Символ Леви-Чивита

Не путать с соединением Леви-Чивита .

См. Исчисление Риччи , Обозначение Эйнштейна и Повышение и понижение индексов для обозначения индекса, используемого в статье.

В математике , особенно в линейной алгебре , тензорном анализе и дифференциальной геометрии , символ Леви-Чивита или эпсилон Леви-Чивита представляет собой набор чисел; определяется знаком перестановки натуральных чисел 1, 2, ..., n для некоторого натурального числа n . Назван в честь итальянского математика и физика Туллио Леви-Чивита . Другие названия включают перестановки символ , антисимметричный символ или альтернативный символ , которые относятся к его антисимметричному свойству и определению в терминах перестановок.

Стандартными буквами для обозначения символа Леви-Чивита являются греческие строчные эпсилон ε или ϵ или, реже, латинские строчные буквы e . Обозначение индекса позволяет отображать перестановки способом, совместимым с тензорным анализом:

$$\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$$

где каждый индекс i ₁ , i ₂ , ..., принимает _in значения 1, 2, ..., n . Нет ​ ^н индексированные значения ε _{i 1 i 2 ... i n} , которые можно упорядочить в n -мерный массив. Ключевое определяющее свойство символа — полная антисимметрия индексов. Когда любые два индекса меняются местами, равны они или нет, символ инвертируется:

$$\varepsilon _{\dots i_{p}\dots i_{q}\dots }=-\varepsilon _{\dots i_{q}\dots i_{p}\dots }.$$

Если любые два индекса равны, символ равен нулю. Когда все индексы неравны, мы имеем:

$$\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}=(-1)^{p}\varepsilon _{1\,2\,\dots n},$$

где p (называемая четностью перестановки) — количество попарных перестановок индексов, необходимых для расшифровки i ₁ , i ₂ , ..., in _n в порядок 1, 2, ..., n , и множитель ( −1) ^п называется знаком или сигнатурой перестановки. Значение ε _{1 2 ... n} должно быть определено, иначе конкретные значения символа для всех перестановок будут неопределенными. Большинство авторов выбирают ε _{1 2 ... n} = +1 , что означает, что символ Леви-Чивита равен знаку перестановки, когда все индексы неравны. Этот выбор используется на протяжении всей статьи.

Термин « n -мерный символ Леви-Чивита» относится к тому факту, что количество индексов символа n соответствует размерности евклидовым или рассматриваемого векторного пространства, которое может быть неевклидовым , например , $\mathbb {R} ^{3}$или пространство Минковского . Значения символа Леви-Чивита не зависят от какого-либо метрического тензора и системы координат . Кроме того, специальный термин «символ» подчеркивает, что это не тензор из-за того, как он преобразуется между системами координат; однако ее можно интерпретировать как тензорную плотность .

Символ Леви-Чивита позволяет выразить определитель квадратной матрицы и векторное произведение двух векторов в трехмерном евклидовом пространстве в обозначениях индекса Эйнштейна .

Определение

Символ Леви-Чивита чаще всего используется в трёх и четырёх измерениях и в некоторой степени в двух измерениях, поэтому они приводятся здесь перед определением общего случая.

Два измерения

В двух измерениях символ Леви-Чивита определяется:

$$\varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{if }}(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{if }}i=j\end{cases}}$$

Значения можно сгруппировать в антисимметричную матрицу 2 × 2 :

$${\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$$

Использование двумерного символа распространено в конденсированной среде, а также в некоторых специализированных темах, связанных с высокими энергиями, таких как суперсимметрия. и твисторная теория , где оно появляется в контексте 2- спиноров .

Три измерения

Для индексов ( i , j , k ) в ε _ijk значения 1, 2, 3, встречающиеся в   циклический порядок (1, 2, 3) соответствует ε = +1 , а встречается в   обратный циклический порядок соответствует ε = −1 , в противном случае ε = 0 .

В трех измерениях символ Леви-Чивита определяется:

$$\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j,k){\text{ is }}(1,2,3),(2,3,1),{\text{ or }}(3,1,2),\\-1&{\text{if }}(i,j,k){\text{ is }}(3,2,1),(1,3,2),{\text{ or }}(2,1,3),\\\;\;\,0&{\text{if }}i=j,{\text{ or }}j=k,{\text{ or }}k=i\end{cases}}$$

То есть ε _ijk равен 1, если ( i , j , k ) является четной перестановкой ( 1, 2, 3) , −1, если это нечетная перестановка , и 0, если какой-либо индекс повторяется. Только в трех измерениях все перестановки циклические (1, 2, 3) являются четными перестановками, аналогично все антициклические перестановки являются нечетными перестановками. Это означает, что в 3d достаточно взять циклические или антициклические перестановки (1, 2, 3) и легко получить все четные или нечетные перестановки.

