✖


Jump to content

арабские цифры

(Перенаправлено с арабской цифры )
Эта статья о десяти символах. Информацию о системе счисления см. в Десятичной и индийско-арабской системе счисления . Информацию о символах, используемых в арабском письме, см. в разделе «Восточно-арабские цифры» . Чтобы узнать о других значениях, см. Арабские цифры (значения) .

Числа написаны от 0 до 9
Арабские цифры, набранные Source Sans. шрифтом
Часть серии о
Системы счисления
Обозначение позиционного значения
Знаковое обозначение
Список систем счисления

Десять арабских цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 являются наиболее часто используемыми символами для записи чисел. Этот термин часто также подразумевает позиционное обозначение с использованием цифр, а также использование десятичной системы счисления, особенно в отличие от других систем, таких как римские цифры . Однако символы также используются для записи чисел в других системах счисления, например восьмеричной , а также для записи нечисловой информации, такой как товарные знаки или идентификаторы номерных знаков.

Их также называют западно-арабскими цифрами , цифрами Губара , индуистско-арабскими цифрами . [1] Западные цифры , латинские цифры или европейские цифры . [2] Оксфордский словарь английского языка различает их арабскими цифрами, написанными полностью с заглавной буквы , для обозначения восточных цифр . [3] Термин «числа» , «цифры» или «цифры» часто подразумевает только эти символы, однако это можно сделать только из контекста.

Европейцы впервые узнали об арабских цифрах примерно в 10 веке, хотя их распространение было постепенным процессом. Два столетия спустя в алжирском городе Бежайя итальянский Фибоначчи учёный столкнулся с цифрами; его работа XIII века Liber Abaci сыграла решающую роль в распространении их по всей Европе. До появления печатного станка в 15 веке использование арабских цифр в Европе ограничивалось в основном Северной Италией . [4] Европейская торговля, книги и колониализм впоследствии способствовали популяризации арабских цифр во всем мире. Цифры нашли применение во всем мире, значительно выходящее за рамки современного распространения латинского алфавита , и стали обычным явлением в системах письма, где ранее существовали другие системы счисления, такие как китайские и японские цифры.

История [ править ]

Происхождение [ править ]

Эволюция индийских цифр в арабские и их принятие в Европе.

Позиционное десятичное обозначение, включающее нулевой символ, было разработано в Индии с использованием символов, визуально отличных от тех, которые в конечном итоге войдут в международное использование. По мере распространения концепции наборы символов, используемые в разных регионах, со временем расходились.

Непосредственные предки цифр, которые сейчас обычно называют «арабскими цифрами», были завезены в Европу в 10 веке арабоязычными жителями Испании и Северной Африки, при этом цифры в то время широко использовались от Ливии до Марокко. В восточной части Аравийского полуострова арабы использовали восточно-арабские цифры или цифры «машрики»: ٠, ١, ٢, ٣, ٤, ٥, ٦, ٧, ٨, ٩ . [5]

Ан-Насави писал в начале XI века, что математики не пришли к единому мнению относительно формы цифр, но большинство из них согласились тренироваться с формами, известными сейчас как восточно-арабские цифры. [6] Самые старые образцы письменных цифр происходят из Египта и датируются 873–874 годами нашей эры. На них изображены три формы цифры «2» и две формы цифры «3», и эти вариации указывают на расхождение между тем, что позже стало известно как восточно-арабские цифры, и западно-арабскими цифрами. [7] Западные арабские цифры стали использоваться в Магрибе и Аль-Андалусе, начиная с 10 века. [8] Некоторая согласованность в формах западно-арабских цифр сохранилась с X века, обнаруженная в латинском манускрипте « Исидора Севильского » Этимологии от 976 года, и гербертианских счетах, до XII и XIII веков, в ранних рукописях переводов из города. из Толедо . [5]

Первоначально расчеты выполнялись с использованием пылезащитной доски ( тахт , латынь: tabula ), которая включала в себя написание символов стилусом и их стирание. Использование пылезащитной доски, по-видимому, также привело к расхождению в терминологии: тогда как индуистский счет назывался хисаб аль-хинди он назывался хисаб аль-губар на востоке, на западе (буквально «расчет с пылью»). . [9] Сами цифры на западе назывались ашкаль аль-губар («фигуры из пыли») или калам аль-губар («буквы из пыли»). [10] Позже Аль-Уклидиси изобрел систему вычислений с помощью чернил и бумаги «без доски и стирания» ( би-гайр тахт ва-ла махв бал би-дават ва-киртас ). [11]

