Аксиомы вероятности

Стандартные аксиомы вероятности являются основой теории вероятностей, введенной русским математиком Андреем Колмогоровым в 1933 году. ^[1] Эти аксиомы остаются центральными и вносят прямой вклад в математику, физику и реальные вероятностные случаи. ^[2]

Существует несколько других (эквивалентных) подходов к формализации вероятности. Байесианцы часто мотивируют аксиомы Колмогорова, ссылаясь вместо этого на теорему Кокса или аргументы из голландской книги . ^[3]^[4]

Аксиомы Колмогорова [ править ]

Предположения относительно установления аксиом можно резюмировать следующим образом: Пусть $(\Omega ,F,P)$ быть пространством меры с $P(E)$ вероятность либо какого- события $E$ , и $P(\Omega )=1$ . Затем $(\Omega ,F,P)$ это вероятностное пространство с выборочным пространством $\Omega$ , пространство для проведения мероприятий $F$ и вероятностная мера $P$ . ^[1]

Первая аксиома [ править ]

Вероятность события представляет собой неотрицательное действительное число:

P(E)\in \mathbb {R} ,P(E)\geq 0\qquad \forall E\in F

где $F$ это пространство событий. Отсюда следует (в сочетании со второй аксиомой), что $P(E)$ всегда конечна, в отличие от более общей теории меры . Теории, приписывающие отрицательную вероятность, ослабляют первую аксиому.

Вторая аксиома [ править ]

Это предположение о единичной мере : вероятность того, что хотя бы одно из элементарных событий произойдет во всем выборочном пространстве, равна 1.

P(\Omega )=1

Третья аксиома [ править ]

Это предположение об σ-аддитивности :

Любая счетная последовательность непересекающихся множеств (синоним взаимоисключающих событий)

E_{1},E_{2},\ldots

удовлетворяет

P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).

Некоторые авторы рассматривают просто конечно-аддитивные вероятностные пространства, и в этом случае нужна просто алгебра множеств , а не σ-алгебра . ^[5] Распределения квазивероятностей в целом ослабляют третью аксиому.

Последствия [ править ]

Из аксиом Колмогорова можно вывести и другие полезные правила изучения вероятностей. Доказательства ^[6]^[7]^[8] Эти правила представляют собой очень познавательную процедуру, которая иллюстрирует силу третьей аксиомы и ее взаимодействие с двумя предыдущими аксиомами. Четыре непосредственных следствия и их доказательства показаны ниже:

Монотонность [ править ]

\quad {\text{if}}\quad A\subseteq B\quad {\text{then}}\quad P(A)\leq P(B).

Если A является подмножеством B или равна ему, то вероятность A меньше или равна вероятности B.

Доказательство монотонности ^[6][ редактировать ]

Для проверки свойства монотонности положим $E_{1}=A$ и $E_{2}=B\setminus A$ , где $A\subseteq B$ и $E_{i}=\varnothing$ для $i\geq 3$ . Из свойств пустого множества ( $\varnothing$ ), легко видеть, что множества $E_{i}$ попарно непересекающиеся и $E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots =B$ . Следовательно, из третьей аксиомы получаем, что

P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).

Поскольку по первой аксиоме левая часть этого уравнения представляет собой ряд неотрицательных чисел и сходится к $P(B)$ которое конечно, мы получаем оба $P(A)\leq P(B)$ и $P(\varnothing )=0$ .

Вероятность пустого набора [ править ]

P(\varnothing )=0.

Во многих случаях $\varnothing$ это не единственное событие с вероятностью 0.

Доказательство вероятности пустого множества [ править ]

$P(\varnothing \cup \varnothing )=P(\varnothing )$ с $\varnothing \cup \varnothing =\varnothing$ ,

$P(\varnothing )+P(\varnothing )=P(\varnothing )$ применив третью аксиому к левой части (примечание $\varnothing$ не пересекается сам с собой), и поэтому

$P(\varnothing )=0$ вычитая $P(\varnothing )$ с каждой стороны уравнения.

Правило дополнения [ править ]

$P\left(A^{c}\right)=P(\Omega -A)=1-P(A)$

Доказательство правила дополнения [ править ]

Данный $A$ и $A^{c}$ являются взаимоисключающими и что $A\cup A^{c}=\Omega$ :

$P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})$ ... (по аксиоме 3)

и, $P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1$ ... (по аксиоме 2)

$\Rightarrow P(A)+P(A^{c})=1$

$\therefore P(A^{c})=1-P(A)$

Числовая граница [ править ]

Из свойства монотонности непосредственно следует, что

0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.

Доказательство числовой границы [ править ]

Учитывая правило дополнения $P(E^{c})=1-P(E)$ и аксиома 1 $P(E^{c})\geq 0$ :

$1-P(E)\geq 0$

$\Rightarrow 1\geq P(E)$

$\therefore 0\leq P(E)\leq 1$

Дальнейшие последствия [ править ]

Еще одним важным свойством является:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

Это называется законом сложения вероятностей или правилом сумм.То есть вероятность того, что событие в A или B равна сумме вероятности события в A и вероятности события в B за вычетом вероятности события, которое происходит как в A, так и в B. произойдет , Доказательством этого является следующее:

Во-первых,

P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)

... (по аксиоме 3)

Так,

P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))

(к

B\setminus A=B\setminus (A\cap B)

).