Аналогично двумерным матрицам значения трехмерного символа Леви-Чивита можно упорядочить в массив 3×3×3 :

где я - глубина ( синий : я = 1 ; красный : я = 2 ; зеленый : i = 3 ), j — строка, k — столбец.

Некоторые примеры:

$${\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=0\end{aligned}}$$

Четыре измерения

В четырех измерениях символ Леви-Чивита определяется:

$$\varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(i,j,k,l){\text{ is an even permutation of }}(1,2,3,4)\\-1&{\text{if }}(i,j,k,l){\text{ is an odd permutation of }}(1,2,3,4)\\\;\;\,0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$

Эти значения можно упорядочить в массив 4×4×4×4 , хотя в 4 измерениях и выше это сложно нарисовать.

Некоторые примеры:

$${\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}})=1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}=-\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}&=0\end{aligned}}$$

Обобщение до n измерений

В более общем смысле, в n измерениях символ Леви-Чивита определяется следующим образом:

$$\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}={\begin{cases}+1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an even permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\-1&{\text{if }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ is an odd permutation of }}(1,2,3,\dots ,n)\\\;\;\,0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$

Таким образом, это знак перестановки в случае перестановки и ноль в противном случае.

Используя обозначение пи с заглавной буквы Π для обычного умножения чисел, явное выражение для символа будет следующим:

$${\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\dotsm \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1})\end{aligned}}$$

где функция Signum (обозначенная sgn ) возвращает знак своего аргумента, отбрасывая при этом абсолютное значение , если оно не равно нулю. Формула действительна для всех значений индекса и для любого n (когда n = 0 или n = 1 , это пустое произведение ). Однако простое вычисление приведенной выше формулы имеет временную сложность O ( n ² ) , тогда как знак можно вычислить по четности перестановки из ее непересекающихся циклов всего за O( n log( n )) стоимость.

Свойства

Тензор, компоненты которого в ортонормированном базисе задаются символом Леви-Чивита (тензор ковариантного ранга n ), иногда называют тензором перестановок .

Согласно обычным правилам преобразования тензоров, символ Леви-Чивита не изменяется при чистом вращении, что согласуется с тем, что он (по определению) один и тот же во всех системах координат, связанных ортогональными преобразованиями. Однако символ Леви-Чивита является псевдотензором , поскольку при ортогональном преобразовании определителя Якобиана −1, например, при отражении в нечетном числе измерений, он должен был бы приобрести знак минус, если бы был тензором. Поскольку он вообще не меняется, символ Леви-Чивита по определению является псевдотензором.

Поскольку символ Леви-Чивита является псевдотензором, результатом векторного произведения является псевдовектор , а не вектор.

При общем изменении координат компоненты тензора перестановки умножаются на якобиан преобразования матрицы . Это означает, что в системах координат, отличных от той, в которой был определен тензор, его компоненты могут отличаться от компонентов символа Леви-Чивита в общий коэффициент. Если кадр ортонормирован, коэффициент будет составлять ±1 в зависимости от того, одинакова ли ориентация кадра или нет.

В безиндексной тензорной записи символ Леви-Чивита заменяется понятием двойственности Ходжа .

Символы суммирования можно исключить, используя нотацию Эйнштейна , где индекс, повторяющийся между двумя или более членами, указывает на суммирование по этому индексу. Например,

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}\equiv \sum _{i=1,2,3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}$.

В следующих примерах используются обозначения Эйнштейна.