Популярный миф утверждает, что символы были созданы для обозначения их числового значения посредством количества содержащихся в них углов, но современных доказательств этого нет, и этот миф трудно совместить с любыми цифрами после 4. [12]

и распространение Принятие ​

Первые арабские цифры на Западе появились в Кодексе Альбельденсис в Испании.

Первые упоминания о цифрах от 1 до 9 на Западе встречаются в Codex Vigilanus 976 года — иллюминированном сборнике различных исторических документов, охватывающих период от античности до X века в Испании . [13] Другие тексты показывают, что числа от 1 до 9 иногда дополнялись заполнителем, известным как sipos , представленным в виде круга или колеса, напоминающим возможный символ нуля . Арабское обозначение нуля — sifr ( صفر ), транслитерируется на латынь как cifra и является источником английского слова cipher .

С 980-х годов Герберт Орийакский ( впоследствии Папа Сильвестр II ) использовал свое положение для распространения знаний о цифрах в Европе. Герберт учился в Барселоне в юности . Известно, что ​​он запросил математические трактаты, касающиеся астролябии, у Люпита Барселонского . после возвращения во Францию [13]

Принятие арабских цифр на Западе было постепенным и вялым, поскольку в дополнение к старым римским цифрам распространялись и другие системы счисления. Как дисциплина, первыми, кто использовал арабские цифры в своих трудах, были астрономы и астрологи, о чем свидетельствуют рукописи, сохранившиеся в Баварии середины XII века. расчет дат Пасхи Рейнхер Падерборн (1140–1190) использовал цифры в своих календарных таблицах, чтобы упростить в своем тексте Compotus emendatus . [14]

Италия [ править ]

Страница Liber Abaci . Список справа показывает последовательность Фибоначчи : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377. 2, 8 и 9 больше напоминают арабские цифры, чем восточно-арабские. цифры или индийские цифры

Леонардо Фибоначчи был пизанским математиком, который учился в пизанской торговой колонии Буджа , на территории современного Алжира . [15] и он стремился продвигать систему счисления в Европе в своей книге 1202 года Liber Abaci :

Когда руководителем был мой отец, назначенный своей страной государственным нотариусом на таможне в Бугии, действовавшим от имени пизанских купцов, он вызвал меня к себе, когда я был еще ребенком и имел в виду полезность и полезность. будущие удобства, желали, чтобы я остался там и учился в школе бухгалтерского учета. Там, когда благодаря замечательному обучению я познакомился с искусством девяти индейских символов, знание этого искусства очень скоро понравилось мне больше всего на свете, и я пришел к его пониманию.

Liber Abaci представила огромные преимущества позиционной числовой системы и имела широкое влияние. Поскольку Фибоначчи использовал символы Беджая для цифр, эти символы также были введены в той же инструкции, что в конечном итоге привело к их широкому распространению. [16]

Введение Фибоначчи совпало с европейской торговой революцией XII и XIII веков, центром которой была Италия. Позиционная запись может использоваться для более быстрых и сложных математических операций (таких как конвертация валюты), чем римская и другие системы счисления. Они также могли обрабатывать большие числа, не требовали отдельного инструмента расчета и позволяли пользователю проверять расчеты, не повторяя всю процедуру. [16] Хотя позиционная запись открывала возможности, которые препятствовали предыдущим системам, итальянские купцы позднего Средневековья не прекращали использовать римские цифры (или другие инструменты счета). Скорее, арабские цифры стали дополнительным инструментом, который можно было использовать наряду с другими. [16]

Европа [ править ]

Страница немецкой рукописи, обучающая использованию арабских цифр ( Тальхоффер Тотт, 1459 г.). В то время знание цифр все еще считалось эзотерическим. [ нужна ссылка ] а Тальхоффер знакомит их с еврейским алфавитом и астрологией .
Таблица цифр во многих вариантах, 1757 год, автор Жан-Этьен Монтукла.

