соотношение омега

Коэффициент Омега — это показатель эффективности риска и доходности инвестиционного актива, портфеля или стратегии. Он был разработан Коном Китингом и Уильямом Ф. Шедвиком в 2002 году и определяется как взвешенное по вероятности соотношение прибылей и убытков для некоторого порогового целевого показателя доходности. Коэффициент является альтернативой широко используемому коэффициенту Шарпа и основан на информации, которую коэффициент Шарпа отбрасывает.

Омега рассчитывается путем создания раздела в распределении совокупной доходности, чтобы создать область потерь и область прибыли относительно этого порога.

Коэффициент рассчитывается как:

$\Omega (\theta )={\frac {\int _{\theta }^{\infty }[1-F(r)]\,dr}{\int _{-\infty }^{\theta }F(r)\,dr}},$

где $F$ - кумулятивная функция распределения вероятностей доходности и $\theta$ — это целевой порог доходности, определяющий, что считать прибылью, а что — убытком. Более высокий коэффициент указывает на то, что актив обеспечивает большую прибыль по сравнению с потерями для некоторого порогового значения. $\theta$ и поэтому будет предпочтительнее для инвестора. Когда $\theta$ установлено равным нулю, отношение выигрыша к потерям по Бернардо и Ледуа возникает как особый случай.

Сравнения можно провести с широко используемым коэффициентом Шарпа , который учитывает соотношение доходности и волатильности. Коэффициент Шарпа учитывает только первые два момента распределения доходности, тогда как коэффициент Омеги по своей конструкции учитывает все моменты.

Оптимизация соотношения Омега

Стандартная форма коэффициента Омега представляет собой невыпуклую функцию, но преобразованную версию можно оптимизировать с помощью линейного программирования . Начнем с того, что Капсос и др. показать, что коэффициент Омега портфеля равен:

$$\Omega (\theta )={w^{T}\operatorname {E} (r)-\theta \over {\operatorname {E} [(\theta -w^{T}r)_{+}]}}+1$$

Если мы заинтересованы в максимизации коэффициента Омега, то соответствующая задача оптимизации, которую необходимо решить, следующая:

$$\max _{w}{w^{T}\operatorname {E} (r)-\theta \over {\operatorname {E} [(\theta -w^{T}r)_{+}]}},\quad {\text{s.t. }}w^{T}\operatorname {E} (r)\geq \theta ,\;w^{T}{\bf {1}}=1,\;w\geq 0$$

Целевая функция по-прежнему невыпуклая, поэтому нам придется внести еще несколько модификаций. Во-первых, отметим, что дискретный аналог целевой функции:

$${w^{T}\operatorname {E} (r)-\theta \over {\sum _{j}p_{j}(\theta -w^{T}r)_{+}}}$$

Для $m$ выборочная доходность классов активов, пусть $u_{j}=(\theta -w^{T}r_{j})_{+}$ и $p_{j}=m^{-1}$. Тогда дискретная целевая функция принимает вид:

$${w^{T}\operatorname {E} (r)-\theta \over {m^{-1}{\bf {1}}^{T}u}}\propto {w^{T}\operatorname {E} (r)-\theta \over {{\bf {1}}^{T}u}}$$

С помощью этих замен мы смогли преобразовать задачу невыпуклой оптимизации в пример дробно-линейного программирования . Предполагая, что допустимая область непуста и ограничена, можно преобразовать дробно-линейную программу в линейную программу. Преобразование дробно-линейной программы в линейную дает нам окончательную форму задачи оптимизации соотношения Омега:

$${\begin{aligned}\max _{y,q,z}{}&y^{T}\operatorname {E} (r)-\theta z\\{\text{s.t. }}&y^{T}\operatorname {E} (r)\geq \theta z,\;q^{T}{\bf {1}}=1,\;y^{T}{\bf {1}}=z\\&q_{j}\geq \theta z-y^{T}r_{j},\;q,z\geq 0,\;z{\mathcal {L}}\leq y\leq z{\mathcal {U}}\end{aligned}}$$

где ${\mathcal {L}},\;{\mathcal {U}}$ — соответствующие нижняя и верхняя границы весов портфеля. Чтобы восстановить веса портфеля, нормализуйте значения $y$ так что их сумма равна 1.

См. также

• Современная теория портфеля
• Постмодернистская теория портфеля
• Коэффициент Шарпа
• Коэффициент Сортино
• Потенциал роста

Внешние ссылки

• Насколько хороша инвестиция в недвижимость?
• «Показатель Omega: лучший подход к измерению эффективности инвестиций» (PDF) (пресс-релиз). Калифорния : Пропертини.