Два измерения

В двух измерениях, когда все i , j , m , n принимают значения 1 и 2:

$\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}={\delta _{i}}^{m}{\delta _{j}}^{n}-{\delta _{i}}^{n}{\delta _{j}}^{m}$ ( 1 )

$\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}={\delta _{j}}^{n}$ ( 2 )

$\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{ij}=2.$ ( 3 )

Три измерения

Значения индексов и символов

В трех измерениях, когда все i , j , k , m , n принимают значения 1, 2 и 3:

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{pqk}=\delta _{i}{}^{p}\delta _{j}{}^{q}-\delta _{i}{}^{q}\delta _{j}{}^{p}$ ( 4 )

$\varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=2{\delta _{j}}^{i}$ ( 5 )

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6.$ ( 6 )

Продукт

Символ Леви-Чивита связан с дельтой Кронекера . В трех измерениях связь задается следующими уравнениями (вертикальные линии обозначают определитель):

${\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\\[6pt]&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right).\end{aligned}}$

Особый случай этого результата возникает, когда один из индексов повторяется и суммируется:

$\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}$

В обозначениях Эйнштейна дублирование индекса i подразумевает сумму по i . Предыдущее тогда обозначается ε _ijk ε _imn = δ _jm δ _kn − δ _jn δ _km .

Если два индекса повторяются (и суммируются), это дополнительно сводится к:

$\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}$

n измерений

Значения индексов и символов

В n измерениях, когда все i ₁ , ..., in _, , j ₁ ..., j _n принимают значения 1, 2, ..., n :

$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=\delta _{i_{1}\dots i_{n}}^{j_{1}\dots j_{n}}$ ( 7 )

$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}=\delta _{i_{1}\ldots i_{k}~i_{k+1}\ldots i_{n}}^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\ldots j_{n}}=k!~\delta _{i_{k+1}\dots i_{n}}^{j_{k+1}\dots j_{n}}$ ( 8 )

$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!$ ( 9 )

где восклицательный знак ( ! ) обозначает факториал , а δ ^{а ...}
_{β ...} — обобщенная дельта Кронекера . Для любого n свойство

$\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!$

следует из фактов, что

• каждая перестановка либо четная, либо нечетная,
• (+1) ² = (−1) ² = 1 и
• количество перестановок любого n набора из элементов равно ровно n ! .

Частный случай ( 8 ) с ${\textstyle k=n-2}$ является

$$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-2}jk}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n-2}lm}=(n-2)!(\delta _{j}^{l}\delta _{k}^{m}-\delta _{j}^{m}\delta _{l}^{k})\,.$$

Продукт

В общем, для n измерений произведение двух символов Леви-Чивита можно записать как:

$$\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1}}&\delta _{i_{1}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{1}j_{n}}\\\delta _{i_{2}j_{1}}&\delta _{i_{2}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{2}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1}}&\delta _{i_{n}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\\\end{vmatrix}}.$$

Доказательство: обе стороны меняют знаки при переключении двух индексов, поэтому без ограничения общности предположим $i_{1}\leq \cdots \leq i_{n},j_{1}\leq \cdots \leq j_{n}$. Если некоторые $i_{c}=i_{c+1}$тогда левая часть равна нулю, и правая сторона также равна нулю, поскольку две его строки равны. Аналогично для $j_{c}=j_{c+1}$. Наконец, если $i_{1}<\cdots <i_{n},j_{1}<\cdots <j_{n}$, то обе стороны равны 1.

Доказательства

Для ( 1 ) обе части антисимметричны относительно ij и mn . Поэтому нам нужно рассмотреть только случай i ≠ j и m ≠ n . Подстановкой видим, что уравнение справедливо для ε ₁₂ ε ¹² , то есть для i = m = 1 и j = n = 2 . (Обе стороны тогда едины). Поскольку уравнение антисимметрично относительно ij и mn , любой набор их значений можно свести к описанному выше случаю (который справедлив). Таким образом, уравнение справедливо для всех значений ij и mn .

Используя ( 1 ), мы имеем для ( 2 )

$\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}=\delta _{i}{}^{i}\delta _{j}{}^{n}-\delta _{i}{}^{n}\delta _{j}{}^{i}=2\delta _{j}{}^{n}-\delta _{j}{}^{n}=\delta _{j}{}^{n}\,.$

Здесь мы использовали соглашение Эйнштейна о суммировании, при котором i переходит от 1 к 2. Далее, ( 3 ) аналогично следует из ( 2 ).

Чтобы установить ( 5 ), обратите внимание, что обе части обращаются в нуль, когда i ≠ j . Действительно, если i ≠ j , то нельзя выбрать m и n так, чтобы оба символа перестановки слева были ненулевыми. Тогда при фиксированном i = j есть только два способа выбрать m и n из оставшихся двух индексов. Для любых таких индексов имеем

$\varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=\left(\varepsilon ^{imn}\right)^{2}=1$

(без суммирования), и результат следует.