К концу XIV века за пределами Италии появилось лишь несколько текстов с использованием арабских цифр. Это говорит о том, что использование арабских цифр в коммерческой практике и предоставляемые ими значительные преимущества оставались фактической итальянской монополией до конца 15 века. [16] Частично это могло быть связано с языковым барьером: хотя « Liber Abaci » Фибоначчи была написана на латыни, итальянские традиции счетов были преимущественно написаны на итальянском языке, который циркулировал в частных коллекциях школ счетов или отдельных лиц. Вероятно, неитальянским торговым банкирам было трудно получить доступ к исчерпывающей информации.

Принятие цифр в Европе ускорилось с изобретением печатного станка , и они стали широко известны в 15 веке. Их использование неуклонно росло в других центрах финансов и торговли, таких как Лион. [17] Ранние свидетельства их использования в Британии включают: равный часовой хорарный квадрант 1396 г., [18] в Англии — надпись 1445 года на башне церкви Хитфилд , Сассекс ; надпись 1448 года на деревянных воротах церкви Брей , Беркшир ; и надпись 1487 года на двери колокольни церкви Пиддлетрентид , Дорсет ; а в Шотландии – надпись 1470 года на могиле первого графа Хантли в Элгинском соборе. [19] В Центральной Европе король Венгрии Ладислав Посмертный начал использовать арабские цифры, которые впервые появляются в королевском документе 1456 года. [20]

К середине 16 века они были широко распространены в большей части Европы. Римские цифры по-прежнему использовались в основном для обозначения лет Anno Domini («AD»), а также для чисел на циферблатах. [ нужна ссылка ] Другие цифры (например, восточно-арабские) были практически неизвестны. [ нужна ссылка ]

Россия [ править ]

До введения арабских цифр кириллические цифры , произошедшие от кириллицы , использовались южными и восточными славянами . Система использовалась в России еще в начале 18 века, хотя официально она была заменена Петром Великим в 1699 году. [21] Считается, что причины перехода Петра от буквенно-цифровой системы выходят за рамки поверхностного желания подражать Западу. Историк Питер Браун приводит аргументы в пользу социологических, милитаристских и педагогических причин таких изменений. На широком общественном уровне российские купцы, солдаты и чиновники все чаще вступали в контакт с коллегами с Запада и знакомились с общественным использованием арабских цифр. Петр также тайно путешествовал по Северной Европе с 1697 по 1698 год во время своего Великого посольства и, вероятно, в это время неофициально знакомился с западной математикой. [22] Было обнаружено, что кириллическая система плохо подходит для расчета практических кинематических величин, таких как траектории и параболические схемы полета артиллерии. С его использованием было трудно идти в ногу с арабскими цифрами в развивающейся области баллистики , тогда как западные математики, такие как Джон Нэпьер, публиковали публикации по этой теме с 1614 года. [23]

Китай [ править ]

Цифры из кости оракула китайской династии Шан , 14 век до нашей эры. [24] [25]

Числа китайской династии Шан, датируемые 14 веком до нашей эры, предшествуют индийским цифрам Брахми более чем на 1000 лет и демонстрируют существенное сходство с цифрами Брахми. Подобно современным арабским цифрам, система счисления династии Шан также была десятичной и позиционной . [26] [27]

Хотя позиционные китайские системы счисления, такие как система счетных стержней и цифры Сучжоу, использовались до введения современных арабских цифр, [28] [29] система, разработанная извне, в конечном итоге была введена в средневековый Китай народом хуэй . В начале 17 века арабские цифры в европейском стиле были введены испанскими и португальскими иезуитами . [30] [31] [32]

Кодировка [ править ]

Десять арабских цифр закодированы практически во всех наборах символов, предназначенных для электрической, радио- и цифровой связи, например, в коде Морзе . Они закодированы в ASCII (и, следовательно, в Unicode) . кодировках [33] ) в позициях от 0x30 до 0x39. Маскирование всех двоичных цифр, кроме четырех наименее значащих, дает значение десятичной цифры - дизайнерское решение, облегчающее оцифровку текста на ранних компьютерах. EBCDIC использовал другое смещение, но также обладал вышеупомянутым свойством маскировки.

