.). «Переключение режимов и оценка мультифрактальных процессов» . Рабочий документ NBER № 9839 . дои : 10.3386/w9839 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Люкс, Т. (2008). «Мультифрактальная модель доходности активов с марковским переключением». Журнал деловой и экономической статистики . 26 (2): 194–210. дои : 10.1198/073500107000000403 . S2CID 55648360 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Кальве, Ле; Фишер, Эй Джей; Томпсон, С.Б. (2006). «Движение волатильности: многочастотный подход». Журнал эконометрики . 131 (1–2): 179–215. CiteSeerX 10.1.1.331.152 . doi : 10.1016/j.jeconom.2005.01.008 .
^ Грей, Сан-Франциско (1996). «Моделирование условного распределения процентных ставок как процесса переключения режимов». Журнал финансовой экономики . 42 : 27–77. дои : 10.1016/0304-405X(96)00875-6 .
^ Клаассен, Ф. (2002). «Улучшение прогнозов волатильности GARCH с помощью переключения режимов GARCH» (PDF) . Эмпирическая экономика . 27 (2): 363–394. дои : 10.1007/s001810100100 . S2CID 29571612 .
^ Боллерслев, Т.; Оле Миккельсен, Х. (1996). «Моделирование и ценообразование длинной памяти в условиях волатильности фондового рынка». Журнал эконометрики . 73 : 151–184. дои : 10.1016/0304-4076(95)01736-4 .
^ Кальве, Лоран Э.; Фишер, Адлай Дж. (2008). Теория мультифрактальной волатильности, прогнозирование и ценообразование . Берлингтон, Массачусетс: Академическая пресса. ISBN 9780080559964 .
^ Тейлор, Стивен Дж (2008). Моделирование финансовых временных рядов (2-е изд.). Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 9789812770844 .
^ Виггинс, Дж. Б. (1987). «Значения опционов в условиях стохастической волатильности: теория и эмпирические оценки» (PDF) . Журнал финансовой экономики . 19 (2): 351–372. дои : 10.1016/0304-405X(87)90009-2 .
^ Гамильтон, доктор юридических наук (1989). «Новый подход к экономическому анализу нестационарных временных рядов и делового цикла». Эконометрика . 57 (2): 357–384. CiteSeerX 10.1.1.397.3582 . дои : 10.2307/1912559 . JSTOR 1912559 .
^ Гамильтон, Джеймс (2008). «Модели переключения режима». Новый экономический словарь Пэлгрейва (2-е изд.). Palgrave Macmillan Ltd. ISBN 9780333786765 .
^ Мандельброт, Бенуа; Фишер, Адлай; Кальве, Лоран (сентябрь 1997 г.). «Мультифрактальная модель доходности активов». Документ для обсуждения Фонда Коулза № 1164 . ССНР 78588 .
^ Мандельброт, BB (2006). «Периодическая турбулентность в самоподобных каскадах: расхождение высоких моментов и размерности носителя». Журнал механики жидкости . 62 (2): 331–358. дои : 10.1017/S0022112074000711 . S2CID 222375985 .
^ Мандельброт, Бенуа Б. (1983). Фрактальная геометрия природы (Обновленное и дополненное изд.). Нью-Йорк: Фриман. ISBN 9780716711865 .
^ Мандельброт, Бенуа Б.; Дж. М. Бергер; и др. (1999). Мультифракталы и шум 1/f: дикая самоаффинность в физике (1963–1976) (Переиздание). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк [ua]: Springer. ISBN 9780387985398 .

Внешние ссылки [ править ]

Финансовые временные ряды, мультифракталы и скрытые марковские модели

[1] Кальве, Л.; Фишер, А. (2001). «Прогнозирование мультифрактальной волатильности» (PDF) . Журнал эконометрики . 105 : 27–58. дои : 10.1016/S0304-4076(01)00069-0 . S2CID 119394176 .