Тогда ( 6 ) следует, поскольку 3! = 6 и для любых различных индексов i , j , k, принимающих значения 1, 2, 3 , имеем

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=1$ (без суммирования, разные i , j , k )

Приложения и примеры

Детерминанты

В линейной алгебре определитель 3 × 3 квадратной матрицы A = [ a _ij ] можно записать

$\det(\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}$

Аналогично определитель размера n × n матрицы A = [ a _ij ] можно записать как

$\det(\mathbf {A} )=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{1i_{1}}\dots a_{ni_{n}},$

где каждый i _r должен быть суммирован по 1,..., n или эквивалентно:

$\det(\mathbf {A} )={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\dots a_{i_{n}j_{n}},$

где теперь каждый i _r и каждый j _r должны быть суммированы по 1, ..., n . В более общем смысле мы имеем тождество

$\sum _{i_{1},i_{2},\dots }\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}a_{i_{1}\,j_{1}}\dots a_{i_{n}\,j_{n}}=\det(\mathbf {A} )\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}$

Векторное векторное произведение

Основная статья: перекрестное произведение

Перекрестное произведение (два вектора)

Позволять $(\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} )$ ортонормированный положительно ориентированный базис векторного пространства. Если ​ ​ ¹ , а ² , а ³ ) и ( б ¹ , б ² , б ³ ) — координаты векторов a и b в этом базисе, то их векторное произведение можно записать как определитель:

$\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a^{1}&a^{2}&a^{3}\\b^{1}&b^{2}&b^{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}a^{j}b^{k}$

следовательно, также используется символ Леви-Чивита, и проще:

$(\mathbf {a\times b} )^{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.$

В обозначениях Эйнштейна символы суммирования могут быть опущены, а i- я компонента их векторного произведения равна

$(\mathbf {a\times b} )^{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.$

Первый компонент – это

$(\mathbf {a\times b} )^{1}=a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\,,$

тогда циклическими перестановками 1, 2, 3 остальные можно получить сразу, без явного вычисления их по приведенным выше формулам:

${\begin{aligned}(\mathbf {a\times b} )^{2}&=a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\,,\\(\mathbf {a\times b} )^{3}&=a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\,.\end{aligned}}$

Тройное скалярное произведение (три вектора)

Из приведенного выше выражения для векторного произведения имеем:

$\mathbf {a\times b} =-\mathbf {b\times a}$.

Если с = ( с ¹ , с ² , с ³ ) — третий вектор, то тройное скалярное произведение равно

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}.$

Из этого выражения видно, что тройное скалярное произведение антисимметрично при обмене любой пары аргументов. Например,

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a\times c} )$.

Curl (одно векторное поле)

Если F = ( F ¹ , Ф ² , Ф ³ ) — векторное поле, определенное на некотором открытом множестве $\mathbb {R} ^{3}$ как функция положения x = ( x ¹ , Икс ² , Икс ³ ) (с использованием декартовых координат ). Тогда i- компонента ротора F равна я

$(\nabla \times \mathbf {F} )^{i}(\mathbf {x} )=\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}F^{k}(\mathbf {x} ),$

что следует из приведенного выше выражения векторного произведения, заменяющего компоненты градиента вектора оператора (набла).

Тензорная плотность

В любой произвольной криволинейной системе координат и даже при отсутствии метрики на многообразии символ Леви-Чивита, определенный выше, можно рассматривать как тензорное поле плотности двумя разными способами. Его можно рассматривать как контравариантную тензорную плотность веса +1 или как ковариантную тензорную плотность веса -1. В n измерениях с использованием обобщенной дельты Кронекера,

${\begin{aligned}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}&=\delta _{\,1\,\dots \,n}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\,\\\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}&=\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\,1\,\dots \,n}\,.\end{aligned}}$

Обратите внимание, что они численно идентичны. В частности, знак тот же.

Натяжители Levi-Civita

На псевдоримановом многообразии можно определить координатно-инвариантное ковариантное тензорное поле, координатное представление которого согласуется с символом Леви-Чивита везде, где система координат такова, что базис касательного пространства ортонормирован относительно метрики и соответствует выбранная ориентация. Этот тензор не следует путать с упомянутым выше тензором поля плотности. Презентация в этом разделе во многом повторяет Carroll 2004 .