ASCII Юникод EBCDIC
шестигранник
двоичный восьмеричный десятичный шестигранник
0 0011 0000 060 48 30 U + 0030 ЦИФРА НОЛЬ Ф0
1 0011 0001 061 49 31 U + 0031 ЦИФРА ОДИН Ф1
2 0011 0010 062 50 32 U + 0032 ЦИФРА ДВА Ф2
3 0011 0011 063 51 33 U + 0033 ЦИФРА ТРИ F3
4 0011 0100 064 52 34 U + 0034 ЦИФРА ЧЕТЫРЕ F4
5 0011 0101 065 53 35 U + 0035 ЦИФРА ПЯТЬ F5
6 0011 0110 066 54 36 U + 0036 ЦИФРА ШЕСТЬ F6
7 0011 0111 067 55 37 U + 0037 ЦИФРА СЕМЬ F7
8 0011 1000 070 56 38 U + 0038 ЦИФРА ВОСЕМЬ F8
9 0011 1001 071 57 39 U + 0039 ЦИФРА ДЕВЯТЬ F9

Сравнение с другими цифрами [ править ]

Обзор систем счисления
Символ Используется со скриптами Цифры
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Латиница , кириллица , греческий и глобально арабские цифры
٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ Восточный арабский Восточные арабские цифры
۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ персидский , пушту
۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ Урду / Шахмукхи
𑁦 𑁧 𑁨 𑁩 𑁪 𑁫 𑁬 𑁭 𑁮 𑁯 Брахми Цифры Брахми
० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९ Деванагари Цифры Деванагари
০ ১ ২ ৩ ৪ ৫ ৬ ৭ ৮ ৯ Бенгальско-ассамский Бенгальские цифры
੦ ੧ ੨ ੩ ੪ ੫ ੬ ੭ ੮ ੯ Гурмухи Числа Гурмухи
૦ ૧ ૨ ૩ ૪ ૫ ૬ ૭ ૮ ૯ Гуджарати Гуджаратские цифры
୦ ୧ ୨ ୩ ୪ ୫ ୬ ୭ ୮ ୯ Одия Цифры Одиа
᱐ ᱑ ᱒ ᱓ ᱔ ᱕ ᱖ ᱗ ᱘ ᱙ Сантали цифры Сантали
𑇐 𑇑 𑇒 𑇓 𑇔 𑇕 𑇖 𑇗 𑇘 𑇙 Шарада Числа Шарады
௦ ௧ ௨ ௩ ௪ ௫ ௬ ௭ ௮ ௯ тамильский Тамильские цифры
౦ ౧ ౨ ౩ ౪ ౫ ౬ ౭ ౮ ౯ телугу Сценарий телугу § Цифры
೦ ೧ ೨ ೩ ೪ ೫ ೬ ೭ ೮ ೯ Каннада Каннада сценарий § Цифры
൦ ൧ ൨ ൩ ൪ ൫ ൬ ൭ ൮ ൯ малаялам Малаяламские цифры
෦ ෧ ෨ ෩ ෪ ෫ ෬ ෭ ෮ ෯ сингальский Сингальские цифры
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 бирманский Бирманские цифры
༠ ༡ ༢ ༣ ༤ ༥ ༦ ༧ ༨ ༩ тибетский Тибетские цифры
᠐ ᠑ ᠒ ᠓ ᠔ ᠕ ᠖ ᠗ ᠘ ᠙ Монгольский Монгольские цифры
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 кхмерский Кхмерские цифры
๐ ๑ ๒ ๓ ๔ ๕ ๖ ๗ ๘ ๙ тайский Тайские цифры
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 туберкулез Лаосское письмо § Цифры
᮰ ᮱ ᮲ ᮳ ᮴ ᮵ ᮶ ᮷ ᮸ ᮹ суданский Суданские цифры
꧐ ꧑ ꧒ ꧓ ꧔ ꧕ ꧖ ꧗ ꧘ ꧙ яванский Яванские цифры
᭐ ᭑ ᭒ ᭓ ᭔ ᭕ ᭖ ᭗ ᭘ ᭙ Балийский Балийские цифры
- ፩ ፪ ፫ ፬ ፭ ፮ ፯ ፰ ፱ Гейит Геэзские цифры
〇 один два три Четыре пять шесть Семь восемь Девять Китайский , Японский Китайские цифры
𝋀 𝋁 𝋂 𝋃 𝋄 𝋅 𝋆 𝋇 𝋈 𝋉 Инупиак (основание 20) Кактовик цифры
𝋊 𝋋 𝋌 𝋍 𝋎 𝋏 𝋐 𝋑 𝋒 𝋓

