Сложные проценты

Эффективные процентные ставки

Эффект получения 20% годовых процентов на первоначальные инвестиции в размере 1000 долларов США и различную частоту начисления сложных процентов

Сложные проценты — это проценты , накопленные из основной суммы и ранее накопленных процентов. Это результат реинвестирования или удержания процентов, которые в противном случае были бы выплачены, или накопления долгов заемщика.

Сложные проценты противопоставляются простым процентам , где ранее накопленные проценты не добавляются к основной сумме текущего периода. Сложные проценты зависят от применяемой простой процентной ставки и частоты начисления сложных процентов.

Частота начисления процентов

Частота начисления процентов – это количество раз в единицу времени, когда накопленные проценты капитализируются на регулярной основе. Периодичность может быть ежегодной, полугодовой, ежеквартальной, ежемесячной, еженедельной, ежедневной, непрерывной или не осуществляться вообще до погашения.

Например, ежемесячная капитализация с процентами, выраженными в виде годовой ставки, означает, что частота начисления сложных процентов равна 12, а периоды времени измеряются в месяцах.

Годовая

Чтобы помочь потребителям более справедливо и легко сравнивать розничные финансовые продукты, многие страны требуют, чтобы финансовые учреждения раскрывали годовую сложную процентную ставку по депозитам или авансам на сопоставимой основе. Процентная ставка в годовом эквиваленте на разных рынках может называться по-разному: эффективная годовая процентная ставка (EAPR), годовая эквивалентная ставка (AER), эффективная процентная ставка , эффективная годовая ставка , годовая процентная доходность и другие термины. Эффективная годовая ставка представляет собой общую сумму накопленных процентов, подлежащих выплате до конца одного года, разделенную на основную сумму долга. Эти ставки обычно представляют собой годовую сложную процентную ставку вместе с расходами, отличными от процентов, такими как налоги и другие сборы.

Примеры

Сложные проценты в размере 15% на первоначальные инвестиции в размере 10 000 долларов США на срок более 40 лет.

Годовые дивиденды в размере 1,5% от первоначальных инвестиций в размере 10 000 долларов США.
Общая сумма дивидендов за 40 лет составила 266 864 доллара США.
Дивиденды не были реинвестированы в этом сценарии.

Инфляция усугублялась на протяжении 40 лет с разными темпами

  8%

  7%

  6%

  5%

  4%

  3%

  2%

  1%

• Проценты по корпоративным облигациям и государственным облигациям обычно выплачиваются два раза в год. Сумма процентов, выплачиваемых каждые шесть месяцев, представляет собой раскрытую процентную ставку, разделенную на два и умноженную на основную сумму долга. Годовая сложная ставка выше заявленной ставки.
• Канадские ипотечные кредиты обычно выплачиваются раз в полгода с ежемесячными или более частыми выплатами.
• Ипотечные кредиты в США используют амортизируемый кредит , а не сложные проценты. Для этих кредитов график амортизации используется для определения того, как применять платежи к основной сумме и процентам. Проценты, полученные по этим кредитам, не добавляются к основной сумме, а выплачиваются ежемесячно по мере поступления платежей.
• Иногда математически проще, например, при оценке деривативов , использовать непрерывное начисление процентов. Непрерывное начисление сложных процентов при ценообразовании на эти инструменты является естественным следствием исчисления Ито , согласно которому производные финансовые инструменты оцениваются с постоянно возрастающей частотой, пока не будет достигнут предел и производные финансовые инструменты будут оцениваться в непрерывном времени.

История

Дополнительная информация: Интерес § История.

Сложные проценты, взимаемые кредиторами, когда-то считались худшим видом ростовщичества и строго осуждались римским правом и общими законами многих других стран.

Флорентийский купец Франческо Бальдуччи Пеголотти привел таблицу сложных процентов в своей книге Pratica della mercatura примерно за 1340 год. Она дает проценты на 100 лир по ставке от 1% до 8% на срок до 20 лет. « Сумме арифметики» В Луки Пачоли (1494 г.) приводится правило 72 , в котором говорится, что для того, чтобы найти количество лет, в течение которых инвестиции под сложные проценты удвоятся, нужно разделить процентную ставку на 72.

Ричарда Уитта Книга «Арифметические вопросы» , опубликованная в 1613 году, стала важной вехой в истории сложных процентов. Он был полностью посвящен этой теме (ранее называвшейся анатоцизмом ), тогда как предыдущие авторы обычно кратко рассматривали сложные проценты всего в одной главе учебника по математике. В книге Витта приведены таблицы, основанные на 10% (максимальная процентная ставка, допустимая по кредитам) и других ставках для различных целей, таких как оценка аренды недвижимости. Витт был лондонским практикующим математиком, и его книга отличалась ясностью выражения, глубиной понимания и точностью расчетов и содержала 124 рабочих примера.