Ковариантный тензор Леви-Чивита (также известный как риманова форма объема ) в любой системе координат, соответствующей выбранной ориентации, равен

$E_{a_{1}\dots a_{n}}={\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}\,\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}}\,,$

где g _ab — представление метрики в этой системе координат. Мы можем аналогичным образом рассмотреть контравариантный тензор Леви-Чивита, подняв индексы с помощью метрики, как обычно:

$E^{a_{1}\dots a_{n}}=E_{b_{1}\dots b_{n}}\prod _{i=1}^{n}g^{a_{i}b_{i}}={\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}\,\varepsilon ^{a_{1}\dots a_{n}}\,,$

но обратите внимание, что если метрическая сигнатура содержит нечетное число отрицательных собственных значений q , то знаки компонентов этого тензора отличаются от стандартного символа Леви-Чивита:

$E^{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {\operatorname {sgn} \left(\det[g_{ab}]\right)}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}\,\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}},$

где sn(det[g _ab ]) = (−1) ^д , $\varepsilon _{a_{1}\dots a_{n}}$ мы использовали определение метрического определителя — это обычный символ Леви-Чивита, обсуждаемый в оставшейся части этой статьи, и при выводе . Более явно, когда ориентация тензора и базиса выбрана так, что ${\textstyle E_{01\dots n}=+{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}$, у нас это есть $E^{01\dots n}={\frac {\operatorname {sgn}(\det[g_{ab}])}{\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}}$.

Из этого мы можем сделать вывод о тождестве,

$E^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}E_{\mu _{1}\dots \mu _{p}\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}=(-1)^{q}p!\delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}\,,$

где

$\delta _{\beta _{1}\dots \beta _{n-p}}^{\alpha _{1}\dots \alpha _{n-p}}=(n-p)!\delta _{\beta _{1}}^{\lbrack \alpha _{1}}\dots \delta _{\beta _{n-p}}^{\alpha _{n-p}\rbrack }$

– обобщенная дельта Кронекера.

Пример: пространство Минковского

В пространстве Минковского (четырехмерное пространство-время специальной теории относительности ) ковариантный тензор Леви-Чивита равен

$E_{\alpha \beta \gamma \delta }=\pm {\sqrt {\left|\det[g_{\mu \nu }]\right|}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\,,$

где знак зависит от ориентации базиса. Контравариантный тензор Леви-Чивита есть

$E^{\alpha \beta \gamma \delta }=g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }E_{\zeta \eta \theta \iota }\,.$

Ниже приведены примеры общего тождества, приведенного выше, специализированного для пространства Минковского (с отрицательным знаком, возникающим из-за нечетного числа отрицаний в сигнатуре метрического тензора в любом соглашении о знаках):

${\begin{aligned}E_{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \mu \nu }&=-g_{\alpha \zeta }g_{\beta \eta }g_{\gamma \theta }g_{\delta \iota }\delta _{\rho \sigma \mu \nu }^{\zeta \eta \theta \iota }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E^{\rho \sigma \mu \nu }&=-g^{\alpha \zeta }g^{\beta \eta }g^{\gamma \theta }g^{\delta \iota }\delta _{\zeta \eta \theta \iota }^{\rho \sigma \mu \nu }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\alpha \beta \gamma \delta }&=-24\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \beta \gamma \delta }&=-6\delta _{\rho }^{\alpha }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \gamma \delta }&=-2\delta _{\rho \sigma }^{\alpha \beta }\\E^{\alpha \beta \gamma \delta }E_{\rho \sigma \theta \delta }&=-\delta _{\rho \sigma \theta }^{\alpha \beta \gamma }\,.\end{aligned}}$

См. также

• Список тем перестановок
• Симметричный тензор

Ссылки

• Миснер, К.; Торн, К.С.; Уилер, Дж. А. (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 85–86, §3.5. ISBN  0-7167-0344-0 .
• Нойеншвандер, Д.Э. (2015). Тензорное исчисление по физике . Издательство Университета Джонса Хопкинса. стр. 11, 29, 95. ISBN.  978-1-4214-1565-9 .
• Кэрролл, Шон М. (2004), Пространство-время и геометрия , Аддисон-Уэсли, ISBN  0-8053-8732-3

Внешние ссылки

В эту статью включен материал из символа перестановки Леви-Чивита на сайте PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

• Вайсштейн, Эрик В. «Тензор перестановок» . Математический мир .