См. также [ править ]

Цитаты [ править ]

  1. ^ «Арабская цифра» . Словарь американского наследия . Издательская компания Houghton Mifflin Harcourt. 2020. Архивировано из оригинала 21 ноября 2021 года . Проверено 21 ноября 2021 г.
  2. ^ Терминология цифр. Архивировано 26 октября 2021 года в Wayback Machine . Консорциум Юникод.
  3. ^ «Арабский», Оксфордский словарь английского языка , 2-е издание.
  4. ^ Данна, Рафаэле (13 января 2021 г.). «Выяснение: распространение индийско-арабских цифр в европейской традиции практической математики (13–16 века)» . Нунций . 36 (1): 5–48. дои : 10.1163/18253911-bja10004 . ISSN   0394-7394 .
  5. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Бернетт, Чарльз (2002). Дольд-Самплониус, Ивонн; Ван Дален, Бенно; Добен, Джозеф; Фолкертс, Менсо (ред.). От Китая до Парижа: 2000 лет передачи математических идей . Франц Штайнер Верлаг. стр. 237–288. ISBN  978-3-515-08223-5 . Архивировано из оригинала 30 июля 2022 года . Проверено 29 июля 2022 г.
  6. ^ Куницш 2003 , с. 7: «Те, кто занимался наукой счета, не пришли к единому мнению относительно некоторых форм этих девяти знаков; но большинство из них согласились сформировать их следующим образом».
  7. ^ Куницш 2003 , с. 5.
  8. ^ Kunitzsch 2003 , стр. 12–13: «Хотя образцы западно-арабских цифр раннего периода - с десятого по тринадцатый века - все еще недоступны, мы знаем, по крайней мере, что индуистское исчисление (называемое хисаб аль-губар ) было известно в Запад, начиная с X века..."
  9. ^ Куницш 2003 , с. 8.
  10. ^ Куницш 2003 , с. 10.
  11. ^ Куницш 2003 , стр. 7–8.
  12. ^ Ифра, Жорж (1998). Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Перевод Дэвида Беллоса (с французского). Лондон: Харвилл Пресс. стр. 356–357. ISBN  9781860463242 .
  13. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Нотафт, К. Филипп Э. (3 мая 2020 г.). «Сатанинские шифры средневековой Европы: о происхождении современного мифа» . Британский журнал истории математики . 35 (2): 107–136. дои : 10.1080/26375451.2020.1726050 . ISSN   2637-5451 . S2CID   213113566 .
  14. ^ Герольд, Вернер (2005). «Der «computus emendatus» Рейнхера фон Падерборна» . ixtheo.de (на немецком языке). Архивировано из оригинала 30 июля 2022 года . Проверено 29 июля 2022 г.
  15. ^ К.К. Тунг (2016). Темы математического моделирования . Издательство Принстонского университета. п. 1. ISBN  978-1-4008-8405-6 .
  16. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Данна, Рафаэле (12 июля 2021 г.). Распространение индийско-арабских цифр в европейской традиции практической арифметики: социально-экономическая перспектива (XIII–XVI вв.) (Докторская диссертация). Кембриджский университет. дои : 10.17863/cam.72497 . Архивировано из оригинала 27 июля 2021 года . Проверено 29 июля 2022 г.
  17. ^ Данна, Рафаэле; Иори, Мартина; Мина, Андреа (22 июня 2022 г.). «Численная революция: распространение практической математики и рост досовременных европейских экономик». ССНН   4143442 .
  18. ^ «Часы XIV века, обнаруженные в сарае на ферме Квинд» . Новости АВС . Архивировано из оригинала 29 февраля 2012 года . Проверено 10 ноября 2011 г.
  19. ^ см. в GF Hill, «Развитие арабских цифр в Европе» . Дополнительные примеры
  20. ^ Трансильвания: История венгерской культуры 1-2. объем. Клуж, 1913, 1918 гг.