Якоб Бернулли открыл постоянную $e$ в 1683 году, изучая вопрос о сложных процентах.

В 19 веке, а возможно, и раньше, персидские купцы использовали слегка модифицированную линейную аппроксимацию Тейлора для формулы ежемесячного платежа, которую можно было легко вычислить в уме. В наше время предполагаемая цитата Альберта Эйнштейна о сложных процентах звучит правдоподобно. «Тот, кто это понимает, зарабатывает; тот, кто не платит».

Расчет

См. Также: Временная стоимость денег и проценты § Расчет.

Периодическое начисление процентов

Общая накопленная стоимость, включая основную сумму $P$ плюс сложные проценты $I$, определяется формулой:

$$A=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$$

где:

• А – конечная сумма
• P — исходная основная сумма
• r - номинальная годовая процентная ставка
• n - частота начисления процентов
• t — общая продолжительность применения процентов (выраженная в тех же единицах времени, что и r , обычно в годах).

Общая сумма начисленных сложных процентов представляет собой конечную стоимость за вычетом первоначальной основной суммы долга:

$$I=P\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}-P$$

Функция накопления

Поскольку основной P — это просто коэффициент, его часто опускаются для простоты и полученная функция накопления вместо него используется . Функция накопления показывает, до какой суммы вырастет 1 доллар через любой промежуток времени. Функция накопления сложных процентов:

$$a(t)=\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{nt}$$

Непрерывное начисление процентов

См. Также: Логарифмический возврат

Когда количество периодов начисления сложных процентов в году увеличивается неограниченно, происходит непрерывное начисление процентов, и в этом случае эффективная годовая ставка приближается к верхнему пределу e. ^р − 1 . Непрерывное начисление процентов можно рассматривать как достижение бесконечно малого периода начисления процентов, что достигается путем достижения предела , когда n стремится к бесконечности . Сумма после t периодов непрерывного начисления процентов может быть выражена через начальную сумму P ₀ как:

$$P(t)=P_{0}e^{rt}.$$

Сила интереса

По количеству периодов начисления процентов $n$ стремится к бесконечности при непрерывном начислении процентов, непрерывная сложная процентная ставка называется силой процента $\delta$. Для любой непрерывно дифференцируемой функции накопления a(t) процентная сила или, в более общем смысле, логарифмическая или непрерывно усугубляемая прибыль является функцией времени следующим образом:

$$\delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln a(t)$$

Это логарифмическая производная функции накопления.

Наоборот:

$$a(t)=e^{\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds}\,,$$

(С $a(0)=1$, это можно рассматривать как частный случай интеграла произведения .)

Когда приведенная выше формула записана в формате дифференциального уравнения, тогда интересующая сила представляет собой просто коэффициент величины изменения:

$$da(t)=\delta _{t}a(t)\,dt$$

Для сложных процентов с постоянной годовой процентной ставкой r сила процентов является постоянной, а функция накопления сложных процентов с точки зрения силы процентов представляет собой простую степень e :

$$\delta =\ln(1+r)$$

или

$$a(t)=e^{t\delta }$$

Сила процента меньше годовой эффективной процентной ставки, но больше годовой эффективной ставки дисконтирования . Это обратное время электронного складывания .

Способ моделирования силы инфляции заключается в использовании формулы Студли: $\delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}$ где p , r и s оцениваются.

Основа компаундирования

См. также: Соглашение о подсчете дней.

Преобразовать процентную ставку из одного метода начисления процентов в другой метод начисления сложных процентов так, чтобы

$$\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{n_{1}}=\left(1+{\frac {r_{2}}{n_{2}}}\right)^{n_{2}}$$

использовать

$$r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]{n_{2}},$$

где r ₁ представляет собой процентную ставку с частотой начисления процентов n ₁ , а r ₂ представляет собой процентную ставку с частотой начисления сложных процентов n ₂ .

Если проценты постоянно начисляются , используйте

$$\delta =n\ln {\left(1+{\frac {r}{n}}\right)},$$

где $\delta$ - процентная ставка на основе непрерывного начисления процентов, и r — заявленная процентная ставка с частотой начисления процентов n .

Ежемесячные выплаты по амортизированному кредиту или ипотеке

См. также: Ипотечный калькулятор § Формула ежемесячного платежа.