[CF2004-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Кальве, Ле (2004). «Как прогнозировать долгосрочную волатильность: переключение режимов и оценка мультифрактальных процессов». Журнал финансовой эконометрики . 2 : 49–83. CiteSeerX 10.1.1.536.8334 . дои : 10.1093/jjfinec/nbh003 .

[3] Кальве, Лоран; Фишер, Адлай (июль 2003 г.). «Переключение режимов и оценка мультифрактальных процессов» . Рабочий документ NBER № 9839 . дои : 10.3386/w9839 .

[Lux_2008_194–210-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Люкс, Т. (2008). «Мультифрактальная модель доходности активов с марковским переключением». Журнал деловой и экономической статистики . 26 (2): 194–210. дои : 10.1198/073500107000000403 . S2CID 55648360 .

[Calvet_2006_179–215-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Кальве, Ле; Фишер, Эй Джей; Томпсон, С.Б. (2006). «Движение волатильности: многочастотный подход». Журнал эконометрики . 131 (1–2): 179–215. CiteSeerX 10.1.1.331.152 . doi : 10.1016/j.jeconom.2005.01.008 .

[6] Грей, Сан-Франциско (1996). «Моделирование условного распределения процентных ставок как процесса переключения режимов». Журнал финансовой экономики . 42 : 27–77. дои : 10.1016/0304-405X(96)00875-6 .

[7] Клаассен, Ф. (2002). «Улучшение прогнозов волатильности GARCH с помощью переключения режимов GARCH» (PDF) . Эмпирическая экономика . 27 (2): 363–394. дои : 10.1007/s001810100100 . S2CID 29571612 .

[8] Боллерслев, Т.; Оле Миккельсен, Х. (1996). «Моделирование и ценообразование длинной памяти в условиях волатильности фондового рынка». Журнал эконометрики . 73 : 151–184. дои : 10.1016/0304-4076(95)01736-4 .

[9] Кальве, Лоран Э.; Фишер, Адлай Дж. (2008). Теория мультифрактальной волатильности, прогнозирование и ценообразование . Берлингтон, Массачусетс: Академическая пресса. ISBN 9780080559964 .

[10] Тейлор, Стивен Дж (2008). Моделирование финансовых временных рядов (2-е изд.). Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 9789812770844 .

[11] Виггинс, Дж. Б. (1987). «Значения опционов в условиях стохастической волатильности: теория и эмпирические оценки» (PDF) . Журнал финансовой экономики . 19 (2): 351–372. дои : 10.1016/0304-405X(87)90009-2 .

[12] Гамильтон, доктор юридических наук (1989). «Новый подход к экономическому анализу нестационарных временных рядов и делового цикла». Эконометрика . 57 (2): 357–384. CiteSeerX 10.1.1.397.3582 . дои : 10.2307/1912559 . JSTOR 1912559 .

[13] Гамильтон, Джеймс (2008). «Модели переключения режима». Новый экономический словарь Пэлгрейва (2-е изд.). Palgrave Macmillan Ltd. ISBN 9780333786765 .

[14] Мандельброт, Бенуа; Фишер, Адлай; Кальве, Лоран (сентябрь 1997 г.). «Мультифрактальная модель доходности активов». Документ для обсуждения Фонда Коулза № 1164 . ССНР 78588 .

[15] Мандельброт, BB (2006). «Периодическая турбулентность в самоподобных каскадах: расхождение высоких моментов и размерности носителя». Журнал механики жидкости . 62 (2): 331–358. дои : 10.1017/S0022112074000711 . S2CID 222375985 .

[16] Мандельброт, Бенуа Б. (1983). Фрактальная геометрия природы (Обновленное и дополненное изд.). Нью-Йорк: Фриман. ISBN 9780716711865 .

[17] Мандельброт, Бенуа Б.; Дж. М. Бергер; и др. (1999). Мультифракталы и шум 1/f: дикая самоаффинность в физике (1963–1976) (Переиздание). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк [ua]: Springer. ISBN 9780387985398 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]