Также,

P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)

и устранение $P(B\setminus (A\cap B))$ из обоих уравнений дает нам желаемый результат.

Распространением закона сложения на любое количество множеств является принцип включения-исключения .

Установка B в дополнение A ^с A в законе сложения дает

P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)

То есть вероятность того, что какое-либо событие не событию произойдет (или дополнение к ) равна 1 минус вероятность того, что оно произойдет.

Простой пример: подбрасывание монеты [ править ]

Рассмотрим один подбрасывание монеты и предположим, что монета выпадет либо орлом (H), либо решкой (T) (но не тем и другим). Не делается никаких предположений относительно того, честна ли монета или зависит ли какая-либо предвзятость от того, как ее подбрасывают. ^[9]

Мы можем определить:

\Omega =\{H,T\}

F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}

Аксиомы Колмогорова предполагают, что:

P(\varnothing )=0

Вероятность того, что выпадет ни орел , ни решка, равна 0.

P(\{H,T\}^{c})=0

Вероятность выпадения или орла решки равна 1.

P(\{H\})+P(\{T\})=1

Сумма вероятности выпадения орла и вероятности выпадения решки равна 1.

См. также [ править ]

Борелевская алгебра - класс математических наборов.
Условная вероятность - вероятность возникновения события при условии, что другое событие уже произошло.
Полностью вероятностный дизайн
Интуитивная статистика - когнитивный феномен, при котором организмы используют данные для обобщений и прогнозов о мире.
Квазивероятность — понятие в статистике.
Теория множеств - раздел математики, изучающий множества.
σ-алгебра - алгебраическая структура алгебры множеств.

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Колмогоров, Андрей (1950) [1933]. Основы теории вероятностей . Нью-Йорк, США: Издательство Челси.
^ Олдос, Дэвид. «В чем смысл аксиом Колмогорова?» . Дэвид Олдос . Проверено 19 ноября 2019 г.
^ Кокс, RT (1946). «Вероятность, частота и разумные ожидания». Американский журнал физики . 14 (1): 1–10. Бибкод : 1946AmJPh..14....1C . дои : 10.1119/1.1990764 .
^ Кокс, RT (1961). Алгебра вероятного вывода . Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса.
^ Хайек, Алан (28 августа 2019 г.). «Интерпретации вероятности» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 17 ноября 2019 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Росс, Шелдон М. (2014). Первый курс теории вероятности (Девятое изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси. стр. 27, 28. ISBN. 978-0-321-79477-2 . ОСЛК 827003384 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Джерард, Дэвид (9 декабря 2017 г.). «Доказательства из аксиом» (PDF) . Проверено 20 ноября 2019 г.
^ Джексон, Билл (2010). «Вероятность (Конспекты лекций — неделя 3)» (PDF) . Школа математики Лондонского университета Королевы Марии . Проверено 20 ноября 2019 г.
^ Диаконис, Перси; Холмс, Сьюзен; Монтгомери, Ричард (2007). «Динамическая предвзятость при подбрасывании монеты» (PDF) . Сиамское ревю . 49 (211–235): 211–235. Бибкод : 2007SIAMR..49..211D . дои : 10.1137/S0036144504446436 . Проверено 5 января 2024 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

ДеГрут, Моррис Х. (1975). Вероятность и статистика . Чтение: Аддисон-Уэсли. стр. 12–16 . ISBN 0-201-01503-Х .
МакКорд, Джеймс Р.; Морони, Ричард М. (1964). «Аксиоматическая вероятность» . Введение в теорию вероятностей . Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 13–28 .
Формальное определение вероятности в системе Мицар и теорем . список формально доказанных о ней

[:0-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Колмогоров, Андрей (1950) [1933]. Основы теории вероятностей . Нью-Йорк, США: Издательство Челси.

[2] Олдос, Дэвид. «В чем смысл аксиом Колмогорова?» . Дэвид Олдос . Проверено 19 ноября 2019 г.

[3] Кокс, RT (1946). «Вероятность, частота и разумные ожидания». Американский журнал физики . 14 (1): 1–10. Бибкод : 1946AmJPh..14....1C . дои : 10.1119/1.1990764 .

[4] Кокс, RT (1961). Алгебра вероятного вывода . Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса.

[5] Хайек, Алан (28 августа 2019 г.). «Интерпретации вероятности» . Стэнфордская энциклопедия философии . Проверено 17 ноября 2019 г.

[:1-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Росс, Шелдон М. (2014). Первый курс теории вероятности (Девятое изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси. стр. 27, 28. ISBN. 978-0-321-79477-2 . ОСЛК 827003384 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[7] Джерард, Дэвид (9 декабря 2017 г.). «Доказательства из аксиом» (PDF) . Проверено 20 ноября 2019 г.

[8] Джексон, Билл (2010). «Вероятность (Конспекты лекций — неделя 3)» (PDF) . Школа математики Лондонского университета Королевы Марии . Проверено 20 ноября 2019 г.

[9] Диаконис, Перси; Холмс, Сьюзен; Монтгомери, Ричард (2007). «Динамическая предвзятость при подбрасывании монеты» (PDF) . Сиамское ревю . 49 (211–235): 211–235. Бибкод : 2007SIAMR..49..211D . дои : 10.1137/S0036144504446436 . Проверено 5 января 2024 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]