Проценты по кредитам и ипотечным кредитам, которые амортизируются, то есть имеют плавный ежемесячный платеж до тех пор, пока кредит не будет погашен, часто начисляются ежемесячно. Формула платежей находится из следующего рассуждения.

Точная формула ежемесячного платежа

Точная формула ежемесячного платежа ( $c$) является

$$c={\frac {rP}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}$$

или эквивалентно

$$c={\frac {rP}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}$$

где:

• $c$ = ежемесячный платеж
• $P$ = принципал
• $r$ = ежемесячная процентная ставка
• $n$ = количество периодов оплаты

Формула электронной таблицы

В электронных таблицах PMT() используется функция . Синтаксис:

PMT(interest_rate, number_payments, present_value, future_value, [Type])

Примерная формула ежемесячного платежа

Формулу с точностью до нескольких процентов можно найти, если учесть, что для типичных ставок банкнот США ( $I<8\%$ и условия $T$=10–30 лет), ежемесячная ставка банкнот мала по сравнению с 1. $r<<1$ так что $\ln(1+r)\approx r$ что приводит к упрощению:

$$c\approx {\frac {Pr}{1-e^{-nr}}}={\frac {P}{n}}{\frac {nr}{1-e^{-nr}}}$$

который предлагает определить вспомогательные переменные

$$Y\equiv nr=IT$$

$$c_{0}\equiv {\frac {P}{n}}.$$

Здесь $c_{0}$ ежемесячный платеж, необходимый для погашения беспроцентного кредита в $n$ рассрочка. В терминах этих переменных приближение можно записать ${\textstyle c\approx c_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}}}$.

Позволять ${\textstyle X={\frac {1}{2}}Y}$. Расширение ${\textstyle c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}\right)}$ действительно для более чем 1% при условии $X\leq 1$.

Пример выплаты по ипотеке

Для ипотеки в размере 120 000 долларов США сроком на 30 лет и процентной ставкой 4,5% с ежемесячной выплатой мы находим:

$$T=30$$

$$I=0.045$$

$$c_{0}={\frac {\$120,000}{360}}=\$333.33$$

что дает

$$X={\frac {1}{2}}IT=.675$$

так что

$$c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)=\$333.33(1+.675+.675^{2}/3)=\$608.96$$

Точная сумма платежа $c=\$608.02$ таким образом, приближение является завышением примерно на шестую процента.

Ежемесячные депозиты

Учитывая основной депозит и повторяющийся депозит, общий доход от инвестиций можно рассчитать через сложные проценты, полученные за единицу времени. При необходимости проценты по дополнительным единоразовым и периодическим депозитам также можно определить по той же формуле (см. ниже).

• $P$ = основной депозит
• $r$ = доходность (ежемесячно)
• $M$ = ежемесячный депозит, и
• $t$ = время, в месяцах

Сложные проценты по каждому вкладу составляют:

$$M'=M(1+r)^{t}$$

Добавление всех повторяющихся депозитов за общий период t (i начинается с 0, если депозиты начинаются с инвестирования основной суммы; i начинается с 1, если депозиты начинаются в следующем месяце):

$$M'=\sum _{i=0}^{t-1}{M(1+r)^{t-i}}$$

Знакомство с геометрическим рядом : $M'=M\sum _{i=0}^{t-1}(1+r)^{t}{\frac {1}{(1+r)^{i}}}$ и применяя формулу закрытой формы (обычное соотношение: $1/(1+r)$):

$$P'=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}$$

Если имеются два или более типа вкладов (повторяющиеся или разовые), совокупная заработанная стоимость может быть представлена ​​как

$${\text{Value}}=M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}+k{\frac {(1+r)^{t-x}-1}{r}}+C(1+r)^{t-y}$$

где C — каждая единовременная сумма, а k — неежемесячные депозиты соответственно, а x и y — разница во времени между новым депозитом и общим периодом t моделирования.

Практическая оценка обратного расчета нормы прибыли , когда точная дата и сумма каждого регулярного депозита не известны, формула, которая предполагает единый повторяющийся ежемесячный депозит в течение периода, выглядит следующим образом:

$$r=\left({\frac {P'-P-\sum {M}}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}$$

или

$$r=\left({\frac {P'-\sum {M}/2}{P+\sum {M}/2}}\right)^{1/t}-1$$

См. также

• Проценты по кредитной карте
• Экспоненциальный рост
• Уравнение Фишера
• Интерес
• Процентная ставка
• Доходность
• Окупаемость инвестиций
• Реальная и номинальная стоимость (экономика)
• Кривая доходности