  21. ^ Конацер Сегура, Сильвия (26 мая 2020 г.). Орфографическая реформа и языковое планирование в истории России (диплом с отличием). Архивировано из оригинала 30 июля 2022 года . Проверено 29 июля 2022 г.
  22. ^ Браун, Питер Б. (2012). «Московская арифметика в русской цивилизации XVII века: не пора ли отказаться от ярлыка «отсталости»?» . Русская история . 39 (4): 393–459. дои : 10.1163/48763316-03904001 . ISSN   0094-288X . Архивировано из оригинала 30 июля 2022 года . Проверено 29 июля 2022 г.
  23. ^ Локвуд, Э.Х. (октябрь 1978 г.). «Математические открытия 1600–1750 гг., П. Л. Гриффитс. Стр. 121. 2 фунта стерлингов 75. 1977. ISBN 0 7223 1006 4 (Стоквелл)» . Математический вестник . 62 (421): 219. дои : 10.2307/3616704 . ISSN   0025-5572 . JSTOR   3616704 . Архивировано из оригинала 30 июля 2022 года . Проверено 29 июля 2022 г.
  24. ^ Кэмпбелл, Дуглас М.; Хиггинс, Джон К. (1984). Математика: Люди, Проблемы, Результаты . Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-0-534-02879-4 .
  25. ^ The Shorter Science & Civilization in China Vol 2, Сокращение Колином Ронаном оригинального текста Джозефа Нидхэма, Таблица 20, стр. 6, Издательство Кембриджского университета ISBN   0-521-23582-0
  26. ^ Кэмпбелл, Дуглас М.; Хиггинс, Джон К. (1984). Математика: Люди, Проблемы, Результаты . Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-0-534-02879-4 .
  27. ^ The Shorter Science & Civilization in China Vol 2, Сокращение Колином Ронаном оригинального текста Джозефа Нидхэма, Таблица 20, стр. 6, Издательство Кембриджского университета ISBN   0-521-23582-0
  28. ^ Шелл-Геллаш, Эми (2015). Алгебра в контексте: вводная алгебра от истоков к приложениям . Джей Би Ту. Балтимор. ISBN  978-1-4214-1728-8 . OCLC   907657424 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  29. ^ Уй, Фредерик Л. (январь 2003 г.). «Китайская система счисления и позиционное значение» . Обучение детей математике . 9 (5): 243–247. дои : 10.5951/tcm.9.5.0243 . ISSN   1073-5836 . Архивировано из оригинала 30 июля 2022 года . Проверено 29 июля 2022 г.
  30. ^ Хелейн Селин , изд. (1997). Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах . Спрингер. п. 198. ИСБН  978-0-7923-4066-9 . Архивировано из оригинала 27 октября 2015 года . Проверено 18 октября 2015 г.
  31. ^ Меулеман, Йохан Х. (2002). Ислам в эпоху глобализации: отношение мусульман к современности и идентичности . Психология Пресс. п. 272. ИСБН  978-0-7007-1691-3 . Архивировано из оригинала 27 октября 2015 года . Проверено 18 октября 2015 г.
  32. ^ Пэн Йок Хо (2000). Ли, Ци и Шу: Введение в науку и цивилизацию в Китае . Минеола, Нью-Йорк: Публикации Courier Dover. п. 106. ИСБН  978-0-486-41445-4 . Архивировано из оригинала 27 октября 2015 года . Проверено 18 октября 2015 г.
  33. ^ «Стандарт Юникод, версия 13.0» (PDF) . unicode.org . Архивировано (PDF) из оригинала 2 июня 2001 г. Проверено 1 сентября 2021 г.

Общие и цитируемые источники [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

В Wikimedia Commons есть СМИ, связанные с:
Арабские цифры ( категория )
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Arabic_numerals&oldid=1226519568"
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 562a52c90c1ed7a21ec0b15db41c16ec__1717118460
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/56/ec/562a52c90c1ed7a21ec0b15db41c16ec.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Arabic numerals - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)